湘教版九年级数学下册全册教案（2024年春季版）

湘教版九年级数学下册全册教案设计

第1章二次函数1.1二次函数1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.3.经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.4.体会数学与实际生活的密切联系，学会与他人合作交流，培养合作意识.【教学重点】二次函数的概念.【教学难点】在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.一、情境导入，初步认识1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S（m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0<x<50)；电脑价格y（元）与平均降价率x的关系式是y=6000x2-12000x+6000,(0<x<1).它们有什么共同点？一般形式是y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)这样的函数可以叫做什么函数？二次函数.2.对于实际问题中的二次函数，自变量的取值范围是否会有一些限制呢？有.二、思考探究，获取新知二次函数的概念及一般形式在上述学生回答后，教师给出二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意：①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时，要连同符号一起指出.三、典例精析，掌握新知例1指出下列函数中哪些是二次函数.(1)y=(x-3)2-x2；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=；(5)y=5-x2+x.【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.解：(2)(5）是二次函数，其余不是.【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路：1.将函数化为一般形式.2.自变量的最高次数是2次.3.若二次项系数中有字母，二次项系数不能为0.例2讲解教材P3例题.【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.例3已知函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)（m是常数），当m为何值时：（1）函数是一次函数；（2）函数是二次函数.【分析】判断函数类型，关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零，列出相应方程或不等式.解：(1）由得,∴m=1.即当m=1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是一次函数.（2）由m2-m≠0得m≠0且m≠1,∴当m≠0且m≠1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数.【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.四、运用新知，深化理解1.下列函数中是二次函数的是（）A.B.y=3x3+2x2C.y=(x-2)2-x3D.2.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（）A.1B.-1C.2D.-23.若函数是二次函数，则k的值为（）A.0B.0或3C.3D.不确定4.若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是.5.已知二次函数y=1-3x+5x2，则二次项系数a=，一次项系数b=，常数项c=.6.某校九（1）班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式，它（填“是”或“不是”）二次函数.7.如图，在边长为5的正方形中，挖去一个半径为x的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y.（1）求y关于x的函数关系式；（2）试求自变量x的取值范围；（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（π取3.14，结果精确到十分位）.【答案】1.D2.D3.A4.a≠-25.5,-3,16.是7.（1）y=25-πx2=-πx2+25.(2)0＜x≤52.(3)当x=2时，y=-4π+25≈-4×3.14+25=12.44≈12.4.即剩余部分的面积约为12.4.【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数的有关概念.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.教材P4第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从生活实际中引出二次函数模型，从而得出二次函数的定义及一般形式，会写简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围，使学生认识到数学来源于生活，又应用于生活实际之中.*1.3不共线三点确定二次函数的表达式1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式.2.由已知条件的特点，灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数解析式，可使计算过程简便.3.通过例题讲解使学生初步掌握，用待定系数法求二次函数的解析式.4.通过本节教学，激发学生探究问题，解决问题的能力.【教学重点】用待定系数法求二次函数的解析式.【教学难点】灵活选择合适的表达式设法.一、情境导入，初步认识1.同学们想一想，已知一次函数图象上两个点的坐标，如何用待定系数法求它的解析式？学生回答：2.已知二次函数图象上有两个点的坐标，能求出其解析式吗？三个点的坐标呢？二、思考探究，获取新知探究1已知三点求二次函数解析式讲解：教材P21例1，例2.【教学说明】让学生通过例题讲解归纳出已知三点坐标求二次函数解析式的方法.探究2用顶点式求二次函数解析式.例3已知二次函数的顶点为A(1,-4）且过B(3,0)，求二次函数解析式.【分析】已知抛物线的顶点，设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.解：∵抛物线顶点为A(1,-4),∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4,∵点B（3，0）在图象上，∴0=4a-4,∴a=1,∴y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3.【教学说明】已知顶点坐标，设顶点式比较方便，另外已知函数的最（大或小）值即为顶点纵坐标，对称轴与顶点横坐标一致.探究3用交点式求二次函数解析式例4（甘肃白银中考）已知一抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（1，0），且经过点C（2，8）.求二次函数解析式.【分析】由于抛物线与x轴的两个交点为A（-2，0），B（1，0），可设解析式为交点式：y=a(x-x1)(x-x2).解：A（-2，0），B（1，0）在x轴上，设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-1).又∵图象过点C（2，8），∴8=a(2+2)(2-1),∴a=2,∴y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.【教学说明】因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程简单.三、运用新知，深化理解1.若二次函数y=-x2+mx-2的最大值为，则m的值为（）A.17B.1C.±17D.±12.二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，下列判断错误的是（）A.a＜0B.b＞0C.c＞0D.ab＞03.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x=1，且经过点P（3,0），则a-b+c的值为（）A.0B.-1C.1D.24.如图是二次函数y=ax2+3x+a2-1的图象，a的值是.5.已知二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x轴交于A、B两点.