自动控制原理第三章课后习题答案

3-1设系统的微分方程式如下:

(1)0.2c(0=2r(Z)

(2)0.04c(0+0.24c(/)+c(/)=r⑺

试求系统闭环传递函数①(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。全部初

始条件为零。

解：

(1)因为0.2sC(s)=2R(s)

闭环传递函数①(s)=3=—

R(s)s

单位脉冲响应：C(s)=10/sg(r)=10r>0

单位阶跃响应c(t)C(5)=10/?c(r)=10/r>0

R⑸

(2)(O.O4.V2+0.24s+l)C(.v)=R(s)C(5)

0.0452+0.245+1

C(s)1

闭环传递函数。G)

R(s)0.04.v2+0.245+1

1,、25.

单位脉冲响应：C(s)=g(t)--esin4r

0.04?+0.245+1

251s+6

单位阶跃响应h(t)C(s)=

.V[(.V+3)2+16](5+3)2+16

3-2温度计的传递函数为」一,用其测量容器内的水温，Imin才能显示出该温度的

Ts+l

98%的数值。假设加热容器使水温按l(TC/min的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差

有多大

解法一依题意，温度计闭环传递函数

由一阶系统阶跃响应特性可知：c(4T)=98%,因此有4T=1min,得出T=0.25min。

视温度计为单位反响系统，则开环传递函数为

用静态误差系数法，当「«)=10＜时，=午=107=2.5℃。

解法二依题意，系统误差定义为e")=r«)—c(r),应有

3-3二阶系统的单位阶跃响应为

c(0=10-12.5e-L2,sin(1.6r+53.1°)

试求系统的超调量。％、峰值时间tP和调节时间tSo

解：c(r)=1-二一e"sinQl-rqj+0)

1/2

或：先根据C⑴求出系统传函，再得到特征参数，带入公式求解指标。

3-4机器人控制系统构造图如图T3.1所示。试确定参数K”K?值，使系统阶跃响应的

峰值时间tp=0.5s,超调量b%=2%。

图T3.1习题3-4图

解依题，系统传递函数为

b%="旧=0.02

对比①(s)分母系数得

3-5设图T3.2(a)所示系统的单位阶跃响应如图T3.2(b)所示。试确定系统参数K2

和4。

图T3.2习题3-5图

解由系统阶跃响应曲线有

系统闭环传递函数为

K阳

①(s)=

s2+as+&s2+2物,s+a)l

，=0.33

联立求解得《

a>-33.28

(7%=产户=33.3%n

K[==1108

由式(1)<

a=2血,=22

另外c(oo)=lims①(s)•—=lim,(相---=K、=3

ioss+as+Kt

3-6单位反响随动系统如图T3.3所示，K=16sT=0.25s,试求:

⑴特征参数《和以；

(2)计算。％和ts；

(3)假设要求。％=16%,当T不变时K应当取何值

图T3.3习题3-6图

【解】：(1)求出系统的闭环传递函数为：

裴二3)「『舟=0.25

纵

因此有:

5

o-%=e必x100%=44%

⑵

5

(3)为了使。％=16%,由式b%=edxl00%=16%可得？=。5,当丁不变时，有：

3-7系统构造图如图T3.4所示。系统单位阶跃响应的超调量。％=16.3%,峰值时间

tp=Is。

图T3.4习题3-7图

(1)求系统的开环传递函数G(s)；

(2)求系统的闭环传递函数①(s)；

(3)根据的性能指标b%、f,确定系统参数K及7；

(4)计算等速输入r(r)=1.5r(o)/s时系统的稳态误差。

10

s(s+l)10K

解⑴G(s)=K

.10r.v5(5+10r+l)

1+-------

s(s+1)

G(s)_10K_冠

⑵22

1+G(s)~s+(10r+l)s+10K~s+2Q“s+a)；t

b%=e-口户=16.3%4=0.5

⑶由:=——=1联立解出<*=3.63

p

.①T=0.263

由(2)10K=«y；=3.63°=13.18,得出K=1.318。

10K_13.18

(4)=limsG(s)=3.63

STO10r+l-10x0.263+1

3-8单位反响系统的单位阶跃响应为c⑴-1+O.L'60f-1求

(1)开环传递函数G(s)；

(2)Gconcr%4；

(3)在广⑴-2+〃2作用下的稳态误差与”。

3-9系统构造图如图T3.5所示，________

GM一£一『一G(s)

