东北育才中学2024届高二数学第二学期期末统考试题含解析

东北育才中学2024届高二数学第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或2．已知函数f(x)=x2-x-6，在区间[-6,4]内任取一点xA．13 B．25 C．13．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则（）A．10 B．20 C．30 D．404．函数在处的切线与直线:垂直，则（）A．3 B．3 C． D．5．已知函数的导函数为，且对任意的实数x都有（e是自然对数的底数），且，若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．6．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)=P(X≥a-2)，则实数A．10 B．8 C．6 D．47．已知向量，，则向量在向量上的投影是（）A．2 B．1 C．−1 D．−28．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量y(单位:千瓦·时)与气温x(单位:oC)之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,x（单位：oC171410-1y（单位：千瓦•时）24343864由表中数据得线性回归方程:y=-2x+a,则由此估计:当某天气温为12oC时,A．56千瓦•时 B．36千瓦•时 C．34千瓦•时 D．38千瓦•时9．已知函数（，）的图象如图所示，则的解析式为（）A． B．C． D．10．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是()A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.7511．若随机变量服从正态分布，则（）参考数据：若，则,，A．0.84 B．0.9759 C．0.8185 D．0.682612．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是定义在R上的函数，是的导函数，若，且，则不等式的解集为_____．14．已知随机变量，若，则__________．15．在长方体中，，，，那么顶点到平面的距离为______．16．用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．Ⅰ求函数的定义域；Ⅱ求满足的实数的取值范围．18．（12分）已知函数fx（1）解不等式fx（2）若gx=3x-2m+3x-1，对∀x119．（12分）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目.（Ⅰ）3名女生相邻，有多少种不同的站法？（Ⅱ）女生甲不能站在最左端，有多少种不同的站法？20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求的最小值.21．（12分）已知（1）求；（2）若，求实数的值.22．（10分）已知函数在处取得极值．(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

首先解出两个命题的不等式，由为假命题，为真命题得命题和命题一真一假．【题目详解】命题，命题．因为为假命题，为真命题．所以命题和命题一真一假，所以或，选择B【题目点拨】本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题．2、C【解题分析】

先求出x<0,则【题目详解】由f(x)≥0得(x-3)(x+2)⩾0，故x≥3或x≤-2，由-6≤x0≤4，故-6≤x0≤-2或【题目点拨】本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.3、B【解题分析】分析：由题意可知数列是等差数列，由等差数列的性质得，得详解：数列为调和数列为等差数列，由等差数列的求和公式得，由等差数列的性质故选B点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，通过合理的转化建立起已知条件和考点之间的联系是解题关键.4、A【解题分析】

先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得的值。【题目详解】函数在（1，0）处的切线的斜率是，所以，与此切线垂直的直线的斜率是故选A.【题目点拨】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．5、B【解题分析】

先利用导数等式结合条件求出函数的解析式，由，得，转化为函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围.【题目详解】由等式，可得，即，即（为常数），，则，，因此，，，令，得或，列表如下：极小值极大值函数的极小值为，极大值为，且，作出图象如下图所示，由图象可知，当时，.另一方面，，则，由于函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，由图象可知，这两个点的横坐标分别为、，则有，解得，因此，实数的取值范围是，故选B.【题目点拨】本题考查函数的单调性、函数不等式的整数解问题，本题的难点在于利用导数方程求解函数解析式，另外在处理函数不等式的整数解的问题，应充分利用数形结合的思想，找到一些关键点来列不等式求解，属于难题．6、D【解题分析】

根据随机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于x=1对称，得到对称区间的数据对应的概率是相等的，根据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于x=1对称，从而得到结果．【题目详解】∵随机变量X～∴正态曲线关于x=1对称，∵P(X≤0)=P(X>a-2)，∴0与a-2关于x=1对称，∴1解得a=4，故选D．【题目点拨】本题主要考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率的相等的性质，是一个基础题．正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，μ越小图象越靠近左边；（2）边σ越小图象越“痩长”，边σ越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于μ对称，Px>μ7、D【解题分析】

本题考察的是对投影的理解，一个向量在另一个向量上的投影即一个投影在另一个投影方向上的长度．【题目详解】在上的投影方向相反，长度为2，所以答案是.【题目点拨】本题可以通过作图来得出答案．8、B【解题分析】

