2024届山东省栖霞市高二数学第二学期期末达标检测试题含解析

2024届山东省栖霞市高二数学第二学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数的共扼复数在复平面内对应的点为，则（）A． B． C． D．2．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点（）A． B． C． D．3．已知，用数学归纳法证明时，从假设推证成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（）A． B． C． D．14．已知是可导函数，且对于恒成立，则A． B．C． D．5．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（）A． B． C． D．6．若则满足条件的集合A的个数是A．6 B．7 C．8 D．97．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．8．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．9．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且，则的形状为（）A．直角三角形 B．等腰非等边三角形C．等边三角形 D．钝角三角形10．下列结论中正确的是（）A．导数为零的点一定是极值点B．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值C．如果在附近的左侧，右端，那么是极小值D．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值11．已知具有线性相关关系的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则（）A． B． C． D．12．已知函数，，若成立，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若离散型随机变量的分布列如下，则=__________.0114．已知函数，则____________.15．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________(用数值作答).16．已知实数满足约束条件，则的最大值为_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题：方程有实数解，命题：，.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围.18．（12分）已经函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生平必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？（2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？20．（12分）已知等比数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.21．（12分）在四棱锥中，，，，为棱上一点（不包括端点），且满足.（1）求证：平面平面；（2）为的中点，求二面角的余弦值的大小.22．（10分）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为．（1）判断四面体的形状，并说明理由；（2）设，当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若，，问为何值时，的体积最大，并求出最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

化简得到，故，则，，验证得到答案.【题目详解】因为，所以z的共扼复数为，则，.故满足.故选：.【题目点拨】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.2、C【解题分析】

计算出和，即可得出回归直线必过的点的坐标.【题目详解】由题意可得，，因此，回归直线必过点，故选：C.【题目点拨】本题考查回归直线必过的点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题.3、B【解题分析】

分别计算和时的项数，相减得到答案.【题目详解】时，，共有项.时，，共有项.需在左边的表达式上多加的项数为：故答案选B【题目点拨】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的计算能力.4、D【解题分析】分析：构造函数，利用导数判断其单调性即可得出.详解：已知是可导函数，且对于恒成立，即恒成立，令，则，函数在R上单调递减，，即，化为.故选：D.点睛：本题是知识点交汇的综合题，考查综合运用函数思想解题的能力，恰当构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.5、C【解题分析】分析：从名外国游客中选取人进行采访，共有种不同的选法，其中这人中至少有人来过洛阳的共有种不同选法，由古典概型的概率计算公式即可求解．详解：由题意，从名外国游客中选取人进行采访，共有种不同的选法，其中这人中至少有人来过洛阳的共有种不同选法，由古典概型的概率计算公式可得，故选C．点睛：本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中根据排列、组合的相关知识得到基本事件的个数和所求事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．6、C【解题分析】

根据题意A中必须有1，2这两个元素，因此A的个数应为集合4，的子集的个数．【题目详解】解：，集合A中必须含有1，2两个元素，因此满足条件的集合A为，，，，，，，共8个．故选C．【题目点拨】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键有n个元素的集合其子集共有个7、B【解题分析】

根据三视图可确定几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.【题目详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱几何体表面积：本题正确选项：【题目点拨】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况.8、C【解题分析】

由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【题目详解】随机变量服从正态分布，则正态分布的图象关于直线对称，结合有，解得：.本题选择C选项.【题目点拨】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.9、C【解题分析】

由已知利用等差数列的性质可得，由正弦定理可得，根据余弦定理可求，即可判断三角形的形状．【题目详解】解：由题意可知，，因为，所以，则，所以，所以，故为等边三角形．故选：．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10、B【解题分析】

根据极值点的判断方法进行判断.【题目详解】若，则，，但是上的增函数，故不是函数的极值点.因为在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，故的左侧附近，有为增函数，在的右侧附近，有为减函数，故是极大值.故选B.【题目点拨】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低（高）”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点，具体如下．（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点；11、D【解题分析】

