北京市门头沟区市级名校2024届数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

北京市门头沟区市级名校2024届数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高（单位：）与体重（单位：）数据如下表：1651651571701751651551704857505464614359若已知与的线性回归方程为，那么选取的女大学生身高为时，相应的残差为（）A． B．0.96 C．63.04 D．2．若曲线在点处的切线方程为，则()A．-1 B． C． D．13．现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩服从正态分布，已知，则成绩高于570的学生人数约为（）A．1200 B．2400 C．3000 D．15004．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A． B．2 C． D．5．已知向量满足，点在线段上，且的最小值为，则的最小值为（）A． B． C． D．26．对于偶函数，“的图象关于直线对称”是“是周期为2的周期函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件7．在的展开式中，项的系数为（）．A． B． C． D．8．若函数与图象上存在关于点对称的点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知向量与向量的模均为2，若，则它们的夹角是（）A． B． C． D．10．已知若存在，使得，则称与互为“1度零点函数”，若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．定积分（）A．1 B．2 C．3 D．412．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若，则m的取值范围是___________.14．己知是等差数列{}的前项和，，则________.15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知六张纸牌上分别写有1﹣六个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我知道谁手中的数更大了．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中可能的数构成的集合是_____16．“”是“”的____条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要条件”、“充要”中选择填空）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2019年某地初中毕业升学体育考试规定：考生必须参加长跑.掷实心球.1分钟跳绳三项测试，三项测试各项20分，满分60分．某学校在初三上学期开始时，为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，按照男女比例利用分层抽样抽取了100名学生进行测试，其中女生54人，得到下面的频率分布直方图，计分规则如表1：（1）规定：学生1分钟跳绳得分20分为优秀，在抽取的100名学生中，男生跳绳个数大等于185个的有28人，根据已知条件完成表2，并根据这100名学生测试成绩，能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关？附：参考公式临界值表：（2）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步．假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，全年级恰有2000名学生，所有学生的跳绳个数X服从正态分布N（μ，σ2）（用样本数据的平值和方差估计总体的期望和方差，各组数据用中点值代替）①估计正式测试时，1分钟跳182个以上的人数（结果四舍五入到整数）；②若在全年级所有学生中任意选取3人，正式测试时1分钟跳195个以上的人数为ξ，求ξ占的分布列及期望．18．（12分）下表为2015年至2018年某百货零售企业的年销售额（单位：万元）与年份代码的对应关系，其中年份代码年份-2014（如：代表年份为2015年）。年份代码1234年销售额105155240300（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2019年该百货零售企业的年销售额；（2）2019年，美国为遏制我国的发展，又祭出“长臂管辖”的霸权行径，单方面发起对我国的贸易战，有不少人对我国经济发展前景表示担忧.此背景下，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的销售额能否持续增长的看法，随机调查了60为男顾客、50位女顾客，得到如下列联表：持乐观态度持不乐观态度总计男顾客451560女顾客302050总计7535110问：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：回归直线方程，0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87919．（12分）已知函数的图象与直线相切于点．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函数的单调区间．20．（12分）设命题：对任意，不等式恒成立，命题存在，使得不等式成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数（1）试讨论在极值点的个数；（2）若函数的两个极值点为，且，为的导函数，设，求实数的取值范围．22．（10分）1，4，9，16……这些数可以用图1中的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第个数为.在图2的杨辉三角中，第行是展开式的二项式系数，，…，，记杨辉三角的前行所有数之和为.（1）求和的通项公式；（2）当时，比较与的大小，并加以证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

将175代入线性回归方程计算理论值，实际数值减去理论数值得到答案.【题目详解】已知与的线性回归方程为当时：相应的残差为：故答案选B【题目点拨】本题考查了残差的计算，意在考查学生的计算能力.2、B【解题分析】分析：求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得，即可得到答案.详解：的导数为，曲线在点处的切线方程为，有，解得.故选：B.点睛：本题考查导数的运用，求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键.3、A【解题分析】

根据正态分布的对称性，求得的值，进而求得高于的学生人数的估计值.【题目详解】，则成绩高于570的学生人数约为.故选A.【题目点拨】本小题主要考查正态分布的对称性，考查计算正态分布指定区间的概率，属于基础题.4、D【解题分析】

由等式可得函数的周期，得到，再由奇函数的性质得，根据解析式求出，从而得到的值.【题目详解】因为，所以的周期，所以，故选D.【题目点拨】由等式得函数的周期，其理由是：为函数自变量的一个取值，为函数自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.5、D【解题分析】

依据题目条件，首先可以判断出点的位置，然后，根据向量模的计算公式，求出的代数式，由函数知识即可求出最值．【题目详解】由于，说明点在的垂直平分线上，当是的中点时，取最小值，最小值为，此时与的夹角为，与的夹角为，∴与的夹角为，的最小值是4，即的最小值是2.故选D.【题目点拨】本题主要考查了平面向量有关知识，重点是利用数量积求向量的模．6、D【解题分析】

将两个条件相互推导，根据推导的结果选出正确选项.【题目详解】依题意，函数为偶函数，即.“的图象关于直线对称”“是周期为2的周期函数”.故为充要条件，即本小题选D.【题目点拨】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题.7、A【解题分析】二项式展开式的通项为。所以展开式中项的系数为．选．8、C【解题分析】

首先求关于点的函数，转化为其与有交点，转化为，这样的范围就是的范围，转化为利用导数求函数的取值范围的问题.【题目详解】设关于的对称点是在上，，根据题意可知，与有交点，即，设，，令，恒成立，在是单调递增函数，且，在，即，时，即，在单调递减，在单调递增，所以当时函数取得最小值1，即，的取值范围是.故选C.【题目点拨】本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题，有2个关键点，第一个是求关于对称的函数，根据函数有交点转化为，，求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理.9、A【解题分析】