计算出x和y的值，将点x,y的坐标代入回归直线方程，得出a的值，再将x=12代入可得出【题目详解】由题意可得x=17+14+10-14由于回归直线过样本的中心点x,y，则-2×10+a回归直线方程为y=-2x+60，当x=12时，y=-2×12+60=36（千瓦·【题目点拨】本题考查回归直线方程的应用，解题的关键在于利用回归直线过样本中心点x,9、D【解题分析】结合函数图像可得：，，结合周期公式有：，且当时，，令可得：，据此可得函数的解析式为：.本题选择D选项.点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.10、D【解题分析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，则.∴目标是被甲击中的概率是故选D.11、A【解题分析】

根据题意可知，，所以，由公式即可求出．【题目详解】根据题意可知，，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，意在考查数形结合思想，化归与转化思想的应用．12、C【解题分析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、．【解题分析】

令，求出函数的单调性，问题转化为，求出x的范围即可．【题目详解】令，则，故在R递增，而，故，即，则，解得：，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接根据解析式来解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系即可得到解集。14、0.8【解题分析】

直接根据正态分布的对称性得到答案.【题目详解】随机变量，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布对称性的灵活运用.15、【解题分析】

作出图形，计算出四面体的体积，并计算出的面积，然后利用等体积法计算出点到平面的距离.【题目详解】如下图所示：三棱锥的体积为.在中，由勾股定理得，同理可得，取的中点，连接，则，由勾股定理得.所以，的面积为.设点到平面的距离为，则，解的.因此，点到平面的距离为.故答案为：.【题目点拨】本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法、空间向量法，考查计算能力，属于中等题.16、40【解题分析】

将问题分成三步解决，首先将排列，再将插空排列，再根据已排好的位置将整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果.【题目详解】第一步：将进行排列，共有种排法第二步：将插空排列，共有种排法第三步：将整体插空放入，共有种排法根据分步乘法计数原理可得共有：种排法本题正确结果：【题目点拨】本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、Ⅰ，或；Ⅱ.【解题分析】

Ⅰ由函数的解析式可得，解一元二次不等式，求出的范围，从而可得结果；Ⅱ由，可得，结合对数函数的定义域可得，，解一元二次不等式组，可求得实数的取值范围．【题目详解】Ⅰ对于函数，应有，求得，或，故该函数的定义域为，或．Ⅱ，即，，即，求得或，即实数x的取值范围为．【题目点拨】本题主要考查对数函数的定义域，对数的运算以及利用一元二次不等式的解法不等式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．18、(1)x|0≤x≤1；(2)-1【解题分析】

（1）对x分类讨论，将不等式转化为代数不等式，求解即可；（2）分别求出函数的最值，利用最值建立不等式，即可得到实数m的取值范围．．【题目详解】解：（1）不等式等价于x≤-1,-3x≤x+2,或-1<x≤1解得x∈∅或0≤x≤12或12<x≤1（2）由f(x)=-3x,x≤-1,-x+2,-1<x≤12,g(x)≥|(3x-2m)-(3x-1)|=|2m-1|，当且仅当(3x-2m)(3x-1)≤0时取等号，所以|2m-1|≤32，解得-14≤m≤54【题目点拨】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．19、（Ⅰ）720种；（Ⅱ）4320种【解题分析】

（Ⅰ）相邻问题用“捆绑法”；（Ⅱ）有限制元素采取“优先法”.【题目详解】解：（Ⅰ）3名女生相邻可以把3名女生作为一个元素，和4名男生共有5个元素排列，有种情况，其中3名女生内部还有一个排列，有种情况，∴一共有种不同的站法.（Ⅱ）根据题意，女生甲不能站在最左端，那么除最左端之外，甲有种站法，将剩余的6人全排列，安排在剩余的位置，有种站法，∴一共有种不同的站法.【题目点拨】本题主要考查排列的应用，较基础.20、（1），；（2）【解题分析】分析：（1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线的普通方程，利用即可得曲线的直角坐标方程；（2）先证明直线过定点，点在圆的内部.当直线与线段垂直时，取得最小值，利用勾股定理可得结果..详解：（1）将（为参数，）消去参数，得直线，，即.将代入，得，即曲线的直角坐标方程为.（2）设直线的普通方程为，其中，又，∴，则直线过定点，∵圆的圆心，半径，，故点在圆的内部.当直线与线段垂直时，取得最小值，∴.点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及勾股定理求圆的弦长，属于中档题