专题11等差数列性质及应用归类（原卷版）

专题11等差数列性质及应用归类一、巩固提升练【题型一】等差数列定义【题型二】等差数列“高斯计巧”【题型三】双数列等差中项比值型【题型四】奇数项与偶数项和型【题型五】等差数列单调性与最值【题型六】等差数列正负型不等式判断【题型七】等差数列恒成立求参【题型八】跳项型等差数列【题型九】整数型比值【题型十】范围型【题型十一】绝对值型求和【题型十二】等差数列与三角函数综合二、能力培优练热点好题归纳【题型一】等差数列定义知识点与技巧：等差数列常用结论若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有：(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak；(2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列；(3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列；(4)数列{eq\f(Sn,n)}是公差为eq\f(d,2)的等差数列，其通项公式eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))；1.（2023·河北唐山·模拟）设甲：为等比数列；乙：为等比数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.（2022上·陕西咸阳·高二统考期中）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（

）A．数列，，，…，…为等差数列B．数列，，，…，，…为等差数列C．数列为等差数列D．数列为等差数列3.（2019·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；②若，则数列是等差数列；③若（b、c是常量），则数列是等差数列．其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4.（2022·高二课时练习）若等差数列的公差为d，（c为常数且），则（

）A．数列是公差为d的等差数列B．数列是公差为cd的等差数列C．数列是首项为c的等差数列D．数列不是等差数列5.（2022高二课时练习）下列说法中正确的是（

）A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列，D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列【题型二】等差数列“高斯技巧”知识点与技巧：等差数列下标公式性质，称为“高斯技巧”。若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak；1.（2023春·新疆喀什·高二校考期中）已知等差数列的前n项和，若，则（

）A．150 B．160 C．170 D．1802.（2023春·河南新乡·高二校考阶段练习）数列为等差数列，若，则（

）A．8 B．9 C．10 D．123.（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）等差数列的前项和为，若，则（

）A．18 B．12 C．9 D．64.（2023春·广东深圳·高二校联考期中）若前项和为的等差数列满足，则.5.（2022秋·上海奉贤·高二校考期中）已知平面内有四点，且任意三点不共线，点为平面外一点，数列为等差数列，其前项和为，若，则.【题型三】双数列等差中项比值型知识点与技巧：双等差数列等差中项比值型性质：、均为等差数列且其前项和为、则1.（2023春·高二课时练习）等差数列和的前项和分别记为与，若，则（）A． B． C． D．2.（2022秋·宁夏银川·高二校考期中）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（

）A． B． C． D．3.（2022春·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（

）A． B． C． D．4.（2022·高二课时练习）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（

）A． B． C． D．5.（2021秋·河南驻马店·高二校联考期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（）A． B． C． D．15【题型四】奇数项与偶数项和型知识点与技巧：含项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为1.（2023春·高二课时练习）已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（

）A．300 B．298 C．296 D．2942.（2021春·上海黄浦·高一上海市大同中学阶段练习）已知某数列前项之和为，且前个偶数列的和为，则前个奇数项的和为（

）A． B． C． D．3.（2022·陕西·高二练习）等差数列共有项，其中，所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300.则的值为.A．30 B．31 C．60 D．614.（2023·全国·高二专题练习）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是（

