2024届河北省三河市第九中学数学高二第二学期期末监测试题含解析

2024届河北省三河市第九中学数学高二第二学期期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个随机变量的分布列如图，其中为的一个内角，则的数学期望为（）A． B． C． D．2．口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，如果为数列前n项和，则的概率等于（）A． B．C． D．3．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（）A． B． C． D．4．若点为圆C：的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（）A． B． C． D．5．函数的一个零点所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)6．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．127．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则()A． B． C． D．8．2只猫把5只老鼠捉光,不同的捉法有()种.A． B． C． D．9．方程的实根所在的区间为（）A． B． C． D．10．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．11．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应该写成（）A．假设当时，能被整除B．假设当时，能被整除C．假设当时，能被整除D．假设当时，能被整除12．已知A={|}，B={|}，则A∪B=A．{|或} B．{|} C．{|} D．{|}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设随机变量的概率分布列如下图，则_____________．14．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_____种（用数字作答）15．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是____．16．已知函数若存在互不相等实数有则的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）求曲线的直角坐标方程；（II）求直线与曲线交点的直角坐标.18．（12分）为了了解创建文明城市过程中学生对创建工作的满意情况，相关部门对某中学的100名学生进行调查．得到如下的统计表：满意不满意合计男生50女生15合计100已知在全部100名学生中随机抽取1人对创建工作满意的概率为.(1)在上表中相应的数据依次为；(2)是否有充足的证据说明学生对创建工作的满意情况与性别有关？19．（12分）如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，为的重心，已知，，，.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）设点在线段上，使得，试确定的值，使得二面角为直二面角.20．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动．（1）当为线段的中点时，①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.21．（12分）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中中间项．22．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB，D，E分别是AB，BB1的中点，且AC＝BC＝AA1＝1．（1）求直线BC1与A1D所成角的大小；（1）求直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用二倍角的余弦公式以及概率之和为1，可得，然后根据数学期望的计算公式可得结果.【题目详解】由，得，所以或(舍去)则，故选：D【题目点拨】本题考查给出分布列，数学期望的计算，掌握公式，细心计算，可得结果.2、B【解题分析】分析：由题意可得模球的次数为7次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，利用独立性事件的概率乘法公式求解即可．详解：由题意说明摸球七次，只有两次摸到红球，因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是所以只有两次摸到红球的概率是，故选B．点睛：本题主要考查了独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中通过确定摸球次数，且只有两次摸到红球是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．3、A【解题分析】

先分析的奇偶性以及在的单调性，然后再对每个选项进行分析.【题目详解】函数为偶函数,且在上为增函数，对于选项,函数为偶函数，在上为増函数，符合要求；对于选项,函数是偶函数，在上为减函数，不符合题意；对于选项,函数为奇函数，不符合题意；对于选项,函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项符合要求，故选.【题目点拨】奇偶函数的判断：（满足定义域关于原点对称的情况下）若，则是奇函数；若，则是偶函数.4、A【解题分析】

根据题意，先求出直线PC的斜率，根据MN与PC垂直求出MN的斜率，由点斜式，即可求出结果.【题目详解】由题意知，圆心的坐标为，则，由于MN与PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直线方程为，即.故选A【题目点拨】本题主要考查求弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型.5、C【解题分析】

根据函数零点的判定定理进行判断即可【题目详解】是连续的减函数，又可得f（2）f（3）＜0，∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是(2,3)故选C【题目点拨】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题．6、C【解题分析】

由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．【题目详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，，当时，，则函数与函数在上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.【题目点拨】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．7、B【解题分析】

先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.【题目详解】依题意,,故.故选B.【题目点拨】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.8、B【解题分析】分析：利用乘法分步计数原理解决即可.详解：由于每只猫捉老鼠的数目不限，因此每一只老鼠都可能被这2只猫中其中一只捉住，由分步乘法计数原理，得共有不同的捉法有种.故选：B.点睛：(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．9、B【解题分析】

构造函数，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案．【题目详解】构造函数，则该函数在上单调递增，，，，由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选B.【题目点拨】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题．10、A【解题分析】