（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P(-2,3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由.【教学说明】通过练习巩固加深对新知的理解，并适当对题目作简单的提示.第3题根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为（-1，0），将此点代入解析式，即可求出a-b+c的值.第4题可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向.【答案】1.C2.D3.A4.-15.解：(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.∵二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5）.∴c=3.∴9a-3b+3=0,4a+2b+3=-5.解得a=-1,b=-2.∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(2)∵当x=-2时，y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,∴点P（-2,3）在这个二次函数的图象上.令-x2-2x+3=0,∴x1=-3,x2=1.∴与x轴的交点为(-3,0),(1,0),∴AB=4.即S△PAB=12×4×3=6.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：3.求二次函数解析式的三种表达式的形式.(1)已知三点坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k.(3)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2).1.教材P23第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.用待定系数法求二次函数的表达式有三种基本方法，解题时可根据不同的条件灵活选用.本节内容是二次函数中的重点也是中考考点之一，同学们要通过练习，熟练掌握.1.4二次函数与一元二次方程的联系1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题.5.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系，进一步体会数形结合的思想.6.通过自主学习，小组合作，探索出二次函数与一元二次方程的关系，感受数学的严谨性，激发热爱数学的情感.【教学重点】①理解二次函数与一元二次方程的联系.②求一元二次方程的近似根.【教学难点】一元二次方程与二次函数的综合应用.一、情境导入，初步认识1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c当y=0时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点.学生回答，教师点评二、思考探究，获取新知探究1求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点例1求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.解：因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3,x2=-1，所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.探究2抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？【教学说明】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac＜0探究3利用函数图象求一元二次方程的近似根提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-2=0的两根是什么？学生回答：【教学点评】-1＜x1＜0,2＜x2＜3.探究4一元二次方程与相应二次函数的综合应用讲解教材P26例2【教学说明】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的某一个函数值y=M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，这样将二次函数的知识和前面学的一元二次方程就紧密联系起来了.三、运用新知，深化理解1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限3.（x-1）(x-2)=m(m＞0)的两根为α,β，则α,β的范围为（）A.α＜1，β>2B.α＜1＜β＜2C.1＜α＜2＜βD.α＜1,β＞24.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0)，则方程ax2+bx+c=0的解为.5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.（1）求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D（0，－）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.学生解答：【答案】1.D2.C3.D4.x1=1,x2=35.解：（1）y=x2-4x+3(2)存在y=x-【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师点评：①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；④二次函数问题可转化为对应一元二次方程根与系数关系问题.1.教材P28第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节课的学习，让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了，这样对二次函数的综合应用就方便得多了，从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.1.5二次函数的应用第1课时二次函数的应用（1)1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题.2.经历运用二次函数解决实际问题的探究过程，进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系，体会二次函数是解决实际问题的重要模型，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.体验函数是有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.4.敢于面对在解决实际问题时碰到的困难，积累运用知识解决问题的成功经验.【教学重点】用抛物线的知识解决拱桥类问题.【教学难点】将实际问题转化为抛物线的知识来解决.一、情境导入，初步认识预习P29页的内容，完成下面各题.1.要求出教材P29动脑筋中“拱顶离水面的高度变化情况”，你准备采取什么办法？2.根据教材P29图1-18，你猜测是什么样的函数呢？3.怎样建立直角坐标系比较简便呢？试着画一画它的草图看看！4.根据图象你能求出函数的解析式吗？试一试！二、思考探究，获取新知探究直观图象的建模应用例1某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离是6m，如图所示，则厂门的高（水泥建筑物厚度不计，精确到0.1m）约为（）A.6.9mB.7.0mC.7.1mD.6.8m【分析】因为大门是抛物线形，所以建立二次函数模型来解决问题.先建立平面直角坐标系，如图，设大门地面宽度为AB，两壁灯之间的水平距离为CD，则B,D坐标分别为(4,0),(3,3)，设抛物线解析式为y=ax2+h.把（3，3），（4，0）代入解析式求得h≈6.9.故选A.答案：A【教学说明】根据直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式.例2小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加多少？【分析】拱桥类问题一般是转化为二次函数的知识来解决.解：由题意建立如图的直角坐标系，设抛物线的解析式y=ax2,∵抛物线经过点A（2，-2），∴-2=4a,∴a=-,即抛物线的解析式为y=-x2,当水面下降1m时，点B的纵坐标为-3.将y=-3代入二次函数解析式，得y=-x2,得-3=-x2→x2=6→x=±,∴此时水面宽度为2|x|=2m.即水面下降1m时，水面宽度增加了（2-4)m.【教学说明】用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便.