新教材人教A版高中数学必修第二册全册课时练习(一课一练-含解析)

人教A版高中数学必修第二册全册课时练习6.1平面向量的概念 -2-6.2.1向量的加法运算 -5-6.2.2向量的减法运算 -8-6.2.3向量的数乘运算 -11-6.2.4向量的数量积 -14-6.3.1平面向量基本定理 -18-6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 -21-6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 -21-6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 -24-6.3.5平面向量数量积的坐标表示 -27-6．4平面向量的应用 -30-7.1.1数系的扩充和复数的概念 -34-7.1.2复数的几何意义 -37-7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 -39-7.2.2复数的乘、除运算 -43-8.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征 -46-8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 -49-8.2立体图形的直观图 -51-8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 -55-8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 -59-8.4.1平面 -62-8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 -66-8.5.1直线与直线平行 -69-8.5.2直线与平面平行 -73-8.5.3平面与平面平行 -76-8.6.1直线与直线垂直 -80-8.6.2直线与平面垂直 -85-8.6.3平面与平面垂直 -89-9.1.1简单随机抽样 -94-9.1.2分层随机抽样 -96-9.1.3获取数据的途径 -96-9.2.1总体取值规律的估计 -100-9.2.2总体百分位数的估计 -105-9.2.3总体集中趋势的估计 -105-9.2.4总体离散程度的估计 -105-10.1.1有限样本空间与随机事件 -110-10.1.2事件的关系和运算 -112-10.1.3古典概型 -115-10.1.4概率的基本性质 -118-10.2事件的相互独立性 -121-10.3频率与概率 -126-6.1平面向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．【答案】D2．下列命题中，正确命题的个数是()①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a共线的单位向量是eq\f(a,|a|).A．3B．2C．1D．0【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是eq\f(a,|a|)或－eq\f(a,|a|)，故④也是错误的．【答案】D3．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则()A.eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))B.eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))C.eq\o(PE,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→))D.eq\o(EP,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→))【解析】由平面几何知识知，eq\o(AD,\s\up10(→))与eq\o(BC,\s\up10(→))方向不同，故eq\o(AD,\s\up10(→))≠eq\o(BC,\s\up10(→))；eq\o(AC,\s\up10(→))与eq\o(BD,\s\up10(→))方向不同，故eq\o(AC,\s\up10(→))≠eq\o(BD,\s\up10(→))；eq\o(PE,\s\up10(→))与eq\o(PF,\s\up10(→))的模相等而方向相反，故eq\o(PE,\s\up10(→))≠eq\o(PF,\s\up10(→)).eq\o(EP,\s\up10(→))与eq\o(PF,\s\up10(→))的模相等且方向相同，∴eq\o(EP,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→)).【答案】D4．若|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AD,\s\up10(→))|且eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，则四边形ABCD的形状为()A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形【解析】由eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AD,\s\up10(→))|，所以四边形ABCD为菱形．【答案】C二、填空题5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为2eq\r(2)，所以|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量eq\o(EF,\s\up10(→))方向相反的向量为________．【解析】因为AB∥EF，CD∥EF，所以与eq\o(EF,\s\up10(→))平行的向量为eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BA,\s\up10(→))，其中方向相反的向量为eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→)).【答案】eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))7．给出下列命题：①若eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；②在▱ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中所有正确命题的序号为________．【解析】eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(DC,\s\up10(→))|，eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(DC,\s\up10(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确；对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④不正确．【答案】②③三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up10(→))|.【解析】(1)如图所示．(2)由题意，易知eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(CD,\s\up10(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(CD,\s\up10(→))共线，即AB∥CD.又|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(CD,\s\up10(→))|，所以四边形ABCD为平行四边形．所以|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝200(千米)．10．如图，在△ABC中，已知向量eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))，求证：eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→)).证明：由eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))，可得DF＝EC且DF∥EC，故四边形CEDF是平行四边形，从而DE∥FC.∵eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，∴D为AB的中点．∴eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))，∴eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→)).6.2.1向量的加法运算一、选择题1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))等于()A.eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\o(BC,\s\up10(→))C.eq\o(CD,\s\up10(→))D.eq\o(DA,\s\up10(→))【解析】因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).故选A.【答案】A2．设a表示“向东走5km”，b表示“向南走5km”，则a＋b表示()A．向东走10kmB．向南走10kmC．向东南走10kmD．向东南走5eq\r(2)km【解析】如图所示，eq\o(AC,\s\up10(→))＝a＋b，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝5，且AB⊥BC，则|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝5eq\r(2)，∠BAC＝45°.【答案】D3．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向()A．与向量a方向相同B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同D．不确定【解析】如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．【答案】A4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))＝()A.eq\o(OH,\s\up10(→))B.eq\o(OG,\s\up10(→))C.eq\o(FO,\s\up10(→))D.eq\o(EO,\s\up10(→))【解析】设a＝eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a＝eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))，由a和eq\o(FO,\s\up10(→))长度相等，方向相同，得a＝eq\o(FO,\s\up10(→))，即eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))＝eq\o(FO,\s\up10(→)).