吉林省辽源市东辽县一中2024届数学高二下期末达标检测模拟试题含解析

吉林省辽源市东辽县一中2024届数学高二下期末达标检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则m等于()A．9 B．8 C．7 D．62．已知，，，则的大小关系为()．A． B． C． D．3．已知椭圆的左右焦点分别为，，以为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．4．五个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）A．18种 B．24种 C．48种 D．36种5．不等式的解集是（）A． B．C． D．或6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为()A． B． C． D．7．椭圆与直线相交于两点，过中点与坐标原点连线斜率为，则（）A． B． C．1 D．28．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A． B． C． D．9．已知函数，当时，取得最小值，则等于（）A．-3 B．2 C．3 D．810．已知函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则的值为（）A． B． C． D．11．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A． B． C． D．12．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：有心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450根据表中数据得，由断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（）附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．0.1 B．0.05C．0.01 D．0.001二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某市有A、B、C三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取______人14．若，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是___．15．若二项式的展开式中的系数是84，则实数__________．16．在正方体中，为的中点，为底面的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，且对任意,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．18．（12分）随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐，下表是西南地区某大学近五年的录取平均分与省一本线对比表：年份20142015201620172018年份代码12345省一本线505500525500530录取平均分533534566547580录取平均分与省一本线分差y2834414750（1）根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，求y关于t的线性回归方程；（2）据以往数据可知，该大学每年的录取分数X服从正态分布，其中为当年该大学的录取平均分,假设2019年该省一本线为520分，李华2019年高考考了569分，他很喜欢这所大学，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给李华一个合理的建议.（第一志愿录取可能性低于，则建议谨慎报考）参考公式：，.参考数据：，.19．（12分）如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.设为椭圆的右焦点,为椭圆上关于原点对称的两点,连结并延长,分别交椭圆于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线的斜率分别为,是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.20．（12分）已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长．21．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的,．22．（10分）已知函数，其中均为实数，为自然对数的底数．（I）求函数的极值；（II）设，若对任意的，恒成立，求实数的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：根据排列与组合的公式，化简得出关于的方程，解方程即可.详解：，，即，解得，故选C.点睛：本题主要考查排列公式与组合公式的应用问题，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，解题时应熟记排列与组合的公式，属于简单题.2、A【解题分析】

利用指数函数、对数函数的性质求解．【题目详解】显然，，，，因此最大，最小，故选A.【题目点拨】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数性质的合理运用．3、D【解题分析】

利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出．【题目详解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直线的斜率为故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三边关系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故选：D．【题目点拨】本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).4、C【解题分析】

将甲乙看作一个大的元素与其他元素进行排列，再乘即可得出结论．【题目详解】五个人站成一排，其中甲乙相邻，将甲乙看作一个大的元素与其他3人进行排列，再考虑甲乙顺序为，故共种站法.故选：C.【题目点拨】本题考查排列组合的应用，求排列组合常用的方法有：元素优先法、插空法、捆绑法、隔板法、间接法等，解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，本题属于简单题.5、C【解题分析】

问题化为﹣1＜x+3＜1，求出它的解集即可．【题目详解】不等式可化为﹣1＜x+3＜1，得﹣4＜x＜﹣2，∴该不等式的解集为{x|﹣4＜x＜﹣2}．故选：C．【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是基础题目．6、D【解题分析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．详解：因为，所以，过的中点作平面的垂下，则球心在上，设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为，因为，所以，由勾股定理得，解得，所以球的表面积为，故选D．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．7、A【解题分析】试题分析：设，可得，，由的中点为，可得，由在椭圆上，可得，两式相减可得，整理得，故选A．考点：椭圆的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，当与弦的斜率及中点有关时，可以利用“点差法”，同时此类问题注意直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式与韦达定理解决是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．8、B【解题分析】试题分析：记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件，则，解得，故选B．考点：对立事件与独立事件的概率．9、C【解题分析】

配凑成可用基本不等式的形式。计算出最值与取最值时的x值。【题目详解】当且仅当即时取等号，即【题目点拨】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。10、C【解题分析】

