2024届北京海淀科大附中高二数学第二学期期末复习检测试题含解析

2024届北京海淀科大附中高二数学第二学期期末复习检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出下列四个说法：①命题“，都有”的否定是“，使得”；②已知、，命题“若，则”的逆否命题是真命题；③是的必要不充分条件；④若为函数的零点，则.其中正确的个数为（）A． B． C． D．2．（）A．9 B．12 C．15 D．33．若的二项展开式各项系数和为，为虚数单位，则复数的运算结果为（）A． B． C． D．4．若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．若对任意的实数k,直线y-2＝k(x＋1)恒经过定点M,则M的坐标是A．(1,2) B．(1,) C．(,2) D．()6．若曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．1 B． C．2 D．7．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中的记录的产量与相应的生产能耗的几组对应数据如图：根据下表数据可得回归方程，那么表中的值为（）A． B． C． D．8．已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上的点，且，若坐标原点到直线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．9．在下列命题中，①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是；②的展开式中的常数项为2；③设随机变量，若，则.其中所有正确命题的序号是（）A．② B．①③C．②③ D．①②③10．复数为虚数单位）的虚部为（）A． B． C． D．11．如图是“向量的线性运算”知识结构，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在（）A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位B．“向量的加减法”中“运算律”的下位C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位D．“向量的数乘”中“运算律”的下位12．的展开式存在常数项，则正整数的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知中角满足且,则__________.14．将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当等于__________时，方盒的容积最大．15．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为_________________.16．已知向量满足，，的夹角为，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在创建“全国文明卫生城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分(满分100分)统计结果如下表所示:组别频数（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费;②每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)概率现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与均值.附:参考数据与公式若，则=0.9544，18．（12分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E-AC-B的大小．19．（12分）设等差数列的前项和为，是等比数列，且，，，，是否存在，使，且？若存在，求的值．若不存在，则说明理由．20．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？21．（12分）某校高二理科1班共有50名学生参加学业水平模拟考试，成绩（单位：分，满分100分）大于或等于90分的为优秀，其中语文成绩近似服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图.（1）这50名学生中本次考试语文、数学成绩优秀的大约各有多少人？（2）如果语文和数学两科成绩都优秀的共有4人，从语文优秀或数学优秀的这些同学中随机抽取3人，设3人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望；（3）根据（1）（2）的数据，是否有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀？语文优秀语文不优秀合计数学优秀数学不优秀合计附：①若，则，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知函数，（其中，且），（1）若，求实数的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②的真假；解出不等式，利用充分必要性判断出命题③的真假；构造函数，得出，根据零点的定义和函数的单调性来判断命题④的正误.【题目详解】对于命题①，由全称命题的否定可知，命题①为假命题；对于命题②，原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，命题②为真命题；对于命题③，解不等式，得或，所以，是的充分不必要条件，命题③为假命题；对于命题④，函数的定义域为，构造函数，则函数为增函数，又，为函数的零点，则，，，则，命题④为真命题.故选：C.【题目点拨】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的关系，充分必要的判断以及函数的零点，考查推理能力，属于中等题.2、A【解题分析】分析：直接利用排列组合的公式计算.详解：由题得.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查排列组合的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)排列数公式：==(，∈，且)．组合数公式：===(∈，，且)3、C【解题分析】

分析：利用赋值法求得，再按复数的乘方法则计算．详解：令，得，，∴．故选C．点睛：在二项式的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为，二项式系数和为，两者不能混淆．4、B【解题分析】

不等式可整理为，然后转化为求函数y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．【题目详解】不等式，即不等式lglg3x﹣1，∴，整理可得，∵y在（﹣∞，1）上单调递减，∴∈（﹣∞，1），y1，∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B.【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．5、C【解题分析】∵对任意的实数，直线恒经过定点∴令参数的系数等于零，得∴点的坐标为故选C点睛：含参直线恒过定点的求法：（1）分离参数法，把含有的参数的直线方程改写成，解方程组，便可得到定点坐标；（2）特殊值法，把参数赋两个特殊的值，联立方程组，即可得到定点坐标.6、B【解题分析】

