福建省邵武市第四中学2024届高二数学第二学期期末质量检测试题含解析

福建省邵武市第四中学2024届高二数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．2．在一组样本数据不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．3 B．0 C． D．13．已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知奇函数在上是单调函数，函数是其导函数，当时，，则使成立的的取值范围是（）A． B． C． D．5．与复数相等的复数是（）A． B． C． D．6．函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．7．定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图像所有交点的横坐标之和为（）A．2 B．4 C．6 D．88．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192 B．202 C．212 D．2229．某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取个样本，则成绩小于分的样本个数大约为（）A． B． C． D．10．设表示不超过的最大整数（如，）.对于给定的，定义，.若当时，函数的值域是（），则的最小值是（）A． B． C． D．11．设，且，若能被100整除，则等于（）A．19 B．91 C．18 D．8112．已知等比数列{an}中，，，则（）A．±2 B．－2 C．2 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，则函数y＝f（x）的单调递减区间是_____14．外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则______.15．已知，是正整数，，当时，则有成立，当且仅当“”取等号，利用上述结论求，的最小值______．16．在的展开式中，项的系数为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为降低养殖户养鸭风险，某保险公司推出了鸭意外死亡保险，该保单合同规定每只幼鸭投保2元，若生长期内鸭意外死亡，则公司每只鸭赔付12元.假设鸭在生长期内的意外死亡率为0.15，且每只鸭是否死亡相互独立.若某养殖户养鸭3000只，都投保该险种.（1）求该保单保险公司赔付金额等于保费时，鸭死亡的只数；（2）求该保单保险公司平均获利多少元.18．（12分）已知复数满足，在复平面上对应点的轨迹为，、分别是曲线的上、下顶点，是曲线上异于、的一点．（1）求曲线的方程；（2）若在第一象限，且，求的坐标；（3）过点作斜率为的直线分别交曲线于另一点，交轴于点．求证：存在常数，使得恒成立，并求出的值．19．（12分）已知满足，．（1）求，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明对的猜想.20．（12分）已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数有两个不同极值点，求实数的取值范围；（3）当时，求证：对任意，恒成立.21．（12分）已知过抛物线y2=2pxp>0的焦点，斜率为22的直线交抛物线于（1）求抛物线的方程;（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+λ22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可．【题目详解】求解二次不等式可得：，则．据此可知：，选项A错误；，选项B错误；且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误．本题选择C选项，故选C．【题目点拨】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．2、D【解题分析】

根据回归直线方程可得相关系数．【题目详解】根据回归直线方程是可得这两个变量是正相关，故这组样本数据的样本相关系数为正值，且所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则有|r|＝1，∴相关系数r＝1．故选：D．【题目点拨】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．3、D【解题分析】

首先判断函数单调性为增.,将函数不等式关系转化为普通的不等式,再把不等式转换为两个函数的大小关系,利用图像得到答案.【题目详解】在定义域上单调递增，，则由，得，，则当时，存在的图象在的图象上方.，，则需满足.选D.【题目点拨】本题考查了函数的单调性,解不等式,将不等式关系转化为图像关系等知识,其中当函数单调递增时,是解题的关键.4、A【解题分析】

将不等式变形，并构造函数，利用导函数可判断在时的取值情况；根据奇函数性质，即可判断当时的符号，进而得解.【题目详解】当时，，即；令，则，由题意可知，即在时单调递减，且，所以当时，，由于此时，则不合题意；当时，，由于此时，则不合题意；由以上可知时，而是上的奇函数，则当时，恒成立，所以使成立的的取值范围为，故选：A.【题目点拨】本题考查了导数与函数单调性的关系，利用构造函数法分析函数单调性，奇函数性质解不等式，属于中档题.5、C【解题分析】

根据复数运算，化简复数，即可求得结果.【题目详解】因为.故选：C.【题目点拨】本题考查复数的运算，属基础题.6、C【解题分析】

先由函数是奇函数求出，化原不等式为，再由函数的单调性，即可得出结果.【题目详解】因为为奇函数，若，则，所以不等式可化为，又在上单调递减，所以，解得.故选C【题目点拨】本题主要考查由函数的单调性与奇偶性解不等式，熟记函数基本性质即可，属于常考题型.7、B【解题分析】

根据f（x）的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点个数．【题目详解】∵f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x+1）＝﹣f（x+1）＝f（x），∴f（x）的周期为1．∴f（1﹣x）＝f（x﹣1）＝f（x+1），故f（x）的图象关于直线x＝1对称．又g（x）＝（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x＝1对称，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，故选B．【题目点拨】本题考查了函数图象变换，考查了函数对称性、周期性的判断及应用，考查了函数与方程的思想及数形结合思想，属于中档题．8、C【解题分析】∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；

右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里，），

∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，

右边的底数为，又左边为立方和，右边为平方的形式，

故有，故选C.点睛：本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可.9、A【解题分析】分析：根据正态分布的意义可得即可得出结论.详解：由题可得：又对称轴为85，故，故成绩小于分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.点睛：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题关键是要知道.10、B【解题分析】

