2024届河北省衡水中学数学高二下期末监测试题含解析

2024届河北省衡水中学数学高二下期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是关于x的实系数方程的一个虚数根，则（）A．， B．， C．， D．，2．的展开式中的系数是（）A．-1152 B．48 C．1200 D．23523．已知曲线在处的切线与直线平行，则的值为（）A．-3 B．-1 C．1 D．34．复数A． B． C． D．5．已知随机变量服从的分布列为123…nP…则的值为（）A．1 B．2 C． D．36．若实数a,b满足a+b<0，则()A．a,b都小于0B．a,b都大于0C．a,b中至少有一个大于0D．a,b中至少有一个小于07．若函数为偶函数，则（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．08．已知命题,那么命题为A． B．C． D．9．在平行四边形中，为线段的中点，若，则（）A． B． C． D．10．三棱锥中，，，为的中点,分别交，于点、，且，则三棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．11．已知A（2，0），B（0，1）是椭圆的两个顶点，直线与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若，则斜率k的值为（）A． B． C．或 D．或12．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高（单位：）与体重（单位：）数据如下表：1651651571701751651551704857505464614359若已知与的线性回归方程为，那么选取的女大学生身高为时，相应的残差为（）A． B．0.96 C．63.04 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师，2名学生)开展实验活动，但学生甲必须与教师A在一起，这样的分组方法有________种．(用数字作答)14．定义在上的奇函数的导函数为，且．当时，，则不等式的解为__________．15．设集合,,则____________.16．已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点，则其焦点到准线的距离为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）求函数的单调区间．18．（12分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，，且，为线段的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．19．（12分）在直角坐标系中，倾斜角为的直线经过坐标原点，曲线的参数方程为（为参数）.以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求与的极坐标方程；（2）设与的交点为、，与的交点为、，且，求值.20．（12分）在△中，内角的对边分别为，其面积.(1)求的值；(2)设内角的平分线交于，，，求.21．（12分）已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）射线与曲线交点为、两点，射线与曲线交于点，求的最大值．22．（10分）已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，，是中点，求的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【题目详解】解：∵1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴，解得b＝﹣2，c＝1．故选：D．【题目点拨】本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题．2、B【解题分析】

先把多项式化简，再用二项式定理展开式中的通项求出特定项的系数，求出对应项的系数即可.【题目详解】解：，的二项式定理展开式的通项公式为，的二项式定理展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用以及利用二项式展开式的通项公式求展开式中某项的系数问题，是基础题目.3、C【解题分析】

由导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，根据两直线平行斜率相等即可得到的值。【题目详解】因为，所以线在处的切线的斜率为，由于曲线在处的切线与直线平行，故，即，故选C．【题目点拨】本题考查导数的几何意义，属于基础题4、C【解题分析】，故选D.5、A【解题分析】

由概率之和为1，列出等式，即可求得k值.【题目详解】由概率和等于1可得：，即.故选A.【题目点拨】本题考查分布列中概率和为1，由知识点列式即可得出结论.6、D【解题分析】假设a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.7、C【解题分析】

由f（x）为偶函数，得，化简成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0对恒成立，从而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【题目详解】若函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即；得对恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故选C．【题目点拨】本题考查偶函数的定义，以及对数的运算性质，平方差公式，属于基础题．8、C【解题分析】

全称命题的否定是特称命题,要前改量词，后面否定结论,故选C.9、B【解题分析】分析：利用向量的平行四边形法则，向量共线定理即可得出.详解：，，故选：B.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10、B【解题分析】

由已知可知，是正三角形，从而，，进而，是的平分线，，由此能求出三棱锥体积的最大值.【题目详解】由题意得，，所以是正三角形，分别交，于点、，，，，,，，是的平分线，，以为原点，建立平面直角坐标系，如图：设，则，整理得，，因此三棱锥体积的最大值为.故选：B【题目点拨】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.11、C【解题分析】

依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为，，，且满足方程，进而求得的表达式，根据，求得的表达式，由D在AB上知，进而求得的另一个表达式，两个表达式相等即可求得k．【题目详解】依题设得椭圆的方程为，直线AB，EF的方程分别为，．设，其中，且满足方程，故，由，知，得，由D在AB上知，得．所以，化简得，解得或．故选C．【题目点拨】本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆联立，求交点，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．12、B【解题分析】

