数值计算课后习题答案(全)

习题解答

1.取3.14,3.15,竺，丝作林的近似值求各自的勉褒，相谟差和有麒字的彳谈。

1113

分析：求弱羲的方法是按定底接算。求相谟差的T昉法是先求出触霆再按定式

计窠注意，不应求相诺。有效数字位数可以根据定来求，即先由劫逐确定

近似数的跑诺不超避一位的半个隹，再确定有效数的末位是哪一位，进步确定有效数字和有

效数位。有了定理2后，可以根据定理2更裁地解答。根据定理2,首先要将数著学想形

式，然后解答。

解：(1)触霆：

e(x)=TT-3.14=3.14159265---3.14=0.00159--=0.00160

相耀：

e(x)0.00163

e(x)=-------=------------0.51X10-

x3.14

有效数字：

因的=3.14159265…=0.314159265…X10,3.14=0.314x10,m=1o

而TT-3.14=3.14159265---3.14=0.00159---

所以|TT-3.14|=0.00159…40.005=0.5x101x-=1x;

-2=1010

一2=22

所以，3.14作优的近似值3个有效数字。

(2)绝遂:

e(x)=TT-3.15=3.14159265…-3.14=-0.008407--=-0.0085o

相塞:=----=--------=_x~

e(x)0.00852

e(x)0.2710

x3.15

有效数字：

因的=3.14159265…=0.314159265…xW,3.15=0.315x10,m=1o

而TT-3.15=3.14159265…-3.15=-0.008407---x-二一、

11

所以|TT-3.15|=0.008407........<0.05=0,5x101,2

-1-1010

-1=22

所以于近似值2•个有效数字。=-…

(3)"误:

22

e(x)________-3.14159265_#1428571430.0012644930.0013

—

相耀：

e(x)0.00133

e(x)0.4110

X22

7

-------=X

有效数字：

因的=3.14159265…=0.314159265…因0,

22

3.1428571430.314285714310,m=1o

7

而7T一—=3.14159265…一3.142857143=-0.001264493…

7

所以

22

7T一一=3.14159265・•・-3.142857143|=0.001264493・・•<0.005

7

11

=XT=—XT=—X1

0.5101010

22

所以，络作技的近似植3个有效数字。

7

(4)宛误：

=五一355=***—=——

ex相耀:

()_3.141592653.141592920.00000027050.000000271

=-----3=----------------------------、—

e(x)0.0000002717

e(x)0.86310

X355

113

有效数字：

丽13.14159265s=0.314159265--•*10

355

-3.141&92920.31415929210,o…

113

355

而

3.141592653.141592920.0000002705

卜H3=|…-I=…4

所以

=355-=-x-=-x

3.141592653.141592920.00000027050.0000005

113

—

11

6617

0.5101010

22

mi355

所以，作触）近似植7个有效数字。

113

2、用四舍五入原陶出下列各数的具有五位有效数字的近似数。

346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300

分析：本题阪指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义相关数位上的数字都是有

效数字。解答方法第,直接写出就可以，不需要也不蹒珍谶（化科学数法形式）

解：346.7854=346.79,

7.000009=7.0000,

0.0001324580=0.00013246,

0.600300=0.60030o

指理：===

3、下列看■数都是淮庵数进四舍五入后得到一的近似数，避锢出他的她差限和相谈

差限和有效数字的位数。

XXXXO

10.0315,20.3015,331.50,45000

分析：首先，本题准确数未知，因此触误限根据四舍五入觐确定。其次，造先求

绝虐艮再求相强差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定现以直接得出。

2

解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是

8(x)=0.00005,g(x)=0.00005,£(x)=0.005,g(x)=0.5

1234

由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是

s=000005.

(x)0.16%,

k£x_0.0315〜

O=、

(x)0.00005

6(x)=-——=---------x0.02%,

2

x0.3015

2

6=-(5rr=0W5-85

(x)0.002%,

3

(x)0.5

4

(x)0.01%.

-x<5000

4

有效数/旃有3位=4位、4位、4位。

4.计算_W的近睡二其相对岁差不超过0.1%。

解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1%，则

1.!n_

10<0.1%'

2a

1

而3xio工，显然a，此时，

13

11，

f1n1n

，ieio0.1%

2a23

X

即；L\"

b1010

也即610°Io"

所以，n=4。

此时，=103.162。=_=xx=X

5、在让算机数系F(10,4,-77Z7)_中，对为0.14281X与x20覆4159=10।，试求它们的机

器浮点数fl(x)(i1,2)及其相对误差。

।

XX

=---------------恐=-----------------%—

解：X-X

0.14281o\e(fl(x))xfl(x)0.142811030.1428103o.oooo1io3,其相对误

fl(X)

1111

=0:3142w\e(fl(x))1Q1(0.3加it)1)t).00tJ411

fl(X)xxfl”-)0.31415510

2222

差分另惺

3

0.00001100.00004110

e0.007%,e0.013%。

132

0.1428100.314210

6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数

42

xyz，试按(xy)z,x(yz)两种算法计算

0.2337125810,0.3367842910,0.3367781110

xyz的值，并将结果与精确结果比较。

3

解：

+++2.2

fl((xy)z)=(0.23371258-10"0.33678429■10)-0.3367781110

=X2+X2_X2

(0.00000023100.3367842910)0.3367781110

-

=X2X2

0.33678452100.3367781110

=X2

0.050006^1J0,.