计算出样本中心点的坐标，将该点坐标代入回归直线方程可求出实数的值.【题目详解】由题意可得，，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，故选D.【题目点拨】本题考查利用回归直线方程求参数的值，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.12、A【解题分析】

根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【题目详解】设，则，，令，所以，又在增函数，且，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增．所以，即的最小值为．故选A.【题目点拨】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，有一定的难度．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

根据概率之和为1，列出方程，即可求出结果.【题目详解】由概率的性质可得：，由题意则，解得或；又概率介于之间，所以.故答案为1【题目点拨】本题主要考查由概率的性质求参数的问题，熟记概率的基本性质即可，属于基础题型.14、【解题分析】

求导，代入数据得到答案.【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.15、【解题分析】

直接运用独立重复试验次，有次发生的事件的概率公式进行求解.【题目详解】投球10次，恰好投进3个球的概率为,故答案为.【题目点拨】本题考查了独立重复试验次，有次发生的事件的概率公式，考查了数学运算能力.16、1【解题分析】

作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣y对应的直线进行平移并观察z的变化，即可得到z＝x﹣y的最大值．【题目详解】作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（3，1），C（1，1）将直线l：z＝x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值；∴z最大值＝1；故答案为1．【题目点拨】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）【解题分析】

（1）由方程有实数根则，可求出实数的取值范围.

(2)为真命题,即从而得出的取值范围,由（1）可得出为假命题时实数的取值范围.即可得出答案.【题目详解】解：（1）方程有实数解得，，解之得或；（2）为假命题，则，为真命题时，，，则故.故为假命题且为真命题时，.【题目点拨】本题考查命题为真时求参数的范围和两个命题同时满足条件时，求参数的范围，属于基础题.18、(1)①当时，的递减区间是，无递增区间；②当时，的递增区间是，递减区间是.(2).【解题分析】

分析：（Ⅰ）求出导函数，由于定义域是，可按和分类讨论的正负，得单调区间．（Ⅱ）由函数在处取极值得且可得的具体数值，而不等式可转化为，这样只要求得的最小值即可．详解：（Ⅰ）在区间上，.①若，则，是区间上的减函数；②若，令得.在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数；综上所述，①当时，的递减区间是，无递增区间；②当时，的递增区间是，递减区间是．（II）因为函数在处取得极值，所以解得，经检验满足题意．由已知，则令，则易得在上递减，在上递增，所以，即.点睛：本题考查用导数求函数的单调区间、函数极值，用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立通常通过分离参数法转化为求函数的最值．19、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）根据定序法确定排列数，（2）先求相邻的排列数（捆绑法），再用全排列相减得结果.详解：（1）法1：，法2：；（2）．答：分别有360和576种不同的排法.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.20、（1）（2）【解题分析】分析：（1）利用项和公式求出数列的通项公式.(2)先化简得，再利用裂项相消法求数列的前项和.详解：(1)由得，当时，，即，又，当时符合上式，所以通项公式为.(2)由（1）可知.点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）根据传递性，由平面，得到平面平面（2）作于点，过点作，建立空间直角坐标系，求出各平面法向量后根据夹角公式求得二面角余弦值【题目详解】（1）证明：因为，，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）如图，作于点，过点作，则，，两两垂直，故以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.设，则，，，所以，又，所以，，，所以，，，，.因为为的中点，所以.，，令为平面的法向量，则有即不妨设，则.易知平面的一个法向量为，.因为二角为钝角，所以二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查面面垂直证明与二面角的求法，如何建立空间直角坐标系是解题关键22、（1）正四面体；理由见解析（2）；（3）当时，最大体积为：；【解题分析】

（1）根据线段等长首先确定为四面体外接球球心；又底面，可知为正三棱锥；依次以为顶点均有正三棱锥结论出现，可知四面体棱