）A． B． C． D．5.（2022·高二课时练习）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是A． B． C． D．【题型五】等差数列单调性与最值知识点与技巧：在处理等差数列的前项和的最值，从以下几方面思考：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和(A、B为常数)看作关于项数n的二次函数，根据二次函数的性质求最值．1.（2023·全国·高二专题练习）设等差数列的前n项和为，若，，，则当满足成立时，n的最小值为.2.（2023秋·高二课时练习）已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：，对于以下几个结论：①数列是递减数列；②数列是递减数列；③数列的最大项是；④数列的最小的正数是．其中正确的序号是．3.（2022·全国·高二专题练习）等差数列满足：，则其公差的取值范围为.4.（2020·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考一模）已知下列四个命题：（1）等差数列一定是单调数列（2）等差数列的前项和构成的数列一定不是单调数列（3）已知等比数列的公比为，若,则数列是单调递增数列（4）记等差数列的前项和为，若，则数列的最大值一定在处取到.其中错误的有（填写所有错误的命题的序号）5.（2023·全国·高二专题练习）设公差为的等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为.【题型六】等差数列正负型不等式判断知识点与技巧：在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化：①若，当时，则当且仅当最大；②若，当时，则当且仅当最小；③若最大，则.1.（2023秋·新疆喀什·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A． B．C．数列是递增数列 D．2.（2022·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，若，，下列为真命题的序号为（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．②④ D．③④3.（2023·高二课时练习）等差数列的前项和为，若，，，则下列结论错误的是（

）A． B．C．数列是递减数列 D．4.（2023·全国·高二专题练习）已知数列为等差数列，公差为d，为其前n项和，若满足，给出下列说法：①；②；③；④当且仅当时，取得最大值．其中正确说法的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45.（2023·全国·高二专题练习）设等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【题型七】等差数列恒成立求参1.已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．52.设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（

）A． B． C． D．3.首项为正数的递减等差数列的前项和为，且对任意项序数，总存在正整数，满足，则的最小值为______．4.已知正项数列满足，且，其中为数列的前项和，若实数使得不等式恒成立，则实数的最大值是________.5.已知是首项不为零的等差数列，若是与无关的常数，则______.【题型八】跳项型等差数列1..知数列满足,,记,则数列的前n项和为（

）A． B． C． D．2.已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有200项，则它们的公共项的个数有________．3.等差数列中，，，则其公差的值为（

）A． B． C． D．4.将数列与的公共项从小到大排列得数列，则______.5.已知数列对任意的有，若,则_______.【题型九】整数型比值1.已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．72.已知等差数列和的前n项和分别为和，若，则使得为整数的正整数n共有（

）个A．3 B．4 C．5 D．63.已知两个等差数列，的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．64.已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是A．2 B．3 C．4 D．55.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是A．2 B．3 C．4 D．5【题型十】范围型1.在等差数列中，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2.如果a1，a2，，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么（

）A． B．C． D．3.已知等差数列满足，若，则k的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．114.已知等差数列满足，，，若对任意正整数，恒有，则正整数的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．75.若是等差数列，首项，则使成立的最大自然数n是.A．20 B．37 C．38 D．40【题型十一】绝对值型求和1.已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋＋|a6|＝（

）A．9 B．15 C．18 D．302.设等差数列的通项公式为，且，则正整数m的最大值是A．4 B．5 C．6 D．73.已知数列的通项公式为，，则其前项的和为______.吉林省长春市东北师大附中、黑龙江省大庆实验中学2022届高二联合考试数学试题4.已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________5.等差数列，满足，则（）A．的最大值为50 B．的最小值为50C．的最大值为51 D．的最小值为51【题型十二】等差数列与三角函数综合1..设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（

）A． B．C． D．2.已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前项和为（）A．2017 B．﹣2017 C．0 D．13..数列满足，则数列的前100项和为__________．4.等差数列的前项和为，且，，则________.5.设数列是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的总有两个不同的根，则数列的通项公式为_________.培优练1.．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.（2016·山西·统考二模）等差数列的前项和为，且，，则.3.（2022·全国·高二假期作业）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C．2 D．34.（2011春·江西吉安·高一阶段练习）等差数列共有项，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则的值为（）A．30 B．31 C．60 D．615.（2021·高二课时练习）已知{an}是等差数列，d为其公差，Sn是其前n项和，若只有S4是{Sn}中的最小项，则可得出的结论中正确的是．①d>0

②a4<0

③a5>0

④S7<0

⑤S8>06.（2022·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，若数列满足，则m＝（

）A．9 B．10 C．19 D．207.（2023·四川自贡·统考）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（

）①为的最小值

②

③，

④为的最小值A．1 B．2