5(0.15+1)(0.255+1)/--------

试确定系统稳定时的增益K的取值范围。

图T3.5习题3-9图

解：

3-10单位反响系统的开环传递函数为

试分别求出当输入信号r(r)=l(r),t和尸时系统的稳态误差。

7(s+l)K=7/8

解G(s)

s(s+4)(s~+2s+2)v=1

由静态误差系数法

«)=1⑺时，ew=0

r(f)=f时，e=—=—=1.14

K7

“/)=〃时，/=8

3-11单位负反响系统的开环传递函数为G(S)=--------------------

5(0.15+1)(0.25+1)

假设r(0=2t+2时，要求系统的稳态误差为0.25,试求K应取何值。

3-12设系统构造图如图T3.6所示，

图T3.6习题3T2图

⑴当K0=25,K/=0时，求系统的动态性能指标cr%和4；

(2)假设使系统;=0.5,单位速度误差4=0.1时，试确定K。和K,值。

⑴0%25.4/o(5分)⑵K。=100,=6(5分)

fs=1.75'

3-13系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。

(1)£>(5)=55+254+253+452+115+10=0

(2)O(.v)=$5+3s4+12s3+24s2+32s+48=0

(3)0(s)=s5+254—s-2=0

(4)0(5)=s'+2/+24s3+48s2-25s-50=0

解⑴D(s)=s5+2s4+2s3+452+115+10=0

Routh：s51211

S42410

S3£6

S24e-12/£10

S6

S°10

第一列元素变号两次，有2个正根。

32

(2)£>(5)=/+3s4+125+24s+32s+48=0

Routh：S511232

2448

3X12-24=432X3-48=16

12x16-4x48

辅助方程12s2+48=0,

24辅助方程求导：24s=0

so

系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根.2=±/2。

〔3〕£>(s)=/+2$4一5一2=0

Routh：S510-1

S420-2辅助方程2s4—2=0

S380辅助方程求导8s3

S2£-2

16/e

S°-2

第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2s4—2=0可解出:

(4)0(s)=55+2/+241+48,v2-25.V-50=0

Routh：S5124-25

S4248-50辅助方程2s4+48s2-50=0

辅助方程求导8s、96s=0

S338/3

S°-50

第一列元素变号一次，有1个正根：由辅助方程2d+48.1—50=0可解出:

3-14某控制系统方块图如图T3.7所示，试确定使系统稳定的K值范围。

图T3.7习题3T4图

解由构造图，系统开环传递函数为：

Routh：S5142K

S414KK

S3-4(1-K)KnK<\

(15—16K)K

s2K=>K>16/15=1.067

4(1一K)

-32/+47K-16

0.536<AT<0.933

4(1—K)

S°K=>K>0

.•・使系统稳定的K值范围是：0.536<K<0.933。

3-15单位反响系统的开环传递函数为

要求系统特征根的实部不大于一1,试确定开环增益的取值范围。

解系统开环增益Kk=K/15。特征方程为：

做代换s=s'-\有：

Routh：S312

S25K-8

S生匹=K<18

5

S°K—8nK>8

使系统稳定的开环增益范围为：—<Kk=—<—.

376单位反响系统的开环传递函数为

试确定使系统稳定的T和K的取值范围。

解特征方程为：

Routh：S32T1+K=>T>Q

S22+TK=>T>-2

0、廿2TK丁r4

51+K-------nT<2+-------

2+TK-\

S°K=>K>0

4

综合所得，使系统稳定的参数取值nT<2+-----,k>0

K-\

377船舶横摇镇定系统方块图如图T3.8所示，引入内环速度反响是为了增加船只的阻

图T3.8习题3T7图

(1)求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数穿”.

