2024届黑龙江哈尔滨市第九中学数学高二下期末质量检测试题含解析

2024届黑龙江哈尔滨市第九中学数学高二下期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图程序框图，若输入的，分别为12，20，则输出的（）A．2 B．3 C．4 D．52．函数f（x）是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f（2）=0，则使f（x）<0的x的取值范围（）A．（－∞，2） B．（2，+∞）C．（－∞，-2）∪（2，+∞） D．（－2，2）3．已知函数的导函数为，且满足，则（）A． B．1 C．-1 D．4．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，输出的S=（）A． B． C． D．5．设函数的定义域为R，满足，且当时．则当，的最小值是（）A． B． C． D．6．已知随机变量，且，则A． B． C． D．7．已知函数在区间内既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为（）A．1 B． C． D．9．以下说法正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“，互为倒数，则”的逆命题为真C．命题“若，都是偶数，则是偶数”的否命题为真D．“”是“”的充要条件10．若满足约束条件，则的最大值为（）A．9 B．5 C．11 D．311．二项式的展开式的各项中，二项式系数最大的项为()A． B．和C．和 D．12．已知a>0，b>－1，且a＋b＝1，则的最小值为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知(是虚数单位),定义:给出下列命题:(1)对任意都有(2)若是的共轭复数,则恒成立；(3)若则(4)对任意结论恒成立.则其中所有的真命题的序号是_____________.14．如图在中，，，点是外一点，,则平面四边形面积的最大值是___________．15．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是．16．不等式的解为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）求直线的普通方程及曲线直角坐标方程；（2）若曲线上的点到直线的距离的最小值.18．（12分）某村计划建造一个室内面积为800平米的矩形蔬菜温室，在温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大的种植面积是多少？19．（12分）已知正三棱柱中，，点为的中点，点在线段上.（Ⅰ）当时，求证；（Ⅱ）是否存在点，使二面角等于60°？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.20．（12分）已知等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．21．（12分）如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且求证：平面BDEF；求二面角的余弦值．22．（10分）设等差数列的公差为d、前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式：（2）令，求数列的前n项和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算当前的值，即可得出结论．【题目详解】解：由，则.

由，则.

由，则.

由，则输出．

故选：C．【题目点拨】本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了古代数学文化的应用问题，是基础题．2、D【解题分析】

根据偶函数的性质,求出函数在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案.【题目详解】由函数为偶函数,所以,又因为函数在(－∞，0]是减函数,所以函数在(－∞，0]上的解集为,由偶函数的性质图像关于轴对称,可得在(0,+∞)上的解集为(0,2),综上可得,的解集为(-2,2).故选:D.【题目点拨】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.3、C【解题分析】试题分析：∵函数的导函数为，且满足，，∴，把代入可得，解得，故选C.考点：（1）导数的乘法与除法法则；（2）导数的加法与减法法则.4、B【解题分析】

试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，∴，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.5、D【解题分析】

先求出函数在区间上的解析式，利用二次函数的性质可求出函数在区间上的最小值．【题目详解】由题意可知，函数是以为周期的周期函数，设，则，则，即当时，，可知函数在处取得最小值，且最小值为，故选D.【题目点拨】本题考查函数的周期性以及函数的最值，解决本题的关键就是根据周期性求出函数的解析式，并结合二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题．6、B【解题分析】

根据正态分布的对称性即可得到答案.【题目详解】由于，故选B.【题目点拨】本题主要考查正态分布中概率的计算，难度不大.7、A【解题分析】分析：先求导得到，转化为方程在（0,2）内有两个相异的实数根，再利用根的分布来解答得解.详解：由题得，原命题等价于方程在（0,2）内有两个相异的实数根，所以.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查导数的应用，考查导数探究函数的极值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题有两个关键，其一是转化为方程在（0,2）内有两个相异的实数根，其二是能准确找到方程在（0,2）内有两个相异的实数根的等价不等式组,它涉及到二次方程的根的分布问题.8、D【解题分析】

先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.【题目详解】由题得函数的图像如图所示，联立得交点（1,1）所以叶形图面积为.故选：D【题目点拨】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、B【解题分析】

