2024届湖南省名校数学高二第二学期期末调研试题含解析

2024届湖南省名校数学高二第二学期期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．展开式中的所有项系数和是（）A．0 B．1 C．256 D．5122．已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1，平面区域Ω:x+y-6≤0x-y+4≥0y≥0A．-∞,-73∪75,+∞3．地球半径为R,北纬45°圈上A,B两点分别在东径130°和西径140°,并且北纬45°圈小圆的圆心为O´,则在四面体O-ABO´中，直角三角形有（）A．0个 B．2个 C．3个 D．4个4．设向量，，若向量与同向，则（）A．2 B．-2 C．±2 D．05．如图是求样本数据方差的程序框图，则图中空白框应填入的内容为（）A． B．C． D．6．已知函数，则函数满足（）A．最小正周期为 B．图像关于点对称C．在区间上为减函数 D．图像关于直线对称7．某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为（）A．280 B．455 C．355 D．3508．如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：34562.53m4.5若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得对的回归直线方程是，则表中的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.59．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A． B． C．2 D．311．若随机变量服从正态分布，且，（）A． B． C． D．12．若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数若存在互不相等实数有则的取值范围是______.14．直线ax-ay-1=0与圆(x-2)2+y2=1交于A,B两点，过A,B分别作y轴的垂线与y轴交于C,D两点，若15．随机变量，变量，则__________．16．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（Ⅰ）若，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，判断与的大小关系并证明.18．（12分）已知集合，．(1)分别求，；(2)已知集合，若，求实数a的取值集合．19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，点在上．（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积．20．（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：超过1小时不超过1小时男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）在某中学高中某学科竞赛中，该中学100名考生的参赛成绩统计如图所示．（1）求这100名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？合格优秀合计男生18女生25合计100附：．0.0500.0100.0053.8416.6357.87922．（10分）已知函数，（1）当，时，求函数在上的最小值；（2）若函数在与处的切线互相垂直，求的取值范围；（3）设，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

令，可求出展开式中的所有项系数和.【题目详解】令，则，即展开式中的所有项系数和是1，故选B.【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用，考查了展开式的系数和的求法，属于基础题.2、A【解题分析】

分析：画出可行域，由可行域结合圆C与x轴相切，得到b=1且-3≤a≤5，从而可得结果.详解：画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心C(a,b)，半径为1因为圆C与x轴相切，所以b=1，直线y=1分别与直线x+y-6=0与x-y+4=0交于点B5,1所以-3≤a≤5，圆心C(a,b)与点（2,8-3≤a<2时，k∈72<a≤5时k∈-所以圆心C(a,b)与点（2,8）连线斜率的取值范围是-点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.3、C【解题分析】

画图标注其位置，即可得出答案。【题目详解】如图所示：，即有3个直角三角形。【题目点拨】本题涉及到了地理相关的经纬度概念。学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。4、A【解题分析】

由与平行，利用向量平行的公式求得x,验证与同向即可得解【题目详解】由与平行得，所以，又因为同向平行，所以.故选A【题目点拨】本题考查向量共线（平行）的概念，考查计算求解的能力，属基础题．5、D【解题分析】

由题意知该程序的作用是求样本的方差，由方差公式可得.【题目详解】由题意知该程序的作用是求样本的方差，所用方法是求得每个数与的差的平方，再求这8个数的平均值，则图中空白框应填入的内容为：故选：D【题目点拨】本题考查了程序框图功能的理解以及样本方差的计算公式，属于一般题.6、D【解题分析】∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，故选D．7、B【解题分析】

每个实验室人数分配有三种情况，即①1，2，4；②1，3，3；③2，2，3；针对三种情况进行计算组合即可【题目详解】每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.当实验室的人数为1，2，4时，分配方案有种；当实验室的人数为1，3，3时，分配方案有种；当实验室的人数为2，2，3时，分配方案有种.故不同的分配方案有455种.选B.【题目点拨】本题考查排列组合的问题，解题注意先分类即可，属于基础题8、A【解题分析】由题意可得，故样本中心为。因为回归直线过样本中心，所以，解得。选A。9、A【解题分析】

令分离常数，构造函数，利用导数研究的单调性和极值，结合与有三个交点，求得的取值范围.【题目详解】方程可化为，令，有，令可知函数的增区间为，减区间为、，则，，当时，，则若函数有3个零点，实数的取值范围为．故选A.【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10、D【解题分析】

由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！11、B【解题分析】设，则，根据对称性，，则，即，故故选：B．12、A【解题分析】

首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.【题目详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：目标函数转化为，由图易得，直线在时，轴截距最大.所以.因为，即，当且仅当，即，时，取“”.故选：A【题目点拨】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

不妨设，根据二次函数对称性求得的值.根据绝对值的定义求得的关系式，将转化为来表示，根据的取值范围，求得的取值范围.【题目详解】不妨设，画出函数的图像如下图所示.二次函数的对称轴为，所以.不妨设，则由得，得，结合图像可知，解得，所以，由于在上为减函数，故.【题目点拨】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.14、1【解题分析】

利用圆心到直线的距离可求出d，再利用勾股定理求得答案.【题目详解】解：可得直线直线ax﹣ay﹣1＝0的斜率为1．圆心（2，0）到直线距离d=|2a-1|∵|CD|＝1，∴|AB|=2|CD|=∴21-d2=2故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度不大.15、.【解题分析】分析：先根据二项分布得,再根据，得详解：因为，所以，因为，所以点睛：二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式.16、[－1，＋∞)【解题分析】

对于，不等式恒成立，等价于的图象在的图象上方，根据数形结合可求出实数的取值范围.【题目详解】不等式f(x)≥g(x)恒成立如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．故答案为[－1，＋∞)．【题目点拨】本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析.【解题分析】

（Ⅰ）通过讨论a的范围，去掉绝对值，解不等式，确定的范围即可；

（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质判断即可．【题目详解】（I）因为，所以.①当时，得，解得，所以;②当时，得，解得，所以;③当时，得，解得，所以;综上所述，实数的取值范围是（II），因为,所以【题目点拨】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．18、(1)，(2)【解题分析】

(1)根据题干解不等式得到，，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知，若，分C为空集和非空两种情况得到结果即可.【题目详解】(1)因为，即，所以，所以，因为，即，所以，所以，所以．，所以．(2)由(1)知，若，当C为空集时，.当C为非空集合时，可得.综上所述.【题目点拨】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.19、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）证明，转化成证明平面即可．（2）根据，可得，从而得出体积．【题目详解】证明：（1）取中点，连结，则，，四边形为平行四边形，，又，，，又，，平面，．解：（2），，三棱锥的体积为：．【题目点拨】本题考查了线线垂直的证明，通常转化成证明线面垂直．三棱锥体积的计算，选择不同的底对应的顶点，得到的体积相同．那么通常选择已知的高和底从而求出体积．20、（1），（2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人【解题分析】

（1）根据分层抽样比例列方程求出n的值，再计算m的值；（2）根据题意完善2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（3）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可．【题目详解】（1）根据分层抽样法，抽样比例为，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（2）根据题意完善2×2列联表，如下；超过1小时不超过1小时合计男生20828女生12820合计321648计算K20.6857＜3.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为，用频率估计概率，从该校学生中随机调査6名学生，估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为64（人）．【题目点拨】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题及用频率估计概率的应用问题，考查了运算能力，属于中档题．21、(1)(2)填表见解析，不能判断有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关【解题分析】

（1）由每一组数据的中点值乘以该组的频率求和得答案；（2）计算70分以上的频率和频数，由此填写列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得