广西壮族自治区贵港市覃塘高级中学2024届高二数学第二学期期末监测试题含解析

广西壮族自治区贵港市覃塘高级中学2024届高二数学第二学期期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．岳阳高铁站进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（）种A．24 B．36 C．42 D．603．已知直线（为参数）与曲线的相交弦中点坐标为，则等于（）A． B． C． D．4．在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为A．正三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）A．1或9 B．6 C．9 D．以上都不对6．复数的共轭复数是（）A． B． C． D．7．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A． B． C． D．8．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）A． B． C． D．9．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8xC．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x10．若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（）A．4B．C．2D．11．函数的图象在点处的切线方程为A． B． C． D．12．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A．72种 B．36种 C．24种 D．18种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则展开式中的系数为__________．14．从湖中打一网鱼，共条，做上记号再放回湖中；数天后再打一网鱼共有条，其中有条有记号，则能估计湖中有鱼____________条.15．条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______________．16．设,是实数集的两个子集,对于,定义：若对任意,,则,,满足的关系式为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）对于集合,,,,定义.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足,则称集合具有性质.(1)已知集合,,写出,的值；(2)已知集合,其中,证明：有性质；(3)已知集合,有性质,且求的最小值.18．（12分）已知曲线（t为参数），曲线．（设直角坐标系x正半轴与极坐系极轴重合）．（1）求曲线与直线的普通方程；（2）若点P在曲线上，Q在直线上，求的最小值．19．（12分）已知是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距．20．（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)若点的极坐标为，是曲线上的一动点，求面积的最大值．21．（12分）如图几何体中，底面为正方形，平面，，且.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小.22．（10分）选修4-5：不等式选讲.（1）当时，求函数的最大值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.【题目详解】表示焦点在轴上的双曲线⇔,解得1<m<5,故选B.【题目点拨】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意2、D【解题分析】分析：三名同学可以选择1个或2个或3个不同的检票通道口进站，三种情况分别计算进站方式即可得到总的进站方式.详解：若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有种；若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有种；若三名同学从1个不同的检票通道口进站，则有种；综上，这3个同学的不同进站方式有种，选D.点睛：本题考查排列问题，属于中档题，解题注意合理分类讨论，而且还要注意从同一个进站口进入的学生的不同次序.3、A【解题分析】

根据参数方程与普通方程的互化，得直线的普通方程为，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线普通方程为，再利用“平方差”法，即可求解．【题目详解】由直线（为参数），可得直线的普通方程为，由曲线，可得曲线普通方程为，设直线与椭圆的交点为，，则，，两式相减，可得.所以，即直线的斜率为，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4、C【解题分析】

根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出的形状为直角三角形．【题目详解】由题意知，由正弦定理得又展开得，又角A，B，C是三角形的内角又综上所述，的形状为直角三角形，故答案选C．【题目点拨】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意的应用．5、C【解题分析】

根据双曲线的一条渐近线方程为求出，由双曲线的定义求出，判断点在左支上，即求.【题目详解】双曲线的渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为，.由双曲线的定义可得，又，或.点在左支上，.故选：.【题目点拨】本题考查双曲线的定义和性质，属于基础题.6、A【解题分析】因为，所以复数的共轭复数是-1，选A.7、C【解题分析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C8、A【解题分析】分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．详解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由题意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴﹣1＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故选A．点睛：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.9、B【解题分析】

求函数在处的导数即可求解.【题目详解】∵，．令，得，.故.【题目点拨】本题主要考查导数定义的运用.求解在处的导数是解题的关键.10、D【解题分析】依题意可知直线过圆心，代入直线方程得，当且仅当时当好成立，此时原点到直线的距离为.11、C【解题分析】f′(x)＝，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故选C12、B【解题分析】

根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【题目详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有C3若甲村有2外科,1名护士,则有C3则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，故选：B.【题目点拨】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、448.【解题分析】由题意可得：,则展开式的通项公式为：，令可得：,则的系数为：.14、【解题分析】

按比例计算．【题目详解】估计湖中有鱼条，则，．故答案为：．【题目点拨】本题考查用样本数据特征估计总体，解题时把样本的频率作为总体频率计算即可．15、【解题分析】

解：是的充分而不必要条件，，等价于，的解为，或，，故答案为：．16、或.【解题分析】

根据新定义、可以得到两种情况,一种,另一种情况,这样就可以确定,,满足的关系.【题目详解】因为对任意,,所以必有一个0,一个是1.根据定义可知：当时,则有,当时,则有,根据补集定义可知：或.故答案为：或.【题目点拨】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了集合补集定义的理解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明过程见解析；(3).【解题分析】

(1)利用定义,通过计算可以求出,的值；(2)可以知道集合中的元素组成首项为,公比为的等比数列,只要证明这个等比数列中的任意两项(包括本身与本身)的和不在这个数列中即可.(3)根据,有性质了,可以知道集合中元素的性质,这样可以求出的最小值.【题目详解】(1)根据定义可得：,.所以(2)数列的通项公式为：.若存在成立，则,因此有,即有.等式的左边是2的倍数,右边是3的倍数,故等式不成立,因此等比数列中的任意两项(包括本身与本身)的和不在这个数列中所以中的元素的个数为：,即,所以有性质；(3)集合具有性质,所以集合中的任意两个元素的和都不在该集合中,也就是集合中的任意两个元素的和都不相等,对于任意的有,也就是任意两个元素的差的绝对值不相等.设,所以集合具有性质,集合,有性质,且(当且仅当时,取等号).所以的最小值为.【题目点拨】本题考查了新定义题,考查了等比数列的性质,考查了反证法的应用.18、（1），（2）【解题分析】分析：（1）利用平方关系消参得到曲线，化曲线的极坐标方程为普通方程；（2）利用圆的几何性质，即求圆心到直线距离减去半径即可.详解：（1），（2）圆心（-2，1）到直线距离最小值为点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．19、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）由在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去，根据韦达定理求解出，从而可得中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.【题目详解】（1）是抛物线上一点根据题意可得：，，，，依次成等比数列（2）由，消可得，设的中点，线段的垂直平分线的斜率为故其直线方程为当时，【题目点拨】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.20、(1);(2).【解题分析】分析：（1）消去参数可以求出曲线C的普通方程，由，，能求出曲线的极坐标方程；（2）解法一：极坐标法.设动点极坐标为，由正弦定理得的表达式，确定最大值.解法二：几何法.过圆心作的垂线交圆于、两点，交于点.以为底边计算，将最大值，转化为底边上的高最大值问题，由圆的性质，易得当点M与点P重合时，高时取得最大值，由锐角的三角函数得，，，即可求出面积的最大值．解法三：与解法二相同，最大值时，由勾股定理求得.解法四：与解法二相同，最大值时，由圆心到之间距离计算.详解：解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴消去参数得，即∵，，∴曲线的极坐标方程为即.（2）解法一：设点的极坐标为且，∴当且仅当即时，的最大值为（2）解法二：∵点、在圆上∴过圆心作的垂线交圆于、两点，交于点则如图所示,（2）解法三：∵点、在圆上∴过圆心作的垂线交圆于、两点，交于点则下同解法二（2）解法四：∵点、在圆上∴过圆心作直线的垂线交圆于、两点，交于点∵直线的方程为：∴点到直线的距离下同解法二点睛：本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查三角形面积最大值的求法，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.21、