根据全称命题的否定是特称命题的知识判断A选项的正确性.写出原命题的逆命题并判断真假性，由此判断B选项的正确性..写出原命题的否命题并判断真假性，由此判断C选项的正确性.根据充要条件的知识判断D选项的正确性.【题目详解】对于A选项，原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故否定应是“，”，所以A选项错误.对于B选项，原命题的逆命题是“若，则互为倒数”，是真命题，故B选项正确.对于C选项，原命题的否命题为“若不都是偶数，则不是偶数”，当都为奇数时，是偶数，故为假命题.所以C选项错误.对于D选项，由，所以.“”不是“”的充要条件.故D选项错误.综上所述可知，B选项正确.故选：B【题目点拨】本小题主要考查全称命题的否定、逆命题、否命题以及充要条件等知识，属于基础题.10、A【解题分析】

先作出不等式组所表示的可行域，然后平移直线，观察直线在轴上的截距取最大值时对应的最优解，将最优解代入函数即可得出答案。【题目详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，点的坐标为，平移直线，当该直线经过点，它在轴上的截距取最大值，此时，取最大值，即，故选：A.【题目点拨】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，解题思路就是作出可行域，平移直线观察在坐标轴上的截距变化寻找最优解，是常考题型，属于中等题。11、C【解题分析】

先由二项式，确定其展开式各项的二项式系数为，进而可确定其最大值.【题目详解】因为二项式展开式的各项的二项式系数为，易知当或时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第三项和第四项.故第三项为；第四项为.故选C【题目点拨】本题主要考查二项式系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.12、A【解题分析】分析：由，且，变形可得利用导数求其最值；详解：，且a＋b＝1，∴．

令，解得，此时函数单调递增；令，解得此时函数单调递减．

∴当且仅当时，函数取得极小值即最小值，点睛：本题考查利用导数研究函数的最值，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（2），（4）【解题分析】

由新定义逐一核对四个命题得答案．【题目详解】解：对于（1），当时，，命题（1）错误；

对于（2），设，则，则，命题（2）正确；

对于（3），若，则错误，如，满足，但；

对于（4），设，

则，

，

，

由，

得恒成立，（4）正确．

∴正确的命题是（2）（4）．

故答案为（2），（4）．【题目点拨】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．14、.【解题分析】分析：利用余弦定理，设,设AC=BC=m，则．由余弦定理把m表示出来，利用四边形OACB面积为S=．转化为三角形函数问题求解最值．详解：△ABC为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨设AC=BC=m，则．由余弦定理，42+22﹣2m2=16，∴．.当时取到最大值.故答案为.点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设，再建立三角函数的模型.15、【解题分析】因为直线ax+y+2=0与双曲线的一条渐近线y=x平行，所以-a=2，(或者-a=-2),则a=-2,(a=2,)假设a=2,则利用平行线间距离公式解得为16、或或或【解题分析】

利用组合数公式得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的取值.【题目详解】，由组合数公式得，得，整理得，即，解得，由题意可知且，因此，不等式的解为或或或.故答案为：或或或.【题目点拨】本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.【解题分析】

(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.(2)计算圆心到直线的距离，判断相离，再利用公式得到答案.【题目详解】解：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为（2）曲线的圆心到直线的距离所以直线与圆相离，则曲线上的点到直线的距离的最小值为【题目点拨】本题考查了参数方程和极坐标方程，将圆上的点到直线的距离转化为圆心到直线的距离是解题的关键.18、当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，花卉种植面积达到最大，最大面积为648m【解题分析】解：设温室的边长分别为：x，y则：xy=800………………（1分）S=(x-4)(y-2),(x>0)………（3分）=xy-4y-2x+8=800-=808-(3200∵x>0∴3200x+2x≥23200当且仅当时，等号成立∴S≤648…………………（6分）此时x=40y=20，最大的种植面积为：648m219、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在点,当时，二面角等于.【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）证明：连接，由为正三棱柱为正三角形，又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.由丄平面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．试题解析：（Ⅰ）证明：连接，因为为正三棱柱，所以为正三角形，又因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因为，所以，所以在中，，在中，，所以，即.又，所以丄平面，面，所以.（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.取的中点，连接，则丄平面，所以，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，同理，平面的一个法向量为，则，取，∴.∴，解得，故存在点,当时，二面角等于.20、(I)；(Ⅱ)，或【解题分析】

（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式．（Ⅱ）由，并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得.【题目详解】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，，解得，，∴．(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，∴，或．【题目点拨】本