根据条件可得，与联立便可解出和，从而得到的值。【题目详解】①；；又函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数；，；②；联立①②，解得所以；故答案选C【题目点拨】本题考查奇函数、偶函数的定义，解题的关键是通过建立关于与的方程组求出和的解析式，属于中档题。11、A【解题分析】由椭圆方程可得焦点坐标为，设与其共焦点的双曲线方程为：，双曲线过点，则：，整理可得：，结合可得：，则双曲线方程为：.本题选择A选项.12、D【解题分析】

根据观测值K2，对照临界值得出结论．【题目详解】由题意，，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为.故选D．【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

设应从B校抽取n人，利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果．【题目详解】设应从B校抽取n人，某市有A、B、C三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，，解得．故答案为：1．【题目点拨】本题考查应从B校学生中抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14、【解题分析】

对不等式进行因式分解，，利用分离变量法转化为对应函数最值，即得到答案.【题目详解】，即：恒成立所以故答案为【题目点拨】本题考查了不等式恒成立问题，因式分解是解题的关键.15、1【解题分析】

试题分析：由二项式定理可得：，因为的系数是，所以即，即，所以.考点：二项式定理.16、90°【解题分析】

直线在平面内的射影与垂直．【题目详解】如图，分别是的中点，连接，易知在上，，又在正方形中，是的中点，∴（可通过证得），又正方体中，而，∴，，∴，∴直线与直线所成的角是90°．故答案为90°．【题目点拨】本题考查两异面直线所成的角，由于它们所成的角为90°，因此可通过证明它们相互垂直得到，这又可通过证明线面垂直得出结论，当然也可用三垂线定理证得．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.【解题分析】试题分析：（1）由题意可得，分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点．（2）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是；（3）原问题等价于，继而证明函数在区间内单调递增即可.试题解析：（1），当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（2）∵函数在处取得极值，∴，∴，令，，可得在上递减，在上递增，∴，即．（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，又∵，显然函数在上单调递增．∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．18、（1）；（2）建议李华第一志愿谨慎报考该大学.【解题分析】

（1）由表中的数据代入公式，计算出和，即可得到关于的线性回归方程；（2）结合（1）计算出2019年录取平均分，再根据该大学每年的录取分数X服从正态分布，由正态分布的性质可计算出李华被录取的概率，由此得到结论．【题目详解】（1）由题知：，所以得：故所求回归方程为：；（2）由（1）知：当时，，故该大学2019年的录取平均分为577.1分.又因为所以李华被录取的概率：故建议李华第一志愿谨慎报考该大学.【题目点拨】本题考查线性回归方程以及正态分布，属于中档题．19、（1）；（2）存在,使得.【解题分析】分析：(1)在椭圆上，所以满足椭圆方程，又离心率为，联立两个等式即可解出椭圆方程；(2),则,所以的方程为，联立AF的方程和椭圆方程即可求得C点坐标，同理求得D点坐标，从而分析的比值.详解：(1)设椭圆的方程为，，由题意知解得所以椭圆的方程为.(2)设,则,,又,所以直线的方程为.由消去，得.因为是该方程的一个解,所以点的横坐标.又点在直线上，所以，从而点的坐标为(同理,点的坐标为(，所以，即存在,使得.点睛：椭圆和抛物线的结合也是高考一直以来的一个热点，设而不求思想是圆锥曲线题目的考查核心，韦达定理就是该思想的体现，所以在圆锥曲线中要把所求的问题转化出来韦达定理，整体带入是解题的关键.20、（1），；；（2）.【解题分析】

（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，建立方程组，进一步利用余弦定理求出结果．【题目详解】（1）解：直线，所以：直线的直角坐标方程为，直线．所以：直线的直角坐标方程为曲线的直角坐标方程为，所以：曲线的参数方程为（为参数）；（2）解：联立，得到，同理，又，所以根据余弦定理可得，所以周长．【题目点拨】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，方程组的应用和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21、(1)单调递减区间为,单调递增区间为(2)