三、运用新知，深化理解1.某溶洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m，溶洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，溶洞所在抛物线的函数关系式是（）A.y=x2B.y=x2+C.y=-x2D.y=-x2+2.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A.50mB.100mC.160mD.200m第2题图第3题图3.如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒.4.（浙江金华中考）如图，足球场上守门员在O处踢出一高球，球从离地面1米处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点C距守门员是多少米？（取4≈7,2≈5)（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？【教学说明】学生自觉完成上述习题，加深对新知的理解，并适当加以分析，提示如第4题，由图象的类型及已知条件，设其解析式为y=a(x-6)2+4，过点A（0，1），可求出a;（2）令y=0可求出x的值，x＜0舍去；（3）令y=0，求出C点坐标（6+4,0），设抛物线CND为y=-(x-k)2+2，代入C点坐标可求出k值(k＞6+4).再令y=0可求出C、D的坐标，进而求出BD.【答案】1.C2.C3.364.解：(1)y=-(x-6)2+4(2)令y=0，可求C点到守门员约13米.（3）向前约跑17米.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评.3.建立二次实际问题的一般步骤：(1）根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2）把已知条件转化为点的坐标.(3）合理设出函数解析式.(4）利用待定系数法求出函数解析式.(5）根据求得的解析式进一步分析，判断并进行有关的计算.1.教材P31第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课主要是利用二次函数解决生活中的实际问题，其主要思路是建立适当的直角坐标系，使求出的二次函数模型更简捷，解决问题更方便，让学生学会运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们学习的兴趣.第2课时二次函数的应用（2)1.经历探索实际问题中两个变量的过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.3.经历优化问题的探究过程，认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.4.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增加对数学的理解和学好数学的信心.【教学重点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.【教学难点】二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.一、情境导入，初步认识问题1同学们完成下列问题：已知y=x2-2x-3①x=时，y有最值，其值为；②当-1≤x≤4时，y最小值为，y最大值为.答案：①1，小，-4；②-4，5【教学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究，获取新知教学点1最大面积问题阅读教材P30动脑筋，回答下列问题.1.若设窗框的宽为xm，则窗框的高为m,x的取值范围是.2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？3.如何由关系式求出最大面积？答案：1.0<x<2.S=-x2+4x,0<x<3.Smax=m2.例1如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x，那么两个正方形的面积和：y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-时，y最小值=2×（a）2-2a×a+a2=a2即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.【教学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.教学点2最大利润问题例2讲解教材P31例题【教学说明】通过例题讲解使学生初步认识到要解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.例3某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？【分析】找出进价，售价，销售，总利润之间的关系，建立二次函数，再求最大值.列表分析如下：关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量.解：设降价x元，总利润为y元，由题意得y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.当x=0.5时，总利润最大为225元.∴当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.三、运用新知，深化理解1.如图，点C是线段AB上的一个支点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是()A.当C是AB的中点时，S最小B.当C是AB的中点时，S最大C.当C为AB的三点分点时，S最小D.当C是AB的三等分点时，S最大第1题图第2题图2.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是.3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）.①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；②求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【答案】1.A2.cm,cm23.解：①45+×7.5=60（吨）.②y=(x-100)(45+×7.5).化简，得y=-x2+315x-24000.③y=-x2+315x-24000=-(x-210)2+9075.此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.④我认为，小静说得不对.理由：当月利润最大时，x为210元，每月销售额W=x(45+×7.5=-(x-160)2+19200.当x为160元时，月销售额W最大.∴当x为210元时，月销售额W不是最大的.∴小静说得不对.【教学说明】1.先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.2.要分清利润，销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围，并能求出实际问题的最值.1.教材P31第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课主要是用二次函数理论知识解决最大面积问题和最大利润问题，通过对此问题的探究解决，使学生认识到数学知识和生活实际的紧密联系，提高学习数学的积极性.章末复习1.掌握本章重要知识，能灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题.2.通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想，转化化归思想的过程，加深对本章知识的理解.3.在运用本章知识解决具体问题过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，激发学习兴趣.【教学重点】回顾本章知识点，构建知识体系.【教学难点】利用二次函数的相关知识解决具体问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统了解本章知识及它们之间的关系，教学时，边回顾边建立结构框图.二、释疑解惑，加深理解1.由于y=ax2+bx+c配方后可得y=,所以y=ax2+bx+c的图象总可由y=ax2平移得到.2.对于现实生活中的许多问题，可以通过建立二次函数模型来解决.3.利用二次函数解法实际问题时，自变量的取值范围要结合具体问题来确定.三、典例精析，复习新知例1下列函数中，是二次函数的是（)A.y=8x2+1B.y=x2+C.y=(x-2)(x+2)-x2D.y=ax2【解析】选A.