先化简集合A,B,再判断每一个选项得解.【题目详解】∵，，由此可知，，，，故选：A．【题目点拨】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11、D【解题分析】注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确；故选D．本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k-1能取到1，是解好本题的关键．12、D【解题分析】

根据二次不等式的解法得到B={|}=，再根据集合的并集运算得到结果.【题目详解】B={|}=,A={|},则A∪B={|}.故答案为:D.【题目点拨】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用概率之和为求得的值.解，求得的值，将对应的概率相加求得结果.【题目详解】根据，解得.解得或，故所求概率为.【题目点拨】本小题主要考查分布列的概率计算，考查含有绝对值的方程的解法，属于基础题.14、540【解题分析】

首先将6个小队分成三组，有三种组合，然后再分配，即可求出结果．【题目详解】（1）若按照进行分配有种方案；（2）若按照进行分配有种方案；（3）若按照进行分配有种方案；由分类加法原理，所以共有种分配方案．【题目点拨】本题主要考查分类加法计数原理，以及排列组合的相关知识应用．易错点是平均分配有重复，注意消除重复．15、【解题分析】

根据题意，可得函数f（x）的图象与直线y＝+1有三个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出实数的取值范围即可．【题目详解】根据题意可得函数f（x）的图象与直线y＝+1有三个不同的交点，当x≤1时，函数f（x）max＝f（﹣）＝，如图所示：则0＜+1＜，所以实数a的取值范围是﹣2＜＜．故答案为（﹣2，）．【题目点拨】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，考查了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．16、【解题分析】

不妨设，根据二次函数对称性求得的值.根据绝对值的定义求得的关系式，将转化为来表示，根据的取值范围，求得的取值范围.【题目详解】不妨设，画出函数的图像如下图所示.二次函数的对称轴为，所以.不妨设，则由得，得，结合图像可知，解得，所以，由于在上为减函数，故.【题目点拨】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（II）.【解题分析】

（I）曲线C的极坐标方程为两边同乘，利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程．（II）将代入中，得的二次方程，解得则可求解【题目详解】（I）将两边同乘得，，曲线的直角坐标方程为：.（II）将代入中，得，解得，直线与曲线交点的直角坐标为.【题目点拨】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、直线与抛物线相交问题，考查的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18、(1)5,30,80,20,55,45；(2)有.【解题分析】分析：（1）根据列联表得关系确定数值，（2）根据公式求K2，再与参考数据比较得可靠性.详解：(1)填表如下：满意不满意合计男生50555女生301545合计80201005,30,80,20,55,45(2)根据列联表数据可得K2的观测值k＝≈9.091>7.879，所以有在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为学生对创建工作的满意情况与性别有关．点睛：本题考查卡方公式，考查基本求解能力.19、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解题分析】

（1）方法一：由重心的性质得出，再由，结合相似三角形的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；方法二：以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用重心的坐标公式计算出点的坐标，可计算出，可证明出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；（2）计算出和，利用向量的坐标运算计算出，即可得出异面直线与所成角的余弦值；（3）由，得出，可求出的坐标，然后可计算出平面（即平面）的一个法向量和平面的一个法向量，由题意得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求出实数的值.【题目详解】（1）方法一：如图，连接，因为是的重心，是的中点，即，，，，所以，，又因为平面，平面，平面；方法二：以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、，是的重心，则点的坐标为，，，即，又因为平面，平面，平面；（2），，，所以异面直线与所成角的余弦值；（3），，，，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，得，即，令，可得，，所以，平面的一个法向量为，由，得，得，取，则，，所以，平面的一个法向量为，由于二面角为直二面角，所以，，则，解得，合乎题意.【题目点拨】本题考查直线与平面平行的判定、异面直线所成角的计算以及空间的动点问题，一般是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行转化，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.20、（1）①见解析；②；（2）.【解题分析】

（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直和计算二面角．（2）设（），设直线与平面所成的角为由向量坐标法求得设设由导数法求得范围．【题目详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，.因为分别是棱的中点，所以（1）当为线段的中点时，则①因为所以即②因为设平面的一个法向量为由可得，取，则所以又因为是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角的平面角为，则.因为为锐角，所以所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为（2）因为在线段上，所以设（），解得，所以.因为设平面的一个法向量为由可得，取则所以设直