一十X一X

旦(x(yz))x0.2337125810X(0.33678429100.3367781110)

=0.23371258X10=0.000006182

x10

=0.00000023X1Q22

0.0000061810

2

0.0000064110

++=X-+X-X

精确计算得：

=X>X2-X2

XyZ0.23371258100.33678429100.3367781110

=*2一*22

(0.00000023371258100.3367842910)0.3367781110

1020.336778111(/

0.33678452371258

2

0.000064137125810

第一种算法按从小到大计算，但出现了两个数量级相差较大的数相加，容易出现大数吃小数

而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水

平是相同的。

***

—X=X=一X+<卜++

在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数

++42

Xyz，试按(xy)z,x(yz)两种算法计

0.2337125810,0.3367842910,0.3367781110

算xVz的值+拜将结果与精确结果此较。X--X

庚：x-+x__X

X—-X

22

a((xy)z)x(0.2337125810x0.3367842910)0.3367781110

222

=(0.00233713x100.3367842910)0.3367781110

2

0.3391214210，0.3367781110

++x-一十X一-X

-22

=0.0000339110./.33677811

X-矍X

=0.3367442x10-X

X—X

22

(yz))0.2337125810(0.33678429100.3367781110)

X

1Q2)

0.2337125810(0.00003368100.33677811

A2

0.23371258100.3367474210

22

0.00000023100.3367474210

2

0.3367471910

第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。

精确计算得：

4

42

X+y+z=023371258x10一+0.33678429x10--0.33677811x10

=0.000023371258+0.0033678429—33.677811

=0.003391214158—33.677811

=-33.674419785842

.X2

0.3367441978584210

显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。

7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算

+++++++

10.40.30.20.040.030.020.01

试比较所得结果。

解：从左到右计算得

+++++++

10.40.30.20.040.030.020.01

=X+X+X+X+X+X+X+X

0.1100.04100.03100.02100.00100.00100.00100.0010

=x

0.1910

=1.9

从右到先计靠卷+++

10.40.30.20.040.030.020.01

=+++++++

0.010.020.030.040.20.30.41

=xx:+x：+x:++++

=0.1+10+0.2+10+0.3100.4100.20.30.41

0.10.20.30.41

=x+

0.1101

=x+x

=0.1x100.110

0.210

2

从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。

8、对于有效数

X13.105,X20.00俣0.100估计下列算式的相对误差限

=++

X2

yxxx,yxxx,y

112321233Y

分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的

相对误差限采取先求每一个数的相对误舞艮再求和的方法。

解：因为X13.105,X0.001冷0.1郦是有效数，

£=82=£=

所以(x)0.0005,4)0.0005,x()0.0005

13

5==0==8=----------=

0.00050.00050.0005

（X?）++21£%，+&)+£=50%,Cx),0.5%

T3T=

3.1050.0010.100

(支)

则UXxj£+(x)_(x)0.0005---0-.0-0-0-5-0.0005二0.0015X一_

I++II一++I

(xxx)0.00150.0015

123

4.991040.05%

(XXX)

123

xxx3.1050.0010.1003.004

6(Xxx)=6(X)+6(X)+5(X)=0.16%+50%+0.5%=50.66%

123123

§—=&+6=+=

2

()(x)(x)50%0.5%50.5%

23

X

311=11=

9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确(其中x1表示X充分接近0，x1表示X

充分大)。-*

小1cosX

(4),x0x1

一」#且=;

1

(5)cotx,x(fix10

x

分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒展开的方法。

X

解：⑴InxInxIn1；

12

X

2

_+__

(2LT--+=-----一--------+-----

2

1+LX_1+x(1x)_

产下一一h~幻(干<2

2

2

X(X1X1)

或

6

X

2

x(x11)

⑷

:・•+七••

1cosX(2n)!

x

X

+（「）+

=m!(2n)i

x

2n1

xXX

n1

=一一「旷

2!4!(2n)!

2n

111112B

2n1

cotxXXX

xxx345(2n)!

2n

112B

2n9

xXx

3(2n)!