Mv(S)

(2)为保证MN为单位阶跃时倾斜角。的值不超过0」，且系统的阻尼比为0.5,求七、

《和《应满足的方程；

(3)取勺=1时，确定满足(2)中指标的《和3值。

解⑴

㈤(s)0.5

(2)令:伙co)=limsMN(S)-lims—<0.1

5->0Mv(S)STO§MN(S)I+O.5(K2

q=Jl+0.5K陷

得^/C2>8o由一有：｛0.2+0.5K2K3_,可得

MN(S)€="=0.5

I2%

(3)K2=l时，K,>8,0.2+0.25K3>45,可解出K3>4.072o

3-18系统方块图如图T3.9所示。试求局部反响参加前、后系统的静态位置误差系数、

静态速度误差系数和静态加速度误差系数。

图T3.9习题3T8图

解：局部反响参加前，系统开环传递函数为

局部反响参加后，系统开环传递函数为

3-19系统方块图如图T3.10所示。厂«)=/(7)=〃2。)=1«)，试分别计算

「⑺,々⑺和〃2。)作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下

的稳态误差的影响。

附1Q)冏2©

图T3.10习题3T9图

解G(s)=----------------《

s(7>+l)(%s+l)卜=1

«)=1⑺时，4"=0；

勺⑺=1⑺时，e①(5)乂(5)=领5①(s)，=二

15->o1$->0"sK

“2⑺=1。)时，e^=lim50)(s)N?(s)=lims①(^)-=0

s±5-M)1S—%S

在反响对比点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干

扰因引起的稳态误差.

3-20系统方块图如图T3.11所示。

图T3.11习题3-20图

(1)为确保系统稳定，若何取K值

(2)为使系统特征根全部位于s平面s=-l的左侧，K应取何值

(3)假设/时，要求系统稳态误差40.25,K应取何值

50K

解G(s)

s(s+10)(s+5)Iv=1

⑴£>(.V)=53+15^2+50.V+50/C

50

50K

Routh：150(15-K)

'15fK<15

s°50KfK>0

系统稳定范围：0<K<15

(2)在。(s)中做平移变换：s=s'-l

rs4i23

/1250K-36

Routh：\s，i312-50K-312

=6.24

12

15,050K-36f36

=0.72

50

满足要求的范围是：0.72<K<6.24

(3)由静态误差系数法

2

当r(r)=2r+2时，令ess=一<0.25

K

得K28。

综合考虑稳定性与稳态误差要求可得：8WK<15

3-21宇航员机动控制系统方块图如图T3.12所示。其中控制器可以用增益K2来表示;

宇航员及其装备的总转动惯量1=25kg.m2。

图T3.12习题3-21图

(1)当输入为斜坡信号«/)=/m时，试确定K3的取值，使系统稳态误差4,=1cm：

(2)采用(I)中的K：值，试确定K-K2的取值，使系统超调量。％限制在10%以内。

解(1)系统开环传递函数为

1

O=/时，令e=a<0.01,可取K3=0.01。

ss~K

(2)系统闭环传递函数为

由b%=e-%g<10%,可解出-20.592。取二=0.6进展设计。

KJK.K,

将/=25,K、=0.01代入，=二，-=0.6表达式,可得

2V7

3-22大型天线伺服系统构造图如图T3.13所示，其中4=0.707,。“=15,r=0.15s«

(1)当干扰〃(r)=10•1(。，输入广«)=0时，为保证系统的稳态误差小于0.01。，试确定

K”的取值；

(2)当系统开环工作(K“=0),且输入«。=0时，确定由干扰〃(f)=10T⑺引起的系

统响应稳态值。

图T3.13习题3-22图

解(1)干扰作用下系统的误差传递函数为

〃⑺=10•1(f)时，令

得：Ka>1000

(2)此时有

3-23控制系统构造图如图T3.14所示。其中K1,K2>0,420。试分析:

(1)夕值变化(增大)对系统稳定性的影响；

(2)夕值变化(增大)对动态性能(b%,乙)的影响；

(3)夕值变化(增大)对r(f)=ar作用下稳态误差的影响。

图T3.14习题3-23图

解系统开环传递函数为

(1)由O(s)表达式可知，当/?=0时系统不稳定，万〉0时系统总是稳定的。

(0<<<1)

⑶…『喉啜T

3-24系统方块图如图T3.15所示

（1）写出闭环传递函数中⑶表达式；

（2）要使系统满足条件：4=0.707,%=2,

试确定相应的参数K和夕；

（3）求此时系统的动态性能指标1b%,4）；

（4）r（f）=2f时，求系统的稳态误差e$s；

（5）确定G.（s）,使干扰〃（/）对系统输出c⑺无影响。

图T3.15习题3-24图

解

K

(1)闭环传递函数①（s）=8=一

R（s）"+£s2+K/3s+K52+2^y„5+«yJ

ss-