2024届山东省临沂市莒南县第三中学数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

2024届山东省临沂市莒南县第三中学数学高二下期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在处的切线斜率为（）A．1 B． C． D．2．已知…，依此规律，若，则的值分别是（）A．48，7 B．61，7 C．63，8 D．65，83．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于()A．24 B．30 C．10 D．604．函数f（x）＝xsinx+cosx的导函数为，则导函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．5．函数在区间上的最大值和最小值分别为()A．25,-2 B．50,-2 C．50,14 D．50,-146．已知随机变量,且,则与的值分别为A．16与0.8 B．20与0.4C．12与0.6 D．15与0.87．若，则=（）A．-1 B．1 C．2 D．08．设函数，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．9．已知，则的值为（）A． B． C． D．10．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．311．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.57612．已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A．8 B．16 C．32 D．64二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的图象如图所示，则的取值范围是__________．14．设、两队进行某类知识竞赛，竞赛为四局，每局比赛没有平局，前三局胜者均得1分，第四局胜的一队得2分，各局负者都得0分，假设每局比赛队获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则比赛结束时队得分比队高3分的概率为__________．15．设集合,,则____________.16．某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，.（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和.18．（12分）如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面．（1）求证：；（2）求二面角的大小．19．（12分）已知，定义.（1）求的值；（2）证明：.20．（12分）某校20名同学的数学和英语成绩如下表所示：将这20名同学的两颗成绩绘制成散点图如图：根据该校以为的经验，数学成绩与英语成绩线性相关.已知这名学生的数学平均成绩为，英语平均成绩，考试结束后学校经过调查发现学号为的同学与学号为的同学（分别对应散点图中的）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消.取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数；取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩x与英语成绩y的线性回归直线方程，并据此估计本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊的英语成绩.（结果保留整数）附：位同学的两科成绩的参考数据：参考公式：21．（12分）椭圆的左右焦点分别为，与轴正半轴交于点，若为等腰直角三角形，且直线被圆所截得的弦长为2.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于点，线段的中点为，射线与椭圆交于点，点为的重心，求证：的面积为定值.22．（10分）已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）求满足不等式的实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先对函数求导，然后代入切点的横坐标，即可求得本题答案.【题目详解】由，得，所以切线斜率.故选：B【题目点拨】本题主要考查在曲线上一点的切线斜率，属基础题.2、C【解题分析】

仔细观察已知等式的数字可发现:,根据此规律解题即可.【题目详解】由,

,

,

归纳可得,故当时,,

故选C.【题目点拨】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.3、A【解题分析】

根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【题目详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为3,4,5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：V截掉的三棱锥体积为：V所以该几何体的体积为：V=本题正确选项：A【题目点拨】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4、C【解题分析】

先求得函数的导数，根据导函数的奇偶性和正负，判断出正确选项.【题目详解】，为奇函数，且在上有，故选C.【题目点拨】本小题主要考查导数运算，考查函数的奇偶性，考查函数图像的识别，属于基础题.5、B【解题分析】

求导，分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值．【题目详解】∵函数f（x）＝2x3+9x2﹣2，∴f′（x）＝6x2+18x，当x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]时，f′（x）＞0，函数为增函数；当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＜0，函数为减函数；由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，故函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为50，﹣2，故选：B．【题目点拨】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值及函数的单调性问题，属于中档题．6、D【解题分析】因为随机变量，且，且，解得，故选D.7、A【解题分析】

将代入，可以求得各项系数之和；将代入，可求得，两次结果相减即可求出答案.【题目详解】将代入，得，即，将代入，得，即，所以故选A.【题目点拨】本题考查二项式系数的性质，若二项式展开式为，则常数项，各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为.8、C【解题分析】

试题分析：令，则，当时，，由的导数为，当时，在递增，即有，则方程无解；当时，成立，由，即，解得且；或解得，即为，综上所述实数的取值范围是，故选C.考点：分段函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数，利用新函数的性质是解答的关键.9、B【解题分析】

直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可.【题目详解】解：因为，则.故选：B.【题目点拨】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.10、B【解题分析】

根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果.【题目详解】（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误；（2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，（3）错误.本题正确选项：【题目点拨】本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题.11、B【解题分析】A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.考点：相互独立事件的概率.12、C【解题分析】

先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【题目详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【题目点拨】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：先根据图像得，解得b,a关系,即得解析式，根据二次函数性质求取值范围.详解：因为根据图像得，所以点睛：本题考查幂函数图像与性质，考查二次函数求最值方法.14、【解题分析】

比赛结束时队得分比队高3分是指前3局比赛中两胜一负，第4局比赛胜，由此能求出比赛结束时队得分比队高3分的概率．【题目详解】比赛结束时队得分比队高3分是指前3局比赛中两胜一负，第4局比赛胜，比赛结束时队得分比队高3分的概率：．故答案为：．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15、{2,4,6,8}【解题分析】分析：详解：因为,,表示A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.16、【解题分析】

根据古典概型概率计算公式求解即可.【题目详解】从名教师中选派名共有：种选法名男教师参加培训有种选法所求概率：本题正确结果：【题目点拨】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）利用定义得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分组求和法的到前项和.【题目详解】解：（Ⅰ）由，可得，即，又，∴，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴.【题目点拨】本题考查了等差数列的证明，分组求和法求前项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.18、（1）见证明；（2）90°【解题分析】

（1）利用垂直于所在的平面，从而证得；（2）找到三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再分别求出两个面的法向量，，最后求法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的大小.【题目详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴.（2）如图建立空间直角坐标系，则、、、、，从而，，.设为平面的法向量，则令，所以，设为平面的法向量，则，令，所以，因此，，有，即，故二面角的大小为.【题目点拨】证明线线垂直的一般思路：证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，所以根据题目所给的图形，观察并确定哪一条线垂直于哪一条线所在的平面，是证明的关键.19、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】分析：（1）先根据定义代入求求的值；（2）根据定义可得，则左边化简得，利用等式化简,并利用二项式定理可得结果.详解：（1），．（2）当n＝1时，,等式成立．当n≥2时，，由于，所以，综上所述，对n∈N*，成立．点睛：有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.常应用组合数性质进行转化：，.20、90分；分.【解题分析】

计算出剩下名学生的数学、英语成绩之和，于是求得平均分；可先计算出，再利用公式可计算出线性回归方程，代入学号为的同学成绩，即得答案.【题目详解】由题名学生的数学成绩之和为，英语成绩之和为取消两位作弊同学的两科成绩后，其余名学生的数学成绩之和为其余名学生的英语成绩之和为其余名学生的数学平均分，英语平均分都为；不妨设取消的两名同学的两科成绩分别为数学成绩与英语成绩的线性回归方程代入学号为的同学成绩，得本次英语考试学号为的同学如果没有作弊，他的英语成绩估计为分.【题目点拨】本题主要考查平均数及方差，线性回归方程的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力及运算技巧，难度中等.21、（1）；（2）【解题分析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质分析可得，又由直线与圆的位置关系可得的值，进而可得的值，将的值代入椭圆的方程即可得结论；（2）根据题意，分、两种情况讨论，若直线的斜率不存在，容易求出的面积，若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，联立直线与椭圆的方程，结合一元二次方程中根与系数的关系，求出的面积消去参数，综合两种情况可得结论.详解：（1）由为等腰直角三角形可得，直线：被圆圆所截得的弦长为2，所以，所以椭圆的方程为.（2）若直线的斜率不存在，则.若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，即，则，，，由题意点为重心，设，则，所以，，代入椭圆，得，整理得，设坐标原点到直线的距离为