【答案】C二、填空题5．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，eq\o(CA,\s\up10(→))＝c，则a＋b＋c＝________.【解析】由向量加法的三角形法则，得eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，即a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0.【答案】06．化简(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋(eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝________.【解析】原式＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).【答案】eq\o(AC,\s\up10(→))7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝1，则|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))|＝________.【解析】在菱形ABCD中，连接BD，∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，又∵|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝1，∴|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝1，|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝1.【答案】1三、解答题8．如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.【解析】(1)作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，如图(1)；(2)作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，如图(2)；(3)作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，如图(3)．9.如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))；(2)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FE,\s\up10(→)).【解析】(1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→)).(2)由图可知，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(FE,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))，所以eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FE,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→)).10．如图，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．【解析】如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.设向量eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))分别表示两根绳子的拉力，则eq\o(CO,\s\up10(→))表示物体所受的重力，且|eq\o(OC,\s\up10(→))|＝300N.所以|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))|cos30°＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))|cos60°＝150(N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq\r(3)N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.6.2.2向量的减法运算一、选择题1．下列运算中正确的是()A.eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))C.eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))D.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝0【解析】根据向量减法的几何意义，知eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))应该等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化简为eq\o(PQ,\s\up10(→))的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(BQ,\s\up10(→)))B．(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))＋(eq\o(BA,\s\up10(→))－eq\o(QC,\s\up10(→)))C.eq\o(QC,\s\up10(→))－eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(CQ,\s\up10(→))D.eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))【解析】D中，eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(QB,\s\up10(→))不能化简为eq\o(PQ,\s\up10(→))，其余选项皆可．【答案】D3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))等于()A.eq\o(CB,\s\up10(→))B.eq\o(BC,\s\up10(→))C.eq\o(CD,\s\up10(→))D.eq\o(DC,\s\up10(→))【解析】在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→)).【答案】C4．如图，在四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up10(→))＝()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c【解析】eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝a－b＋c.【答案】A二、填空题5.eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝________.【解析】eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(BF,\s\up10(→)).【答案】eq\o(BF,\s\up10(→))6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.【解析】若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线同向，所以|a－b|＝2.【答案】027．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|，则|eq\o(AM,\s\up10(→))|＝________.【解析】以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))，eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))，∵|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|，平行四边形ABCD为矩形，∴|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(CB,\s\up10(→))|，又|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝4，M是线段BC的中点，∴|eq\o(AM,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝2.【答案】2三、解答题8．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，则eq\o(CB,\s\up10(→))＝a＋b－c.方法二：如图②，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，再作eq\o(CB,\s\up10(→))＝c，连接OC，则eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b－c.9．化简下列各式：(1)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(MO,\s\up10(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→)).【解析】(1)方法一原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法二原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up10(→)).(2)方法一原式＝eq\o(DB,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→)).方法二原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))－(eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→)).10．如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up10(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up10(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up10(→))；(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up10(→)).