求出原函数的导函数，根据题意列出关于的方程组，计算即可得到结果【题目详解】，则，在点处的切线与直线垂直则，，将点代入曲线中有，即，故选【题目点拨】本题主要考查的是利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线垂直与斜率的关系，同时要求学生掌握求导法以及两直线垂直时斜率满足的条件。7、D【解题分析】

计算出、，将点的坐标代入回归直线方程可求出的值.【题目详解】由题意得，，由于回归直线过样本的中心点，所以，，解得，故选：D.【题目点拨】本题考查回归直线方程的应用，解题时要熟悉回归直线过样本中心点这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.8、B【解题分析】

利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与c之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率.【题目详解】如图，，，依题意，，

且，可知三角形是一个等腰直角三角形，

，，

在中，由余弦定理可得：

，

化简得，

该双曲线的离心率为．

故选：B．【题目点拨】本题主要考查余弦定理，双曲线的定义、简单几何性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．9、C【解题分析】

根据二项式定理，古典概型，以及正态分布的概率计算，对选项进行逐一判断，即可判断.【题目详解】对①：从9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有种可能；满足2张卡片上的数奇偶性不同，共有种可能；根据古典概型的概率计算公式可得，其概率为，故①错误；对②：对写出通项公式可得，令，解得，即可得常数项为，故②正确；对③：由正态分布的特点可知，故③正确.综上所述，正确的有②③.故选：C.【题目点拨】本题考查古典概型的概率计算，二项式定理求常数项，以及正态分布的概率计算，属综合性基础题.10、B【解题分析】

由虚数的定义求解．【题目详解】复数的虚部是－1．故选：B．【题目点拨】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础．11、A【解题分析】

由“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，由此易得出正确选项．【题目详解】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．故选A．【题目点拨】本题考查知识结构图，向量的加减法的运算法则，知识结构图比较直观地描述了知识之间的关联，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系．12、C【解题分析】

化简二项式展开式的通项公式，令的指数为零，根据为正整数，求得的最小值.【题目详解】，令，则，当时，有最小值为7.故选C.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查与正整数有关问题，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：先化简得到，再化简得到.详解：因为，所以1-,所以，因为,所以,所以A+B=.，所以,因为sinA>0,所以.故答案为.点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.14、【解题分析】

先求出方盒容积的表达式，再利用导数根据单调性求最大值.【题目详解】方盒的容积为：当时函数递减，当时函数递增故答案为【题目点拨】本题考查了函数的最大值的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.15、【解题分析】

先求出截面圆的半径，再算截面面积。【题目详解】截面圆半径为，截面面积为。【题目点拨】先求出截面圆的半径，再算截面面积。16、【解题分析】

先计算，再由展开计算即可得解.【题目详解】由，，的夹角为，得.所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了利用向量的数量积计算向量的模长，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见解析；【解题分析】

（1）由题意求出，从而，进而，．由此能求出．（2）由题意知，获赠话费的可能取值为20，40，60，1．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．【题目详解】解：（1）由题意得．，，，，综上．（2）由题意知，获赠话费的可能取值为20，40，60，1．；；；；的分布列为：2040601．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．18、（1）见解析（2）135°【解题分析】试题分析：（1）一般线面平行考虑连接中点，形成中位线，连BD交AC于M,连接EM即可；（2）以A为原点建系，显然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角．试题解析：∵PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AB，且AC⊥AB，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．（1）∵D(1,-2,0)，P(0,0∴AE=(12设平面AEC的法向量为n1=(x,y,z)，则{12x-y+z=0又B(0,2,0)，所以PB=(0,2,-2)又PB⊄平面AEC，因此，PB∥平面AEC．（2）∵平面BAC的一个法向量为AP=(由（1）知，平面AEC的法向量为n1设二面角E-AC-B的平面角为θ（θ为钝角），则cosθ=-|cos<所以二面角E-AC-B的大小为135°．19、存在，．【解题分析】

由已知条件，可求出数列和通项公式，由，化简即可得出的值.【题目详解】由，得，，由，得，由，所以且为等差数列，则是公差，由所以，即得，所以，且.所以．【题目点拨】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式，以及数列前项和的定义.20、（1）分布列见解析；（2）520.【解题分析】分析：（1）根据题意所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，，；（2）分两种情况：当时，当时，分别得到利润表达式.详解：（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则因此当时，若最高气温不低于20，则，若最高气温低于20，则，因此所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元.方法点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分