2024届安徽省黉学高级中学数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届安徽省黉学高级中学数学高二第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．二项式的展开式中的常数项是A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项2．设集合A={x|x>0}，B={x|x2-5x-14<0}，则A．{x|0<x<5} B．{x|2<x<7}C．{x|2<x<5} D．{x|0<x<7}3．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：及格不及格合计很少使用手机20525经常使用手机101525合计302050则有（）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．参考公式:，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数是”为事件，则事件中恰有一个发生的概率是（）A． B． C． D．5．斐波那契螺旋线，也称“黄金蜾旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．6．已知，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．7．独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是（）A．在100个男性中约有90人喜爱喝酒B．若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%C．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10%D．认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90%8．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（）A． B． C． D．9．“x2-4x>0”是“x>4A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要10．化简的结果是（）A． B． C．1 D．11．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知当时，在上是“凸函数”，则在上()A．既有极大值,也有极小值 B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值 D．没有极大值,也没有极小值12．数列，满足，，，则数列的前项和为（）．A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的，则没有一个空盒子的概率为________14．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计3000件已知甲、乙、丙、丁4类产品数量之比为1：2：4：现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，则乙类产品抽取的件数为______．15．曲线与直线及轴围成的图形的面积为__________．16．如图所示，在平面四边形中，，，为正三角形，则面积的最大值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在创建“全国文明卫生城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分(满分100分)统计结果如下表所示:组别频数（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费;②每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)概率现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与均值.附:参考数据与公式若，则=0.9544，18．（12分）已知椭圆：，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点.（1）若为线段的中点，求直线的方程；（2）记，求的取值范围.19．（12分）已知动圆既与圆：外切，又与圆：内切，求动圆的圆心的轨迹方程.20．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时）2.5344.5参考公式：，，残差（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出关于的线性回归方程；（3）求第二个点的残差值，并预测加工10个零件需要多少小时？21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C:，直线：，直线：以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C的参数方程以及直线，的极坐标方程；（2）若直线与曲线C分别交于O、A两点，直线与曲线C交于O、B两点，求△AOB的面积.22．（10分）已知复数z=a+bi(a,b∈R)，若存在实数t，使z=(1)求证：2a+b为定值；(2)若|z-2|<a，求|z|的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】展开式的通项公式Tr＋1＝，令＝0，得r＝8.展开式中常数项是第9项.选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.2、D【解题分析】试题分析：由B={x|x2-5x-14<0}={x|-2<x<7}，所以考点：集合的运算．3、C【解题分析】

根据2×2列联表，求出的观测值，结合题中表格数据即可得出结论.【题目详解】由题意，可得：，所以有99.5%的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响.故选C.【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于基础题.4、B【解题分析】

由相互独立事件同时发生的概率得：事件，中恰有一个发生的概率是，得解．【题目详解】记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数是3”为事件，则∴事件，中恰有一个发生的概率是.故选：B．【题目点拨】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查运算求解能力，求解时注意识别概率模型.5、B【解题分析】

根据几何概型的概率公式，分别求出阴影部分面积和矩形ABCD的面积，即可求得。【题目详解】由已知可得：矩形的面积为，又阴影部分的面积为，即点取自阴影部分的概率为，故选。【题目点拨】本题主要考查面积型的几何概型的概率求法。6、C【解题分析】，故答案选7、D【解题分析】

根据独立性检验的含义只能得到出错的可能率或正确的可靠率【题目详解】独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故A，B错误.由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为10%，故C错误，D正确.选D.【题目点拨】本题考查独立性检验的含义，考查基本分析判断能力，属基础题.8、C【解题分析】试题分析：由，可得，∴z对应的点的坐标为（4，－2），故选C．考点：考查了复数的运算和复数与复平面内点的对应关系．点评：解本题的关键是根据复数的除法运算求出复数z，然后利用复数z所对应的点的横坐标和纵坐标分别为为复数的实部和虚部，得出对应点的坐标．9、B【解题分析】

求出x2-4x>0的【题目详解】x2因此x2-4x>0是故选B．【题目点拨】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件队用定义判定外还可根据集合之间的包含关系确定．如p对应集合是A，q对应集合是B，则A⊆B⇔p是q的充分条件⇔q是p的必要条件．10、C【解题分析】

将根式化为指数，然后利用指数运算化简所求表达式.【题目详解】依题意，.故选：C【题目点拨】本小题主要考查根式与指数运算，属于基础题.11、C【解题分析】此题考查函数极值存在的判定条件思路：先根据已知条件确定m的值，然后在判定因为时，在上是“凸函数”所以在上恒成立，得在是单调递减，的对称轴要满足与单调递增单调递减，当时有极大值，当时有极小值所以在上有极大值无极小值12、D【解题分析】