【解析】由题意知，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，eq\o(CD,\s\up10(→))＝c，eq\o(DE,\s\up10(→))＝d，eq\o(EA,\s\up10(→))＝e，则(1)eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(DE,\s\up10(→))＋eq\o(EA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝a＋d＋e.(2)eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＝－eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up10(→))＝eq\o(EA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up10(→))＝－eq\o(CE,\s\up10(→))＝－(eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→)))＝－c－d.6.2.3向量的数乘运算一、选择题1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b【解析】原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.【答案】D2．点C在直线AB上，且eq\o(AC,\s\up10(→))＝3eq\o(AB,\s\up10(→))，则eq\o(BC,\s\up10(→))等于()A．－2eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))D．2eq\o(AB,\s\up10(→))【解析】如图，eq\o(AC,\s\up10(→))＝3eq\o(AB,\s\up10(→))，所以eq\o(BC,\s\up10(→))＝2eq\o(AB,\s\up10(→)).【答案】D3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为()A．－1或3B.eq\r(3)C．－1或4D．3或4【解析】因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝eq\f(－3,2－m)，解得m＝－1或m＝3.【答案】A4.如图，已知eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，eq\o(BD,\s\up10(→))＝3eq\o(DC,\s\up10(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up10(→))，则eq\o(AD,\s\up10(→))＝()A．a＋eq\f(3,4)bB.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b【解析】eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.【答案】D二、填空题5．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.【解析】由于|a|＝4，b＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.【答案】26．点C在线段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，则eq\o(AC,\s\up10(→))＝________eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))＝________eq\o(AB,\s\up10(→)).【解析】因为C在线段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，所以eq\o(AC,\s\up10(→))与eq\o(AB,\s\up10(→))方向相同，eq\o(BC,\s\up10(→))与eq\o(AB,\s\up10(→))方向相反，且eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,5)，所以eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up10(→)).【答案】eq\f(3,5)－eq\f(2,5)7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．【解析】由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝eq\f(3,5)，即λ＝±eq\f(3,5).【答案】±eq\f(3,5)三、解答题8．计算(1)eq\f(1,3)(a＋2b)＋eq\f(1,4)(3a－2b)－eq\f(1,2)(a－b)；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(7,6)a)))).【解析】(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(3,4)－\f(1,2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(1,2)＋\f(1,2)))b＝eq\f(7,12)a＋eq\f(2,3)b.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)a＋b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3,7)b))＝eq\f(7,6)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(7,6)a－eq\f(1,2)b＝0.9．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设eq\o(BC,\s\up10(→))＝a，eq\o(DA,\s\up10(→))＝b，试用a，b表示eq\o(EF,\s\up10(→)).【解析】如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.在△ABC中，EP是中位线，所以eq\o(PE,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)a.在△ABD中，FP是中位线，所以eq\o(PF,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)b.在△EFP中，eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(PF,\s\up10(→))＝－eq\o(PE,\s\up10(→))＋eq\o(PF,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)(a＋b)．10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up10(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up10(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up10(→))＝－5e－3f.(1)用e、f表示eq\o(AD,\s\up10(→))；(2)证明：四边形ABCD为梯形．【解析】(1)eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为eq\o(AD,\s\up10(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq\o(BC,\s\up10(→))，所以eq\o(AD,\s\up10(→))与eq\o(BC,\s\up10(→))方向相同，且eq\o(AD,\s\up10(→))的长度为eq\o(BC,\s\up10(→))的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．6.2.4向量的数量积一、选择题1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝()A．12B．12eq\r(2)C．－12eq\r(2)D．－12【解析】m·n＝|m||n|cosθ＝4×6×cos45°＝24×eq\f(\r(2),2)＝12eq\r(2).【答案】B2．已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．3eq\r(3)【解析】a·b＝|a||b|cos135°＝－12eq\r(2)，又|a|＝4，解得|b|＝6.【答案】C3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)【解析】因为|a|＝2，a·(b－a)＝－1，所以a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－22＝－1，所以a·b＝3.又因为|b|＝3，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,2×3)＝eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).【答案】C4．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))【解析】因为a·b＞0，所以cosθ＞0，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).【答案】A二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))的值是________．【解析】方法一eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝|eq\o(AB,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|cos(180°－∠B)＝－|eq\o(AB,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|cos∠B＝－|eq\o(AB,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|·eq\f(|\o(AB,\s\up10(→))|,|\o(BC,\s\up10(→))|)＝－|eq\o(AB,\s\up10(→))|2＝－1.