由题意结合数量积的运算法则可得，据此确定其夹角即可.【题目详解】∵，∴，∴，故选A.【题目点拨】本题主要考查向量夹角的计算，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、B【解题分析】

通过题意先求出函数的零点，根据计算出函数的零点范围，继而求出实数的取值范围【题目详解】令，当时，或，当时，解得，，若存在为“度零点函数”，不妨令由题意可得：或即或设，当时，，是减函数当时，，是增函数，当时，，由题意满足存在性实数的取值范围为故选【题目点拨】本题给出了新定义，按照新定义内容考查了函数零点问题，结合零点运用导数分离参量，求出函数的单调性，给出参量的取值范围，本题较为综合，需要转化思想和函数思想，有一定难度。11、B【解题分析】

直接利用定积分公式计算得到答案.【题目详解】.故选：.【题目点拨】本题考查了定积分，意在考查学生的计算能力.12、A【解题分析】

根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【题目详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；

②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，

在上的值为负数，故第三个图象满足；

③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；

④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，

故选A．【题目点拨】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

求导得到，利用均值不等式判断，得到函数单调递增，故，解得答案.【题目详解】，函数在R上单调递增，又，，可得，解得或.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用函数的单调性解不等式，均值不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.14、7【解题分析】

根据题目是等差数列{}的前项和，，利用等差数列的通项公式和前项和公式，建立两个含有、的方程并求解，再利用等差数列的通项公式即可求解出的值。【题目详解】由题意得，解得，所以，，故答案为7。【题目点拨】本题主要考查了等差数列的基本运算，在等差数列中，五个基本量“知三求二”，基本量中公差是联系数列中各项的关键，是解题的关键。15、【解题分析】

根据题意，先推出甲不是最大与最小的数，再讨论乙的所有情形，即可得出答案.【题目详解】由题意，六个数字分别为.由甲说他不知道谁手中的数更大，可推出甲不是最大与最小的数，若乙取出的数字是或，则他知道甲的数字比他大还是小；若乙取出的数字是或，则他知道甲的数字比他大还是小；若乙取出的数字是或，则他不知道谁的数字更大.故乙手中可能的数构成的集合是.【题目点拨】本题考查了简单的推理，要注意仔细审题，属于基础题.16、充分不必要【解题分析】

据题意“”解得，由此可判断它与“”的关系。【题目详解】由“”解得由题得“”“”，但“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件。【题目点拨】本题考查充分条件和必要条件，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）不能有的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关；（2）①，②分布列见解析，期望值为.【解题分析】

（1）根据题目所给数据填写好联表，通过计算出，由此判断不能有99%的把握认为认为学生分钟跳绳成绩优秀与性别有关.（2）根据频率分布计算出平均数和方差，由此求得正态分布，计算出的概率，进而估计出个以上的人数.利用二项分布概率计算公式计算出概率，由此求得分布列和数学期望.【题目详解】（1）表2如下图所示：由公式可得因为所以不能有99%的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关.（2）①而，故服从正态分布,故正式测试时，1分钟跳182个以上的人数约为1683人.②,服从的分布列为：0123P【题目点拨】本小题主要考查列联表独立性检验，考查正态分布均值和方差的计算，考查二项分布分布列和数学期望的求法，属于中档题.18、(1)；年销售额为367.5万元.(2)不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关.【解题分析】

（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，令求得预测值.（2）根据题目所给数据计算的观测值，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关.【题目详解】解：（1）由题意得所以所以，所以关于的线性回归方程为由于，所以当时，所以预测2019年该百货零售企业的年销售额为367.5万元.（2）由题可得代入公式得的观测值为：由于，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关.【题目点拨】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查列联表独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.19、（Ⅰ）a＝3，b＝﹣1（Ⅱ）单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）【解题分析】

（Ⅰ）求导函数，利用f（x）的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2），建立方程组，即可求a，b的值；（Ⅱ）求导函数，利用导数小于0，即可求函数f（x）的单调递减区间．【题目详解】（I）求导函数可得f′（x）＝3x2+2ax+b，∵f（x）的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2），∴f（2）＝2，f′（2）＝﹣15，∴，∴a＝3，b＝﹣1．（II）由（I）得f′（x）＝3x2+6x﹣1，令f′（x）＜0，可得3x2+6x﹣1＜0，∴﹣3＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间是（﹣3，1）．令f′（x）＞0，可得3x2+6x﹣1＞0，单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）．综上：函数f（x）的单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）．【题目点拨】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性及计算能力，属于中档题．20、（1）（2）或【解题分析】

（1）考虑命题为真命题时，转化为对任意的成立，解出不等式可得出实数的取值范围；（2）考虑命题为真命题时，则可转化为对任意的成立，可解出实数的取值范围，然后由题中条件得出命题、一真一假，分真假和假真两种情况讨论，于此可求出实数的取值范围.【题目详解】对于成立，而，有，∴，∴存在，使得不等式成立，只需而，∴，∴；（1）若为真，则；（2）若为假命题，为真命题，则一真一假.若为假命题，为真命题，则，所以；若为假命题，为真命题，则，所以.综上，或.【题目点拨】本题考查复合命题的真假与参数的取值范围，考查不等式在区间上成立，一般转化为最值来求解，另外在判断复合命题的真假性时，需要判断简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题．21、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）对函数求导，讨论导