2024届安徽省安庆市达标名校数学高二下期末考试模拟试题含解析

2024届安徽省安庆市达标名校数学高二下期末考试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．2．已知集合，则为（）A． B． C． D．3．已知定义域为的函数满足，，当时，则（）A． B．3 C． D．44．已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是（）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线5．已知函数的导函数为，则（）A． B． C． D．6．记为等比数列的前项和.若，，则（）A．2 B．-4 C．2或-4 D．47．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A． B．C． D．8．在二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=4A．4πr4 B．3πr49．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，10．已知函数在上的值域为，函数在上的值域为.若是的必要不充分条件，则的取值范围是（）A． B．C． D．11．设函数()有且仅有两个极值点()，则实数的取值范围是()A． B． C． D．12．如图，平面与平面所成的二面角是，是平面内的一条动直线，，则直线与所成角的正弦值的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的表面上，且AB⊥BC，BC⊥CD，AB⊥CD，若AB＝1，BC，CD，则球O的表面积为_____．14．集合,集合,若,则实数_________.15．在极坐标系中，点到直线的距离为________.16．若随机变量，且，则_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2119年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了211名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这211名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求．(ii)从该高校的学生中随机抽取21名，记表示这21名学生中每周阅读时间超过11小时的人数，求(结果精确到1．1111)以及的数学期望．参考数据：．若，则．18．（12分）如图所示的几何，底为菱形，，.平面底面，，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）如图，是平面的斜线，为斜足平面，为垂足，是平面上的一条直线，于点，，.（1）求证：平面；（2）求和平面所成的角的大小.20．（12分）设函数.（I）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的值域.21．（12分）已知函数(其中a，b为常数，且，)的图象经过点，．(1)求的解析式；(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．22．（10分）设不等式|2x-1|<1的解集为M，且a∈M,b∈M.（1）试比较ab+1与a+b的大小；（2）设maxA表示数集A中的最大数，且h=max{2

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可.详解：四个选项中的函数都是偶函数，在上三个函数在上都递减，不符合题意，在上递增的只有，而故选D．点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.2、C【解题分析】

分别求出集合M，N，和，然后计算.【题目详解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故选：C.【题目点拨】本题考查了指数函数的值域，对数函数的定义域，集合的交集和补集运算，属于基础题.3、D【解题分析】

根据奇偶性和可知关于轴和对称，由对称性和周期性关系可确定周期为，进而将所求函数值化为，代入可求得结果.【题目详解】，为偶函数，图象关于轴对称；，关于直线对称；是周期为的周期函数，.故选：.【题目点拨】本题考查利用函数的性质求解函数值的问题，涉及到函数奇偶性、对称性和周期性的应用；关键是能够熟练掌握对称性和周期性的关系，准确求得函数的周期性.4、C【解题分析】试题分析：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（-a，0）、B（a，0）；因为，所以y2=λ（x+a）（a-x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程;当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选C．考点：轨迹方程的求法,圆锥曲线方程。点评：中档题，判断轨迹是什么，一般有两种方法，一是定义法，二是求轨迹方程后加以判断。5、D【解题分析】

求导数，将代入导函数解得【题目详解】将代入导函数故答案选D【题目点拨】本题考查了导数的计算，把握函数里面是一个常数是解题的关键.6、B【解题分析】

利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．【题目详解】∵为等比数列的前项和，，，∴，解得，∴，故选B．【题目点拨】本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7、C【解题分析】

求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.【题目详解】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则，即，∴当时，，故的最大值为.故选C.【题目点拨】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.8、B【解题分析】

根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W'【题目详解】由题知，S'=l,V'=S所以W=3πr4，故选【题目点拨】本题主要考查学生的归纳和类比推理能力。9、A【解题分析】

根据含有一个量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定，得到答案.【题目详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：A.【题目点拨】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.10、B【解题分析】

先计算出两个函数的值域，根据是的必要不充分条件可得是的真子集，从而得到的取值范围.【题目详解】因为在上单调递增，所以，又函数在上单调递增，于是.因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，故有（等号不同时取），得，故选B.【题目点拨】（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．11、B【解题分析】