将175代入线性回归方程计算理论值，实际数值减去理论数值得到答案.【题目详解】已知与的线性回归方程为当时：相应的残差为：故答案选B【题目点拨】本题考查了残差的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、30【解题分析】

将三名教师命名为A，B，C，按照要求，教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种．【题目详解】将三名教师命名为A，B，C，所以可按三步完成分组，第一步让教师A选学生，第二步让教师B选学生，第三步将剩下的学生分配给教师C即可．教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种．【题目点拨】本题主要考查分步乘法计数原理的应用．14、【解题分析】

构造函数，通过导数可知在上单调递减；根据奇偶性定义可证得为奇函数，可得在上单调递减；根据可求得的解集；根据可求得的解集，结合可求得最终结果.【题目详解】设，，则当时，在上单调递减为奇函数，为定义在上的奇函数在上单调递减又，当时，；当时，又时，时，的解集为：当时，综上所述，的解集为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查函数不等式的求解问题，关键是能够通过构造函数的方式来利用所构造函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集，是对函数性质应用的综合考查.15、{2,4,6,8}【解题分析】分析：详解：因为,,表示A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.16、【解题分析】

根据抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，且过点,可以设出抛物线的标准方程,代入后可计算得,再根据抛物线的几何性质可得答案.【题目详解】因为抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，且过点,所以可设抛物线的标准方程为:,将代入可得,解得,所以抛物线的焦点到准线的距离为.故答案为:.【题目点拨】本题考查了求抛物线的标准方程,考查了抛物线的焦准距,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）求导得到，代入数据计算得到答案.（2）求导得到，根据导数的正负得到函数的单调区间.【题目详解】（1），故，故.（2），则或；，则.故函数在和上单调递增，在上单调递减.【题目点拨】本题考查了计算导数值，求函数的单调区间，意在考查学生的计算能力.18、（1）见解析（2）【解题分析】试题分析：（Ⅰ）要证线线垂直，一般先证线面垂直，注意到底面，考虑证明与平面平行（或其内一条直线平行），由于是中点，因此取中点（实质上是与的交点），可证是平行四边形，结论得证；（Ⅱ）求三棱锥的体积，采用换底，即，由已知可证就是三棱锥的高，从而易得体积．试题解析：（Ⅰ）连结与交于点，则为的中点，连结，∵为线段的中点，∴且又且∴且∴四边形为平行四边形，∴,即．又∵平面,面,∴,∵,∴,（Ⅱ）∵平面，平面,∴平面平面∵，平面平面，平面，∴平面.三棱锥的体积考点：线面垂直的判定与性质，三棱锥的体积．19、（1）的极坐标方程为.的极坐标方程为.（2）【解题分析】

（1）倾斜角为的直线经过坐标原点，可以直接写出；利用，把曲线的参数方程化为普通方程，然后再利用，把普通方程化成极坐标方程；（2）设，，则，，已知，所以有，运用二角差的正弦公式，可以得到，根据倾斜角的范围，可以求出值.【题目详解】解：（1）因为经过坐标原点，倾斜角为，故的极坐标方程为.的普通方程为，可得的极坐标方程为.（2）设，，则，.所以.由题设，因为，所以.【题目点拨】本题考查了已知曲线的参数方程化成极坐标方程.重点考查了极坐标下求两点的距离.20、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）由，可得，即；（2）由角平分线定理可知，，，分别在与中，由余弦定理可得，，即，于是可得.试题解析：（1），可知，即.（2）由角平分线定理可知，，，在中，，在中，即，则.21、（1），；（2）【解题分析】

（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再由转化为极坐标方程，将曲线的极坐标利用两角差的正弦公式展开，由转化为直角坐标方程；（2）点和点的极坐标分别为，，将点、的极坐标分别代入曲线、的极坐标方程，得出、的表达式，再利用辅助角公式计算出的最大值。【题目详解】（1）由曲线的参数方程（为参数）得：，即曲线的普通方程为，又，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程可化为，故曲线的直角方程为；（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，其中则，，于是其中，由于，当时，的最大