（B是我努利『数）

10、用4位三角函数表，怎样算才能保证1cos2有较高的精度？

解：根畔±

C。S2—2sin先叠表求由再计算出要求的结果精度较高。

256

11、利用^^^27.98家方程10

=+L、+£x的两个根，使它们至少具有4位有效数字。

解：

由方程的求根公式，本方程的根为

22

X56564562281

28783

1,222

因为78327.982，则

Xi287832827.98255.982

7

如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造成有效数字的减少，误

差增大。因此

根据韦达定理XX=＞在求出XE后这样计算X：

2

121155.982

11,

x2=**55.982=0.01786=0.1786x10

1

这样就保证了求出的根有四位有效数字。

12、试给出一种计算积分

1nx

I=elxedxn=

(0,1,2,3,...)

n

0

近似值的稳定算法。

==一-=一一

解：当n=0时，।e'x°e*dxe'ee'。

(1)1

I00

f=I=-

11

(edxee)°

*x1J=I-/

00

bb

对In运用分部积分法(=嬴uv'=嬴一J-="--J

由此得到带初值的递推关系式_=--

I1e1

0

J4J=+I1nl(n1,2,3,...)

nn1

1，这是逆向的递推公式，对।n的值作估计，有

由递推公式ln=1—nl"I(1

解得n1

-1n

"J2=

1nx1*ln1+

exedxeexdx

n

1

<

另有

11

1nx1n11

exedxexdxe

n

1

0

（取e的指数为最小值0，将e取作e=1作为常数即可简化公式）。

则J11

n1n1

那么，我们可以取其上下限的平均值作为其近似值。即取

8

11

=--------+

I+(e1)

02n1

可以看出，n越大，迭近似越精确地接近于准确值

(n越大，In的上限和下限船越接近，近仪随的度就越短，更似翘精确能越接近)

1

此时e…=1"…=Jlnn)e】ej,算是想的。

*-In*-I=nn，In!

-1•।।eo|1=

实瓯，如果我弱求I9,可以先求出I2。，栩社的I9的瀑是比12。的差小得多的，而12。

的墨本身也并不大。就，建I社的19比直接算出来的精确得多。

习题解答

—X

1.用二分法求方程x3-2X2-4X-7=0在区间，4］内的根，精确到10-1°

3,即连不超过。°。

3-2X2-4X-7=0在区同,4］内的根，精确到10-3,即羲不超过

2

分析■:精确至『10=一=一=7与震不超过一3不同。

解：因郑)=-10V0,f(4)=9>0,所以，方程在区闸3,4］上有根。

由

baba43113

nnnn

22222

有2~：1000,又为。=1024>1000,

所以n：:11,即只需要二:分11次即可。

列表地F:

naibnXnf(Xn)的符号

1343.500-

23.50043.750+

33.5003.7503.625-

43.6253.7503.688+

53.6253.6883.657+

63.6253.6573.6414-

73.6253.6413.6334-

83.6253.6333.629-

93.6293.6333.631-

103.6313.6333.632+

113.6313.6323.632-

X

飞xi=3.632o

指出：

(1)注意精确度的不同表述。精确到10

，和墨不超过-3是不同的。

(2)在算程中按趣精度保留小数，最后两次算维相同。

如果算程中取4位小数，维取3位，则下表：

9

naibnXnf(Xn)的符号

1343.5000—

23.500043.7500+

33.50003.75003.6250—

43.62503.75003.6875+

53.62503.68753.6563+

63.62503.65633.6407+

73.62503.64073.6329+

83.62503.63293.6290—

93.62903.63293.6310—

103.63103.63293.6320+

113.63103.63203.6315—

(3)用秦九韶算法计算f(Xn)比较简单。

1*•求方程x2-4X-7=0的隔根区间。

3-2x

=3-2X__

解：令32

a、yxxx»

,24.7

=--=T-

贝Uy3x24x4(3x2)(x2)

——+—==-

1LZ2/

—'yxxxx时，有x,x2°

12

344(32)(2)0q

函数工良调区间列表分析如下L-

22

(F123)

(，)2(2,+8)

32

1+

/------------------1-XJ—■^0―

y

y149

------------<=—<27-----

-15

1492

因为yy，所以方程在区间(，2)上无根；

()一0,(2)1503

3一一2手

21492

因为y()，而函数在(，)上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无

03

327

根；

因为y(2)150，函数在(2,+oo)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，

而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。

所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。

2•证明1xsinx。在［0,1］内有一个根，使用二分法求误差不大于1。"的根，需要迭代多少次？

2

分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。

10

解：令f(x)=1_x—sinx)

因为f(0)=1-0-sin0=1>0,f(1)=1-1-sin1=-sin1<0'

则f(0)f(1)<0'

由零点定理*函数f(X)在零点区间有一个根。

由

b_ab_a1_0114

一<nn=----=---=—<-x—

x*x-10

nnnn

22222

有2

"10000>又为210=1024，23=8192<10000，214=16384>10000

所以n=15，即需要事分-书冬一=++_=

++

3•试用迭代公式X20X1'求方程X3X2X的根，要求精确到10

一kX'-210200

120

x2x10

kk

1