方法二|eq\o(BA,\s\up10(→))|＝1，即eq\o(BA,\s\up10(→))为单位向量，eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝－eq\o(BA,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝－|eq\o(BA,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|cos∠B，而|eq\o(BC,\s\up10(→))|·cos∠B＝|eq\o(BA,\s\up10(→))|，所以eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝－|eq\o(BA,\s\up10(→))|2＝－1.【答案】－16．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．【解析】设a与b的夹角为θ，cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2,1×4)＝eq\f(1,2)，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)7．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，则a在b方向上的投影为________．【解析】向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝3×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)三、解答题8．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：(1)a2－b2；(2)(2a－b)·(a＋3b)．【解析】(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2＝2×32＋5×3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－3×42＝－60.9．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|；(2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；(3)如图，已知在▱ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝eq\f(π,3)，求对角线AC和BD的长．【解析】(1)a·b＝|a||b|coseq\f(π,3)＝5×5×eq\f(1,2)＝eq\f(25,2)，∴|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq\r(3)，|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(|a|2＋|b|2－2a·b)＝eq\r(25)＝5，|3a＋b|＝eq\r(3a＋b2)＝eq\r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq\r(325)＝5eq\r(13).(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，又|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a＋b|＝20.(3)设eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，则|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角θ＝eq\f(π,3).∴a·b＝|a||b|cosθ＝eq\f(3,2).又∵eq\o(AC,\s\up10(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up10(→))＝a－b，∴|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(\o(AC,\s\up10(→))\o(2,\s\up10()))＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(13)，|eq\o(DB,\s\up10(→))|＝eq\r(\o(DB,\s\up10(→))\o(2,\s\up10()))＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(7).∴AC＝eq\r(13)，BD＝eq\r(7).10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？【解析】(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝eq\f(4,7).6.3.1平面向量基本定理一、选择题1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定【解析】∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．【答案】B2．已知AD是△ABC的中线，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，以a，b为基底表示eq\o(AC,\s\up10(→))，则eq\o(AC,\s\up10(→))＝()A.eq\f(1,2)(a－b)B．2b－aC.eq\f(1,2)(b－a)D．2b＋a【解析】如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))，则eq\o(AC,\s\up10(→))＝2eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝2b－a.【答案】B3．在正方形ABCD中，eq\o(AC,\s\up10(→))与eq\o(CD,\s\up10(→))的夹角等于()A．45°B．90°C．120°D．135°【解析】如图所示，将eq\o(AC,\s\up10(→))平移到eq\o(CE,\s\up10(→))，则eq\o(CE,\s\up10(→))与eq\o(CD,\s\up10(→))的夹角即为eq\o(AC,\s\up10(→))与eq\o(CD,\s\up10(→))的夹角，夹角为135°.【答案】D4．若D点在三角形ABC的边BC上，且eq\o(CD,\s\up10(→))＝4eq\o(DB,\s\up10(→))＝req\o(AB,\s\up10(→))＋seq\o(AC,\s\up10(→))，则3r＋s的值为()A.eq\f(16,5)B.eq\f(12,5)C.eq\f(8,5)D.eq\f(4,5)【解析】∵eq\o(CD,\s\up10(→))＝4eq\o(DB,\s\up10(→))＝req\o(AB,\s\up10(→))＋seq\o(AC,\s\up10(→))，∴eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))＝req\o(AB,\s\up10(→))＋seq\o(AC,\s\up10(→))，∴r＝eq\f(4,5)，s＝－eq\f(4,5).∴3r＋s＝eq\f(12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8,5).【答案】C二、填空题5．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．【解析】因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以x－y＝3.【答案】36．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0，若eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up10(→))，则eq\o(OC,\s\up10(→))＝________.【解析】eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))，∵2eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0，∴2(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＋(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→)))＝0，∴eq\o(OC,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝2a－b.【答案】2a－b7．在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，则eq\o(BE,\s\up10(→))＝________.【解析】eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CE,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－eq\f(1,2)a.【答案】b－eq\f(1,2)a三、解答题8．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.【解析】因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因为e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))所以c＝a－2b.9．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且eq\o(BM,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(CN,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up10(→))，eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，试用a，b将eq\o(MN,\s\up10(→))、eq\o(NP,\s\up10(→))、eq\o(PM,\s\up10(→))表示出来．【解析】eq\o(NP,\s\up10(→))＝eq\o(AP,\s\up10(→))－eq\o(AN,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\o(CN,\s\up10(→))－eq\o(CM,\s\up10(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up10(→))＝－eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)(a－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(PM,\s\up10(→))＝－eq\o(MP,\s\up10(→))＝－(eq\o(MN,\s\up10(→))＋eq\o(NP,\s\up10(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)．10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up10(→)).