先根据的定义化简的表达式为,再根据单调性求出函数在两段上的值域,结合已知条件列不等式即可解得.【题目详解】①当时，.在上是减函数，；②当时，.在上是减函数，.的值域是或所以或，的最小值是.故:B.【题目点拨】本题考查了利用函数的单调性求分段函数的值域,属于中档题.11、A【解题分析】

将化为，根据二巷展开式展开后再根据余数的情况进行分析后可得所求．【题目详解】由题意得，其中能被100整除，所以要使能被100整除，只需要能被100整除．结合题意可得，当时，能被100整除．故选A．【题目点拨】整除问题是二项式定理中的应用问题，解答整除问题时要关注展开式的最后几项，本题考查二项展开式的应用，属于中档题．12、C【解题分析】

根据等比数列性质得，，再根据等比数列性质求得.【题目详解】因为等比数列中，，所以，即以，因此=，因为，同号，所以选C.【题目点拨】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

求得函数的导数，利用导数的符号，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，函数，则，令，即，解得，所以函数的单调递减区间为，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了利用研究函数的单调性，求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14、3【解题分析】

利用向量的运算法则将已知等式化简得到,得到BC为直径,故为直角三角形,求出三边长可得的值,利用两个向量的数量积的定义求出的值.【题目详解】,.,B,C共线,BC为圆的直径,.,故.则,【题目点拨】本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆周角为直角,求出为直角三角形及三边长,是解题的关键.15、【解题分析】

先分析题意，再结合不等式的结构配凑，当，，再结合不等式的性质即可得解.【题目详解】解：由当时，则有成立，当且仅当“”取等号，则当，，当且仅当，即时取等号，故答案为：.【题目点拨】本题考查了运算能力，重点考查了类比能力及分析处理数据的能力，属基础题.16、【解题分析】

利用二项式展开式的通项公式，求得项的系数.【题目详解】二项式，展开式中含项为，所以项的系数为.故答案为：.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）500只；（2）600元【解题分析】

（1）根据题意，得到保费的总额，再除以每只鸭赔付的金额，得到答案；（2）根据鸭在生长期内的意外死亡率，得到需赔付的金额，然后根据总的保费，得到平均获利.【题目详解】（1），答：该保险公司赔付金额等于保费时，鸭死亡只数为只.（2）因为鸭在生长期内的意外死亡率为0.15，所以需赔付的金额为，总保费为，所以得到平均获利为.答：该保单保险公司平均获利元.【题目点拨】本题考查求随机变量的均值，属于简单题.18、（1）；（2）；（3）证明见解析，.【解题分析】

（1）根据复数模的几何意义以及椭圆的定义可得出曲线为椭圆，并设曲线的方程为，求出、的值，可得出曲线的方程；（2）设点的坐标为，根据以及得出关于、的方程组，解出这两个未知数，即可得出点的坐标；（3）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，并列出韦达定理，求出点的坐标，并求出、、、的表达式，结合韦达定理可求出的值.【题目详解】（1）设复数，由可知，复平面内的动点到点、的距离之和为，且有，所以，曲线是以点、为左、右焦点的椭圆，设曲线的方程为，则，，.因此，曲线的方程为；（2）设点的坐标为，则，又点在曲线上，所以，解得，因此，点的坐标为；（3）设直线的方程为，点、，直线交轴于点，将直线的方程与曲线的方程联立得，消去，得，得由韦达定理得，.，，，，因此，.【题目点拨】本题考查椭圆的轨迹方程、椭圆上的点的坐标的求解以及直线与椭圆中线段长度比的问题，一般利用将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.19、（1）（）（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）依题意，有，，故猜想；（2）下面用数学归纳法证明.①当时，，显然成立；②假设当）时，猜想成立，即，证明当时，也成立.结合①②可知，猜想对一切都成立.试题解析：（1）猜想：（）（2）下面用数学归纳法证明（）①当时，，显然成立；②假设当）时，猜想成立，即，则当时，即对时，猜想也成立；结合①②可知，猜想对一切都成立.考点：合情推理与演绎推理、数学归纳法．20、（1）（2）（3）见解析【解题分析】

（1）当时,求导数，将切点横坐标带入导数得到斜率，再计算切线方程.（2）求导，取导数为0，参数分离得到，设右边为新函数，求出其单调性，求得取值范围得到答案.（3）将导函数代入不等式，化简得到，设左边为新函数，根据单调性得到函数最值，得到证明.【题目详解】（1）当时，．∴∴，又∵∴，即∴函数在点处的切线方程为．（2）由题意知，函数的定义域为，，令，可得，当时，方程仅有一解，∴，∴令则由题可知直线与函数的图像有两个不同的交点．∵∴当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数．又∵，，且当时，∴，∴∴实数的取值范围为．（3）∵∴要证对任意，恒成立即证成立即证成立设∴∵时，易知在上为减函数∴∴在上为减函数∴∴成立即对任意，恒成立．【题目点拨】本题考查了函数的导数，切线方程，极值点，参数分离法，恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.21、（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.【解题分析】

试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写