由题意是数列是等差数列，数列的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前项和公式即可求得.【题目详解】因为，，所以数列是等差数列，数列的等比数列，因此，，数列的前项和为：.故选：.【题目点拨】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】

方法一：4个相同球放进3个不同的盒子,先加进3个球，变成7个相同球，用隔板法解决，有个结果，再将多加进的球取出，4个相同球放进3个不同的盒子，每个盒子至少一个球，4个相同的球之间有3个间隔，再用隔板法解决，可得解；方法二：4个相同球放进3个不同的盒子,有以下4种情形：1、4个相同的小球一起，放入3个不同的盒子中；2、4个相同的小球有3个小球放在一起，放入3个不同的盒子中；3、4个相同的小球有2个小球在一起，另2个也在一起，放入3个不同的盒子中；4、4个相同的小球有2个小球在一起在一个盒子中，另2个小球分别在两个盒子中，所以4个相同的小球放入3个不同的盒子中共有15种不同的结果，而“没有一个空盒子”的情况就是上述的第4种情况，可得解.【题目详解】方法一：4个相同球放进3个不同的盒子,先加进3个球，变成7个相同球，放进3个不同盒子，保证每个盒子至少一个球，7个相同的球之间有6个间隔，用隔板法解决，有个结果，再将多加进的球取出，“没有一个空盒子”记为随机事件A,4个相同球放进3个不同的盒子，每个盒子至少一个球，4个相同的球之间有3个间隔，用隔板法解决，有个结果，故，所以“没有一个空盒子”的概率为；方法二：4个相同球放进3个不同的盒子,有以下4种情形：1、4个相同的小球一起，放入3个不同的盒子中有3个不同的结果；2、4个相同的小球有3个小球放在一起，放入3个不同的盒子中有6种不同的结果；3、4个相同的小球有2个小球在一起，另2个也在一起，放入3个不同的盒子中有3种不同的结果；4、4个相同的小球有2个小球在一起在一个盒子中，另2个小球分别在两个盒子中，共有3种不同的结果，所以4个相同的小球放入3个不同的盒子中共有15种不同的结果，而“没有一个空盒子”的情况就是上述的第4种情况，共有3个不同的结果，所以“没有一个空盒子”的概率为，故填：.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型的基础知识，利用隔板法和枚举法是解决此类问题的常用方法.属于中档题．14、【解题分析】

根据甲乙丙丁的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【题目详解】解：甲、乙、丙、丁4类产品共计3000件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：8，用分层抽样的方法从中抽取150件，则乙类产品抽取的件数为，故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查分层抽样的定义和应用，熟练掌握分层抽样的定义是解决问题的关键．15、【解题分析】

首先利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算定积分即可．【题目详解】由曲线与直线及轴围成的图形的面积为即答案为.【题目点拨】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示所求面积．16、.【解题分析】分析：在中设运用余弦定理，表示出，利用正弦定理可得，进而用三角形面积公式表示出，利用三角函数的有界性可得结果.详解：在中，由余弦定理可知，正三角形，，由正弦定理得：，，，，为锐角，，，，当时，，最大值为，故答案为.点睛：本题考查正弦定理与余弦定理的应用以及辅助角公式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见解析；【解题分析】

（1）由题意求出，从而，进而，．由此能求出．（2）由题意知，获赠话费的可能取值为20，40，60，1．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．【题目详解】解：（1）由题意得．，，，，综上．（2）由题意知，获赠话费的可能取值为20，40，60，1．；；；；的分布列为：2040601．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．18、（1）；（2）【解题分析】

（1）设直线l1的方程为y﹣1=k（x﹣1），根据韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率k，问题得以解决，（2）根据弦长公式分别求出|AB|，|CD|，再根据基本不等式即可求出．【题目详解】（1）设直线的斜率为，方程为，代入中，∴.∴.判别式.设，，则.∵中点为，∴，则.∴直线的方程为，即.（2）由（1）知.设直线的方程为.同理可得.∴.∴.令，则，.在，分别单调递减，∴或.故或.即.【题目点拨】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19、【解题分析】

化已知两圆方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，利用椭圆定义求得动圆的圆心的轨迹方程．【题目详解】：，：，设动圆圆心，半径为，则，∴是以、为焦点，长轴长为12的椭圆，∴，，∴所求轨迹方程为.【题目点拨】本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系，本质考查椭圆定义求方程，考查数形结合思想和运算求解能力．20、（1）见解析；（2）；（3）；8.05个小时【解题分析】

按表中信息描点．利用所给公式分别计算出和残差，计算出即为预测值．【题目详解】（1）作出散点图如下：（2），，，所求线性回归方程为：（3）当代入回归直线方程，得（小时）加工10个零件大约需要8.05个小时【