(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设eq\o(BO,\s\up10(→))＝xeq\o(BM,\s\up10(→))＋yeq\o(BN,\s\up10(→))，求x，y的值．【解析】(1)由eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up10(→))可知M，B，C三点共线，如图，令eq\o(BM,\s\up10(→))＝λeq\o(BC,\s\up10(→))⇒eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))⇒λ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(1,4)，即面积之比为14.(2)由eq\o(BO,\s\up10(→))＝xeq\o(BM,\s\up10(→))＋yeq\o(BN,\s\up10(→))⇒eq\o(BO,\s\up10(→))＝xeq\o(BM,\s\up10(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(BO,\s\up10(→))＝eq\f(x,4)eq\o(BC,\s\up10(→))＋yBN，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7).))6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up10(→))＝4i＋2j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝3i＋4j，则2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))的坐标是()A．(1，－2)B．(7,6)C．(5,0)D．(11,8)【解析】因为eq\o(OA,\s\up10(→))＝(4,2)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(3,4)，所以2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．【答案】D2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4,2)D．(4，－2)【解析】3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝()A．(1，－2)B．(1,2)C．(5,6)D．(2,0)【解析】b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．【答案】A4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．【答案】A二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i、j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示a＝________.【解析】由于i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a＝(1，－2)．【答案】(1，－2)6．如右图所示，已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，则向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐标为________．【解析】设点A(x，y)，则x＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|·cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|·sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up10(→))＝(2eq\r(3)，6)．【答案】(2eq\r(3)，6)7．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq\o(AB,\s\up10(→))相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.【解析】易得eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq\o(AB,\s\up10(→))相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，))解得x＝－1.【答案】－1三、解答题8．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))，并求出它们的坐标．【解析】由图形可知，eq\o(OA,\s\up10(→))＝6i＋2j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝2i＋4j，eq\o(AB,\s\up10(→))＝－4i＋2j，它们的坐标表示为eq\o(OA,\s\up10(→))＝(6,2)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(2,4)，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－4,2)．9．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.(1)求p的坐标；(2)若以a，b为基底，求p的表达式．【解析】(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－μ＝－6，,－4λ＋3μ＝－3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(21,2)，,μ＝－15，))所以p＝－eq\f(21,2)a－15b.10．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设eq\o(OA,\s\up10(→))a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.【解析】如图，以O为原点，eq\o(OA,\s\up10(→))为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B(cos150°，sin150°)，C(3cos240°，3sin240°)．即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，又∵A(2,0)，故a＝(2,0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).设c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))＝λ1(2,0)＋λ2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2λ1－\f(\r(3),2)λ2，\f(1,2)λ2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ1－\f(\r(3),2)λ2＝－\f(3,2)，,\f(1,2)λ2＝－\f(3\r(3),2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－3，,λ2＝－3\r(3)，))∴c＝－3a－3eq\r(3)b.6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)【解析】由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．【答案】C2．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．1D．2【解析】a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,2)，故选A.【答案】A3．已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)【解析】设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(AC,\s\up10(→)).因为eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))－(1，－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－eq\f(7,2)(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.【答案】C4．已知向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up10(→))＝(2m，m＋1)，若eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(OC,\s\up10(→))，则实数m的值为()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C．3D．－3【解析】向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(6，－3)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝(3,1)，∵eq\o(OC,\s\up10(→))＝(2m，m＋1)，eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(OC,\s\up10(→))，∴3m＋3＝2m，解得m＝－3，故选D.【答案】D二、填空题5．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．【解析】因为向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.【答案】16．已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下列结论：①直线OC与直线BA平行；②eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))；③eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))；④eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→)).其中，正确结论的序号为________．【解析】①因为eq\o(OC,\s\up10(→))＝(－2,1)，eq\o(BA,\s\up10(→))＝(2，－1)，所以eq\o(OC,\s\up10(→))＝－eq\o(BA,\s\up10(→))，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所