选项A符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确；选项B不是整式形式，错误；选项C不含二次项，错误；选项D，二次项系数a=0时，不是二次函数，错误.例2抛物线y=-(x-1)2是由抛物线y=-(x+3)2向平移个单位得到的；平移后的抛物线对称轴是，顶点坐标是，当x=时，函数y有最值，其值是.【解析】本题因为a=-1＜0，所以抛物线开口向下，函数有最大值；掌握“左加右减”的平移规律时，关键是把握平移方向.答案：右4直线x=1(1,0)1大0例3如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3;③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随着x的增大而增大.正确的说法有.（请写出所有正确说法的序号）【解析】∵抛物线开口向上，即a＞0；与y轴的交点在x轴下方，即c＜0,∴ac＜0,①正确；由函数图象与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0），可得方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3,②正确；由函数图象与x=1的交点位于x轴下方，即a+b+c＜0，③错误；由函数图象可得抛物线的对称轴为x=1，当x＞1时，y随着x的增大而增大，故正确的说法有①②④.例4如图，利用一面墙（墙长为15m）和30m长的篱笆来围矩形场地，若设垂直墙的一边长为x(m)，围成的矩形场地的面积为y(m2).(1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）怎样围成一个面积为112m2的矩形场地？（3）若要围成一个面积最大的矩形场地，则矩形场地的长和宽各应是多少？【解析】(1)∵AD=BC=x,∴AB=30-2x，由题意得y=x(30-2x)=-2x2+30x(7.5≤x＜15);(2)当y=112时，-2x2+30x=112，解得：x1=7,x2=8,当x=7时，AD=BC=7m,AB=30-2×7=16m（大于围墙的长度，舍去）.当x=8时，AD=BC=8cm,AB=30-2×8=14m(符合题意)∴当垂直于墙面的边长为8m时，可以围成面积为112m2的矩形场地.(3)y=-2x2+30x=-2（x-）2+∴当x=m时，围成的面积最大，此时矩形的宽为m，长为15m.四、运用新知，深化理解1.（江苏扬州中考）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数解析式是（）A.y=(x+2)2+3B.y=(x+2)2-3C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-32.已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：点A（x1,y1）,B(x2,y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2,3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）A.y1＞y2B.y1＜y2C.y1≥y2D.y1≤y23.（湖北咸宁中考）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时，y随x的增大而减小，则m=1;③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1;④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3.其中正确的说法是.（把你认为正确说法的序号都填上）4.如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C.（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x,y）（其中x＞0,y＞0），使S△ABD=S，求点D的坐标.5.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间.经市场调查发现；若以每箱50元销售，平均每天可售出90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱.（1）写出售价x（元）与平均每天所得利润W（元）之间的函数关系式；（2）每箱定价多少元时，才能使平均每天的利润最大？最大利润是多少？【答案】1.B2.B3.①④4.(1)m=3(2)y=-x2+2x+3令y=0解得x=3或-1，∴B（-1，0）（3）∵S△ABD=S△ABC，点D在第一象限.∴点C,D关于二次函数对称轴对称.∵对称轴x=1,C(0,3),∴D(2,3)5.解：（1）设销售量为y箱，则y=240-3x,所以W=(x-40)y=(x-40)(240-3x)=-3(x-60)2+1200(40≤x≤70).(2)当x=60时，W最大=1200.∴每箱定价为60元时，才能使平均每天的利润最大，最大利润是1200元.五、师生互动，课堂小结你能完整地回顾本章所学的二次函数的有关知识吗？你能用二次函数知识解决实际问题吗？你还有哪些疑问？1.教材P37第3~6题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节通过学习归纳本章内容，建立二次函数模型，掌握二次函数性质，并利用二次函数性质去解决实际问题，查漏补缺，使学生对本章知识有通盘了解和掌握.第2章圆2.1圆的对称性1.通过观察实验操作，使学生理解圆的定义.2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形.4.点与圆的位置关系.5.通过举出生活中常见圆的例子，经历观察画图的过程多角度体会和认识圆.6.结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形.2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆，体验画圆的过程，想想圆是怎样形成的.【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子，通过画圆，有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.二、思考探究，获取新知1.圆的定义问题 如教材P43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象.如右图：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.注意：圆指的是圆周，不是圆面.【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义.2.点与圆的位置关系一般地，设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有（1）点P在⊙O内d＜r（2）点P在⊙O上d=r（3）点P在⊙O外d＞r3.与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如：线段AB、AC)直径：经过圆心的弦（如AB）叫做直径.注：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.如图，以A、B为端点的弧记作，,读作：弧AB.注：①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.②大于半圆的弧，用三个点表示，如图中的,叫做优弧.小于半圆的弧，用两个点表示，如图中的,叫做劣弧.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.注：半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.等弧：在等圆或同圆中，能够互相重合的弧叫等弧.注：①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.②等弧只存在于同圆或等圆中.【教学说明】结合图形，使学生准确地掌握与圆有关的概念，为后面的学习打下基础.4.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.（2）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.【教学说明】上述两个结论是通过教材P44探究1、2而得出来的，教师应引导学生仔细体会，必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示.思考车轮为什么做成圆形的？如果车轮不是圆的（如椭圆或正方形等），坐车人会是什么感觉？【分析】把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变.