函数()有且仅有两个极值点，即为在上有两个不同的解，进而转化为两个图像的交点问题进行求解．【题目详解】解：因为函数()有且仅有两个极值点，所以在上有两个不同的解，即2ax＋ex＝0在上有两解，即直线y＝－2ax与函数y＝ex的图象有两个交点，设函数与函数的图象相切，切点为(x0，y0)，作函数y＝ex的图象，因为则，所以，解得x0＝1，即切点为(1，e)，此时k＝e，由图象知直线与函数y＝ex的图象有两个交点时，有即－2a＞e，解得a＜，故选B.【题目点拨】本题考查了函数极值点的问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程根的问题，再通过数形结合的思想方法解决问题．12、B【解题分析】

假定ABCD和BCEF均为正方形，过D作，可证平面BCEF，进而可得直线BD与平面BCEF所成的角正弦值，即直线与所成角的正弦值的最小值，当直线与异面垂直时，所成角的正弦值最大.【题目详解】过D作，垂足为G，假定ABCD和BCEF均为正方形，且边长为1则平面CDG，故又，平面BCEF故直线BD在平面BCEF内的射影为BG，由已知可得，则以直线BD与平面BCEF所成的角正弦值，所以直线BD与平面BCEF内直线所成的角正弦值最小为，而直线与所成角最大为（异面垂直），即最大正弦值为1.故选：B【题目点拨】本题考查了立体几何中线面角，面面角找法，考查了转化思想，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6π．【解题分析】

根据题意画出图形，结合图形把三棱锥补充为长方体，则该长方体的外接球为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线长，求出外接球的直径，利用球的表面积公式，即可求解.【题目详解】如图所示，以和为棱，把三棱锥补成一个长方体，则该长方体的长宽高分别为，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球，且长方体的对角线长为，即，即，所以外接球的表面积为.【题目点拨】本题主要考查了多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中以和为棱，把三棱锥补成一个长方体，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14、【解题分析】

解一元二次方程化简集合的表示,再根据可以分类求出实数的值.【题目详解】.因为,所以.当时,这时说明方程无实根,所以；当时,这时说明是方程的实根,故；当时,这时说明是方程的实根,故；因为方程最多有一个实数根,故不可能成立.故答案为：15、3【解题分析】

将A和直线化成直角坐标系下点和方程，再利用点到直线的距离公式计算即可.【题目详解】由已知，在直角坐标系下，，直线方程为，所以A到直线的距离为.故答案为：3【题目点拨】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.16、【解题分析】

由，得，两个式子相加，根据正态分布的对称性和概率和为1即可得到答案．【题目详解】由随机变量，且，根据正态分布的对称性得且正态分布的概率和为1，得.故答案为0.15【题目点拨】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)9，1.78(2)（i）（ii）见解析【解题分析】

（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知，，则，求出，结合已知公式求解．（ⅱ）由（i）知，可得，由求解，再由正态分布的期望公式求的数学期望．【题目详解】解：（1），；（2）（i）由题知，，∴，．∴；（ⅱ）由（i）知，可得，.∴的数学期望.【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．18、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）推导出，从而平面，进而.再由，得平面，推导出，从而平面，由此能证明平面平面；

（2）取中点G，从而平面，以、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【题目详解】解：（1）由题意可知，又因为平面底面，所以平面，从而.因为，所以平面，易得，，，所以，故.又，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）取中点G，，相交于点O，连结，易证平面，故、、两两垂直，以O为坐标原点，以、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.由（1）可得平面的法向量为.设平面的法向量为，则即令，得，所以.从而，故二面角的正弦值为.【题目点拨】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19、（1）证明见解析（2）【解题分析】

（1）推导出，，由此能证明平面．（2）设，推导出，，，从而，由平面，得是和平面所成的角，由此能求出和平面所成的角．【题目详解】（1）是平面的斜线，为斜足，平面，为垂足，是平面上的一条直线，，又，且，平面．（2）设，于点，，．平面，，，，，平面，是和平面所成的角，，，，和平面所成的角为．【题目点拨】本题考查线面垂直的证明、线面角的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．20、（I）；（Ⅱ）.【解题分析】

（I）将函数的解析式利用二倍角降幂公式、辅助角公式化简，再利用周期公式可计算出函数的最小正周期；（Ⅱ）由，求出的取值范围，再结合正弦函数的图象得出的范围，于此可得出函数在区间上的值域.【题目详解】（Ⅰ），所以；（Ⅱ）因为，因为，所以，所以，所以的值域为.【题目点拨】本题考查三角函数的基本性质，考查三角函数的周期和值域问题，首先应该将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，结合三角函数图象得出相关性质，考查计算能力，属于中等题．21、(1)(2)【解题分析】试题分析：（1）把点代入函数的解析式