高考数学二轮复习 第二部分 专题四 立体几何 专题强化练十一 空间点、线、面的位置关系 理-人教版高三数学试题

专题强化练十一空间点、线、面的位置关系一、选择题1．(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面．故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．答案：A2．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC解析：如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案：C3．(2018·河南开封一模)在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A是假命题；对于B，设α∩β＝m，a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；对于C，b∥α或b在平面α内，故C是假命题；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题．答案：D4．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)解析：因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，则BE＝eq\r(5).因为AB⊥平面BB1C所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).所以异面直线AE与CD所成角的正切值为eq\f(\r(5),2).答案：C5．(2018·长沙雅礼中学联考)对于四面体A­BCD，有以下命题：①若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体A­BCD的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A­BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为eq\f(π,6).其中正确的命题序号是()A．①③B．③④C．①②③D．①③④解析：①正确，若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD在底面的射影相等，即与底面所成角相等；②不正确，如图1，点A在平面BCD的射影为点O，连接BO，CO，可得BO⊥CD，CO⊥BD，所以点O是△BCD的垂心；③正确，如图2，若AB⊥平面BCD，∠BCD＝90°，则四面体A­BCD的四个面均为直角三角形；④正确，设正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为eq\f(\r(6),3)，根据等体积公式eq\f(1,3)×S×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(1,3)×4×S×r，解得r＝eq\f(\r(6),12)，那么内切球的表面积S＝4πr2＝eq\f(π,6).故正确的命题是①③④.答案：D二、填空题6.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．解析：由eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，得MN∥BD.而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，所以MN∥平面BDC.答案：平行7．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E­ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析：因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，则VE­ABC＝eq\f(1,6)V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．答案：①②③8．直三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长都为1，AB＝BC＝1，且直线AB与平面BB1C1C所成的角为60°，则异面直线A1B，解析：由于ABC­A1B1C1为直三棱柱，则AB与平面BB1C1C依题设，AB＝BC＝1，∠ABC＝60°，则△ABC为正三角形．由AC∥A1C1，知∠BA1C1为异面直线A1B与由于A1C1＝1，A1B＝eq\r(2)，C1B＝eq\r(2).由余弦定理得：cos∠BA1C1eq\f(BAeq\o\al(2,1)＋A1Ceq\o\al(2,1)－BCeq\o\al(2,1),2BA1·A1C1)＝eq\f(2＋1－2,2×\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),4).答案：eq\f(\r(2),4)三、解答题9．(2018·湖南益阳模拟)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC，∠DAB＝∠ABP＝90°.(1)求证：AD⊥平面PAB；(2)求证：AB⊥PC；(3)若点E在棱PD上，且CE∥平面PAB，求eq\f(PE,PD)的值．(1)证明：因为∠DAB＝90°，所以AD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面PAB.(2)证明：由(1)知AD⊥AB，因为AD∥BC，所以BC⊥AB.又因为∠ABP＝90°，所以PB⊥AB.因为PB∩BC＝B，所以AB⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，所以AB⊥PC.(3)解：过E作EF∥AD交PA于F，连接BF.如图所示．因为AD∥BC，所以EF∥BC.所以E，F，B，C四点共面．又因为CE∥平面PAB，且CE⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面PAB＝BF，所以CE∥BF，所以四边形BCEF为平行四边形，所以EF＝BC＝eq\f(1,2)AD.在△PAD中，因为EF∥AD，所以eq\f(PE,PD)＝eq\f(EF,AD)＝eq\f(1,2)，即eq\f(PE,PD)＝eq\f(1,2).10．(2018·北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.(1)当AB＝2时，求三棱锥M­BCD的体积；(2)求证：BM⊥AD.(1)解：取AM的中点N，连接DN.如图所示．因为在矩形ABCD中，M为DC的中点，AB＝2AD，所以DM＝AD.又N为AM的中点，所以DN⊥AM.又因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，DN⊂平面ADM.所以DN⊥平面ABCM.因为AD＝1，所以DN＝eq\f(\r(2),2).又S△BCM＝eq\f(1,2)·CM·CB＝eq\f(1,2).所以V三棱锥M­BCD＝V三棱锥D­BCM＝eq\f(1,3)S△BCM×