因此，车辆在平路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳.如果车轮不是圆的，车辆在行驶时，坐车人会感觉到上下颠簸，不舒服.三、运用新知，深化理解1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm，以点A为圆心，2cm长为半径作圆，则点C（）A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.可能在⊙A上也可能在⊙A外2.（1）以点A为圆心，可以画____个圆.（2）以已知线段AB的长为半径，可以画____个圆.（3）以A为圆心，AB长为半径，可以画___个圆.3.如图，半圆的直径AB=________.第3题图第4题图4.如图，图中共有____条弦.【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念的掌握情况，对学生的疑惑教师及时指导，并进行强化.【答案】1.C2.(1）无数（2）无数（3)13.4.2四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳，对于某些概念性的知识，要结合图形加以区别和理解.1.布置作业：从教材“习题2.1”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生感受生活中圆的应用开始，到通过学生动手画圆，培养学生动手、动脑习惯，在操作过程中观察圆的特点，加深对所学知识的认识，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们学习的兴趣.2.2圆心角、圆周角2.2.1圆心角1.理解并掌握圆心角的概念.2.掌握圆心角与弧及弦的关系定理.3.通过对圆心角的概念及定理的探究，从而认识到几何中不同量之间的对等关系.4.在探究过程中体验获取新知的喜悦，提高探究能力和归纳能力.【教学重点】弧、弦、圆心角之间关系的定理及推论和它们的应用.【教学难点】探索定理和推论及其应用.一、情境导入，初步认识探究1图中，时钟的时针与分针所成的角与时钟的外围所成的圆有哪些位置关系？【教学说明】这里让学生关键指出两点：一是角的顶点在圆心，二是两边与圆相交.二、思考探究，获取新知1.圆心角概念顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角.如图，∠AOB叫做所对的圆心角，叫做圆心角∠AOB所对的弧.【教学说明】圆心角的定义实际可以简化为：顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角与弧、弦关系定理探究1 请同学们按下列要求作图并回答下列问题：如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′位置，你能发现哪些等量关系，为什么？学生回答：【教学说明】=，AB=A′B′.理由：∵半径OA与OA′重合，且∠AOB=∠A′OB′，∴半径OB与OB′重合.∵点A与点A′重合，点B与点B′重合，∴与重合，弦AB与弦A′B′重合.∴=,AB=A′B′.探究2 同学们思考一下，在等圆中，这些结论是否成立？学生回答：【教学说明】可以在等圆⊙O和⊙O′中分别作∠AOB=∠A′O′B′，然后滚动一个圆，使圆心O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合，∠AOB与∠A′O′B′重合，则有上面相同结论，AB=A′B′,=.用文字叙述这个命题，则有弧、弦、圆心角之间关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.同样还可以得到两个推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.注意：圆心角、弦、弦关系定理的前提条件是在同圆或等圆中，没有这一条，定理不成立.三、典例精析，掌握新知例1 教材P48例1【分析】在同圆中，由弦相等可以得到圆心角相等，从而使问题解决.学生自主完成.例2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=25°，以C点为圆心，CA的长为半径的圆交AB于点D，求的度数.【分析】要求的度数，根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，故只需求出∠DCA的度数.解：连接CD，如图.∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠A=65°.∵CD=CA,∴∠CDA=65°,∴∠DCA=180°-65°×2=50°.∴的度数为50°.【教学说明】在圆中求角的度数时，把角放在直角三角形和等腰三角形中去解决是一种常用的方法.四、运用新知，深化理解1.（浙江湖州中考）如图是七年级（1）班参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，则表示参加唱歌兴趣小组人数的扇形的圆心角的度数是（）A.36°B.72°C.108°D.180°2.在⊙O中，所对的圆心角有___个，弦AB所对的弧有____条.若∠OAB=50°，则所对的圆心角为_____度.3.如图所示，⊙O1和⊙O2为两个等圆，O1A∥O2D,O1O2与AD相交于点E，AD与⊙O1和⊙O2分别交于点B，C，求证：AB=CD.【教学说明】学生自主完成加深对新学知识的理解和检测对圆心角及相关定理的掌握情况.【答案】1.B2.1,2,803.证明：∵O1A∥O2D,∴∠A=∠D.∴∠AO1B=∠DO2C.又∵⊙O1和⊙O2为两个等圆，∴AB=CD.五、师生互动，课堂小结1.学生总结本堂课的收获与困惑.2.教师强调：圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.1.教材P56第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课从时钟引入圆心角的概念，进一步探究圆心角的相关定理.加深学生对圆心角及相关定理的认识，并运用所学知识解决实际问题，以此来激发他们的学习兴趣.2.2.2圆周角第1课时圆周角（1)1.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.3.经历探索圆周角与圆心角的关系的过程，加深对分类讨论和由特殊到一般的转化等数学思想方法的理解.4.在探究过程中体验数学的思想方法，进一步提高探究能力和动手能力.5.通过分组讨论，培养合作交流意识和探索精神.【教学重点】理解并掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角之间的关系，能进行有关圆周角问题的简单推理和计算.【教学难点】分类讨论及由特殊到一般的转化思想的应用.一、情境导入，初步认识阅读教材P49-50，回答下列问题.1.如图所示的角中，哪些是圆周角？2.顶点在______上，并且两边都与圆_________的角叫做圆周角.3.在同圆或等圆中，_____或_______所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的______的一半.4.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_______.【教学说明】圆周角必须符合两个条件：①顶点在圆上；②两边与圆相交.二、思考探究，获取新知探究圆周角定理.1.同学们作出所对的圆周角，和圆心角，学生分组讨论，并回答下列问题：问题1 所对的圆周角有几个？问题2 度量下这些圆周角的关系.问题3 这些圆周角与圆心角∠AOB的关系.学生解答：【教学说明】①所对的圆周角的个数有无数个.②通过度量，这些圆周角相等.③通过度量，同弧对的圆周角是它所对圆心角的一半.2.同学们思考如何推导上面的问题（3）的结论？教师引导，学生讨论①当点O在∠BAC边AB上，②当点O在∠BAC的内部，③当点O在∠BAC外部.①②由同学们分组讨论，自己完成.③由同学们讨论，代表回答.【教学说明】作直径AE，由∠BAC=∠OAC-∠OAB，由∠OAC=∠EOC,∠OAB=∠BOE得：∠BAC=∠EOC-∠BOE=(∠EOC-∠BOE)=∠BOC.从①②③得出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.还可以得出下面推论：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等；3.讲例题：如图，(1)已知.求证：AB=CD.(2)如果AD=BC，求证：.证明：(1)∵,∴,∴,∴AB=CD.(2)∵AD=BC,∴,∴,即.【教学说明】在今后证明线段相等的题目中又加了一种有弧相等也可以得到线段相等的方法了.三、运用新知，深化理解1.如图，在⊙O中，AD=DC，则图中相等的圆周角的对数是（）A.5对B.6对 C.7对 D.8对2.如图所示，点A，B，C，D在圆周上，∠A=65°，求∠D的度数.第2题图第3题图3.如图所示，已知圆心角∠BOC=100°，点A为优弧上一点，求圆周角∠BAC的度数.4.如图所示，在⊙O中，∠AOB=100°,C为优弧AB的中点，求∠CAB的度数.【教学说明】在圆中利用同弧所对的圆周角相等推得角相等是灵活对角进行等量转换的关键，要特别注意等弧所对的圆心角也相等.【答案】1.D2.65°3.50°4.65°四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上.【教学说明】①圆周角的定义是基础.②圆周角的定理是重点，圆周角定理的推导是难点.③圆周角定理的应用才是重中之重.1.教材P56第3~5题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课主要学习圆周角的概念及圆周角定理，运用分类讨论的思想对圆周角定理进行推导，学习新思路，新途径，进一步强调分类讨论的思想在数学中的运用.加深学生的印象，激发他们的学习兴趣，数学是千变万化的，又是有规律可循的.第2课时圆周角（2)1.巩固圆周角概念及圆周角定理.2.掌握圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.3.圆内接四边形的对角互补.4.在探索圆周角定理的推论中，培养学生观察、比较、归纳、概括的能力.5.在探索过程中感受成功，建立自信，体验数学学习活动充满着探索与创造，交流与合作的乐趣.【教学重点】对直径所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径这些性质的理解.【教学难点】对圆周角定理推论的灵活运用是难点.一、情境导入，初步认识1.如图，木工师傅为了检验如图所示的工件的凹面是否成半圆，他只用了曲尺（它的角是直角）即可，你知道他是怎样做的吗？【分析】当曲尺的两边紧靠凹面时，曲尺的直角顶点落在圆弧上，则凹面是半圆形状，因为90度的圆周角所对的弦是直径.解：当曲尺的两边紧靠凹面时，曲尺的直角顶点落在圆弧上，则凹面是半圆形状，否则工件不合格.2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.3.圆内接四边形的对角互补.【教学说明】半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径都是圆周角定理可推导出来的.试着让学生简单推导，培养激发他们的学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.直径所对的圆周角是直角，90°的角所对的弦是直径.如图，∠C1、∠C2、∠C3所对的圆心角都是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，就可求出∠C1、∠C2、∠C3的度数.【教学说明】∵A、O、B在一条直线上，∠AOB是平角，∠AOB=180°，由圆周角定理知∠C1=∠C2=∠C3=90°，反过来也成立.2.讲教材P54例3【教学说明】在圆中求角时，一种方法是利用圆心角的度数求，另一种方法是把所求的角放在90°的三角形中去求.3.讲圆内接四边形和四边形的外接圆的概念.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆；圆内接四边形对角互补.例1如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的圆⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD=5cm，则BE=10cm.【教学说明】在题中利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线，从而求解.例2如图，已知∠BOC=70°，则∠BAC=_____，∠DAC=______.【分析】由∠BOC=70°可得所对的圆周角为35°，又∠BAC与该圆周角互补，故∠BAC=145°.而∠DAC+∠BAC=180°，则∠DAC=35°.答案：145° 35°例3如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点.（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；（2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，使得点E一定是AC的中点（直接写出结论）【教学说明】连接AD，得AD⊥BC，构造出Rt△ABD≌Rt△ACD.解：（1）AB=AC.证明：如图，连接AD，则AD⊥BC.∵AD是公共边，BD=DC,∴Rt△ABD≌Rt△ACD,∴AB=AC.(2)△ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或∠BAC=∠B或∠BAC=∠C.三、运用新知，深化理解1.（湖南湘潭中考）如图，AB是半圆O的直径，D是AC的中点，∠ABC=40°，则∠A等于（）A.30°B.60°C.80°D.70°2.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，点D在圆上，则∠ADC=_______.3.(山东威海中考)如图，AB为⊙D的直径，点C、D在⊙O上.若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是______.4.（浙江金华中考）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.(1)求证：CF=BF;(2)若CD=6,AC=8，则⊙O的半径为，CE的长是_____.【教学说明】①遇到直径常设法构造直角三角形；②注意：“角→弧→角”之间转化.【答案】1.D2.50°3.105°4.解：（1）AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°,∴∠A+∠CBA=90°.又CE⊥AB，∠ECB+∠CBA=90°,∠BCE=∠A，又，∴∠A=∠CBD，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF.(2)半径为5.CE==4.8.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师强调：①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；②圆内接四边形定义及性质；③关于圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形.1.教材P57第7~9题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是在巩固圆周角定义及定理的基础上开始，运用定理推导出半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及圆内接四边形性质定理的，学生见证了从一般到特殊的这一过程，使学生明白从特殊到一般又从一般到特殊的多种解决问题的途径，激发学生的求知欲望.*2.3垂径定理1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证.2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算.3.在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力.4.通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情.【教学重点】垂径定理及运用.【教学难点】用垂径定理解决实际问题.一、情境导入，初步认识教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下：①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？②如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作）学生回答或展示：【教学说明】（1）是轴对称图形，对称轴是直线CD.（2）AM=BM，.二、思考探究，获取新知探究1垂径定理及其推论的证明.1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程.已知：直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点M.求证：AM=BM,【教学说明】连接OA=OB，又CD⊥AB于点M，由等腰三角形三线合一可知AM=BM，再由⊙O关于直线CD对称，可得.学生尝试用语言叙述这个命题.2.得出垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论（垂径定理推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3.学生讨论写出已知、求证，并说明.学生回答：【教学说明】已知：AB为⊙O的弦(AB不过圆心O),CD为⊙O的直径，AB交CD于点M,MA=MB.示证：CD⊥AB,.证明：在△OAB中，∵OA=OB,MA=MB,∴CD⊥AB.又CD为⊙O的直径，∴.4.同学讨论回答，如果条件中，AB为任意一条弦，上面的结论还成立吗？学生回答：【教学说明】当AB为⊙O的直径时，直径CD与直径AB一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直.探究2 垂径定理在计算方面的应用.例1讲教材P59例1例2已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=10cm,CD=24cm，求AB与CD间的距离.解：(1)当AB、CD在O点同侧时，如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、OC.∵AB∥CD,∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中，AM=5cm,OM==12cm.在Rt△OCN中，CN=12cm,ON==5cm.∵MN=OM-ON,∴MN=7cm.(2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，由（1）可知OM=12cm,ON=5cm,MN=OM+ON,∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm.【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去.2.AB、CD与点O的位置关系没有说明，应分两种情况：AB、CD在O点的同侧和AB、CD在O点的两侧.探究3与垂径定理有关的证明.例3讲教材P59例2【教学说明】1.作直径EF⊥AB,∴.又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD.∴.∴，即.2.说明直接用垂径定理即可.三、运用新知，深化理解1.（湖北黄冈中考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A.8B.10C.16D.202.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0,-4）,N(0,-10)，函数(x＜0)的图象过点P，则k=______.3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE为正方形.【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线（弦心距），然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解.2.求k值关键是求出P点坐标.3.利用垂径定理，由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形.【答案】1.D2.283.解：由OE⊥CA,OD⊥AB,AC⊥AB,∴四边形ADOE为矩形.再由垂径定理；AE=AC,AD=AB，且AB=AC,∴AE=AD,∴矩形EADO为正方形.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上.3.教师强调：①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况.1.教材P60第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课由折叠圆形入手，让学生猜想垂径定理并进一步推导论证，在整个过程中着重学习动手动脑和推理的能力，加深了对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情.2.4过不共线三点作圆1.理解、确定圆的条件及外接圆和外心的定义.2.掌握三角形外接圆的画法.3.经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆.4.在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中，进一步培养探究能力和动手能力，提高学习数学的兴趣.【教学重点】确定圆的条件及外接圆和外心的定义.【教学难点】任意三角形的外接圆的作法.一、情境导入，初步认识如图所示，点A,B,C表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村.这三个新村地理位置优越，空气清新，环境幽雅.花园式的建筑住宅让人心旷神怡，但安居后发现一个极大的现实问题：学生就读的学校离家太远，给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦.根据上面的实际情况，政府决定为这三个新村就近新建一所学校，让三个村到学校的距离相等，你能帮助他们为学校选址吗？二、思考探究，获取新知1.确定圆的条件活动1如何过一点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？活动2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？【教学说明】以上两个问题要求学生独立动手完成，让学生初步体会，已知一点和已知两点都不能确定一个圆，并帮助学生得出如下结论.（1）过平面内一个点A的圆，是以点A以外的任意一点为圆心，以这点到A的距离为半径的圆，这样的圆有无数个.（2）经过平面内两个点A,B的圆，是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点到A或B的距离为半径的圆.这样的圆有无数个.活动3如图，已知平面上不共线三点A、B、C，能否作一个圆，使它刚好都经过A,B,C三点.【教学说明】假设经过A、B、C三点的圆存在，圆心为O，则点O到A、B、C三点的距离相等，即OA=OB=OC，则点O位置如何确定？是否唯一确定？教师提示到此，让学生动手画圆，最后教师归纳出.（3）经过不在同一直线上的三个点A,B,C的圆，是以AB,BC,CA的垂直平分线的交点为圆心，以这一点到点A，点B或点C的距离为半径的圆，这样的圆只有一个.例1判断正误：（1）经过三点可以确定一个圆.（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点.（3）三角形的外心到三边的距离相等.（4）经过不在同一直线上的四点能作一个圆.【分析】经过不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；经过不在同一直线上的四点不一定能作一个圆.解：(1)×(2)√(3)×(4)×2.三角形的外接圆，三角形的外心.活动4经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？请动手画一画.【教学说明】因为△ABC的三个顶点不在同一条直线上，所以过这三个顶点可以作一个圆，并且只可以作一个圆，并且得出如下结论.1.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，它的圆心叫做三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点.2.三角形的外心到三角形三顶点的距离相等.强调：任意一个三角形都有唯一的一个外接圆，但对于一个圆来说，它却有无数个内接三角形.教学延伸：经过不在同一直线上的任意四点能确定一个圆吗？什么样的特殊四边形能确定一个圆？【教学说明】提示：不一定.对角互补的四边形一定可以确定一个圆.例2小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A,B,C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.(2)若在△ABC中，AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积.解：(1）用尺规作出两边的垂直平分线，作出图.⊙O即为所求的花坛的位置.(2)∵∠BAC=90°,AB=8米，AC=6米，∴BC=10米，∴△ABC外接圆的半径为5米.∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.三、运用新知，深化理解1.下列说法正确的是（）A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D.过四点A、B、C、D的圆不存在2.已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（）A.a=15,b=12,c=11B.a=5,b=12,c=12C.a=5,b=12,c=13D.a=5,b=12,c=143.下列说法正确的是（）A.过一点可以确定一个圆B.过两点可以确定一个圆C.过三点可以确定一个圆D.三角形一定有外接圆4.在一个圆中任意引两条平行直线，顺次连结它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A.菱形 B.等腰梯形 C.矩形 D.正方形【教学说明】通过练习巩固三角形的外心和外接圆的概念，强调过不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆.【答案】1.B 2.C 3.D 4.C四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾：过已知点作圆，条件一是确定圆心，二是确定半径，不在同一直线上的三个点确定一个圆.了解三角形的外接圆、外心等概念.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.教材P63第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课从生活实际需要引入，到学生动手画满足条件的圆、培养学生动手、动脑的习惯.在动手画圆的过程中层层深化，得出新知识.加深了学生对新知的认识，并运用新知解决实际问题.体验应用知识的快感，以此激发学习数学的兴趣.2.5直线与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系1.理解直线与圆相交、相切、相离的概念.2.会根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系.3.经历点、直线与圆的位置关系的探索过程，让我们了解位置关系与数量的相互转化思想，发展抽象思维能力.4.教学过程中让我们从不同的角度认识问题，采用不同的方法与知识解决问题，让我们在解决问题的过程中，学会自主探究与合作、讨论、交流，感受问题解法的多样性，思维的灵活性与合理性.【教学重点】判断直线与圆的位置关系.【教学难点】理解圆心到直线的距离.一、情境导入，初步认识活动1学生口答，点与圆的位置关系三个对应等价是什么？学生回答或展示：【教学说明】设⊙O的半径为r，点P到圆心距离OP=d，则有：点P在⊙O外d＞r，点P在⊙O上d=r，点P在⊙O内d＜r.二、思考探究，获取新知探究1直线与圆的位置关系活动2前面讲了点和圆的位置关系，如果把这个点改为直线l呢？它是否和圆还有这三种关系呢？学生操作：固定一个圆，按三角尺的边缘运动.如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？【教学说明】如图所示：如上图1所示，直线l和圆有两个公共点，叫直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线.如上图2所示，直线l和圆只有一个公共点，叫直线与圆相切，这条直线叫圆的切线，这个点叫做切点.如上图3所示，直线l和圆没有公共点，叫这条直线与圆相离.注：以上是从直线与圆的公共点的个数来说明直线和圆的位置关系的，还有其它的方法来说明直线与圆的位置关系吗？看探究二.探究2直线与圆的位置关系的判定和性质活动3设⊙O半径为r，直线l到圆心O的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来，根据d与r的大小关系，你能确定直线与圆的位置关系吗？同学们分组讨论下：学生代表回答：【教学说明】直线与⊙O相交d＜r直线与⊙O相切d=r直线与⊙O相离d＞r注：1.这是从圆心到直线的距离大小来说明直线与圆的三种位置关系的.2.以上两种不同的角度来说明直线与圆的位置关系中，在今后的证明中以第二种居多.三、典例精析，掌握新知例1见教材P65例1【分析】过O作OD⊥CA于D点，在Rt△COD中，∠C=30°.∴OD=OC=3.∴圆心到直线CA的距离d=3cm，再分别对（1）（2）（3）中的r与d进行比较，即可判定⊙O与CA的关系.例2如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4.若以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围？【分析】此题中以r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，此时要注意相切和相交两种情形，由于相交有两个交点但受线段AB的限制，也有可能只有一个交点，提示后让学生自主解答.答案：r=2.4或3＜r≤4.四、运用新知，深化理解1.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定2.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O只有一个公共点，则d应满足的条件是（）A.d=3 B.d≤3 C.d＜3 D.d＞33.已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP=3，则直线l与⊙O的位置关系是_____.4.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm，以C为圆心，r为半径作圆.若直线AB与⊙C:(1)相交，则r____;(2)相切，则r____;(3)相离，则____＜r＜_____.5.如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm.（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB所在直线与⊙C相切？（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与AB所在直线分别有怎样的位置关系？【教学说明】要判断直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离d，再与圆的半径进行比较，要熟练掌握三个对应等式.【答案】1.A 2.A 3.相交或相切 4.＞ = 0 5.解：（1）过点C作AB的垂线段CD.∵AC=4,AB=8,∠C=90°,∴BC=4,又CD·AB=AC·BC，∴CD=2，∴当半径长为2cm时，AB与⊙C相切.(2)d=2cm，当r=2cm时d＞r,⊙C与AB相离；当r=4cm时，d＜r,⊙C与AB相交.五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师强调：①直线和圆相交、割线、直线和圆相切、切点、直线和圆相离等概念.②设⊙O半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d＜r直线l与⊙O相切d=r直线l与⊙O相离d＞r1.教材P65第1题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课由前面学过的点和圆的三种位置关系引入，让学生动手操作直尺和固定的圆之间有何关系，用类比的思路导入新课、学生易接受且容易操作和容易得到结论.最后用所得到的结论去解决一些实际问题.培养学生动手、动脑和解决问题的能力，激发他们求知的欲望.2.5.2圆的切线第1课时切线的判定1.理解并掌握圆的切线判定定理，能初步运用它解决有关问题.2.通过对圆的切线判定定理和判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力.3.通过学生自己的实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.【教学重点】圆的切线的判定定理.【教学难点】圆的切线的判定定理的应用.一、情境导入，初步认识同学们，一辆汽车在一条笔直平坦的道路上行驶.如果把车轮看成圆，把路看成一条直线，这个情形相当于直线和圆相切的情况.再比如，你在下雨天转动湿的雨伞，你会发现水珠沿直线飞出，如果把雨伞看成一个圆，则水珠飞出的直线也是圆的切线，那么如何判定一条直线是圆的切线呢？二、思考探究，获取新知1.切线的判定（1）提问：如图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，①随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？②当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）探究：讨论直径与经过直径端点的直线所形成的∠α来得到切线的判定.可通过多媒体演示∠α的大小与圆心O到直线的距离的大小关系，让学生用自己的语言描述直线与⊙O相切的条件.（3）总结：教师强调一条直线是圆的切线必须同时满足下列两个条件：①经过半径外端，②垂直于这条半径，这两个条件缺一不可.2.切线的画法：教师引导学生一起画圆的切线，完成教材P67做一做.【教学说明】让每一位学生动手画圆的切线，感知一条直线是圆的切线须满足的两个条件，加深对切线判定的理解.例1教材P67例2【教学说明】该例展示了判定圆的切线的一种方法，即已知直线和圆有公共点时，要证明该直线是圆的切线，常用证明方法是：连接圆心