计算流体力学 第2讲差分方法1

第二讲有限差分法（1）李明军湘潭大学数学与计算科学学院数学楼315；

52377625email:alimingjun@163.com计算流体力学讲义第2节差分方法理论基础第0节前言第1节有限差分法基本概念

1/31/2024第0节

前言(1)有限差分法研究背景(2)研究CFD的手段研究CFD的理论手段研究CFD的实验手段研究CFD的计算手段1/31/2024传统计算方法：

有限差分法，

有限体积法，有限元法，

谱方法（谱元法）等；最近发展的方法:

基于粒子的算法（格子-Boltzmann,BGK），无网格

优点缺点适用范围有限差分法简单成熟，可构造高精度格式处理复杂网格不够灵活相对简单外形的高精度计算有限体积法守恒性好，可处理复杂网格不易提高精度（二阶以上方法复杂）复杂外形的工程计算有限元法基于变分原理，守恒性好对于复杂方程处理困难多用于固体力学等谱方法精度高外形、边界条件简单简单外形的高精度计算LBM方法算法简单，可处理复杂外形精度不易提高复杂外形的工程计算(1)有限差分法研究背景3CopyrightbyLiMingjun

1/31/20244流体力学理论研究实验研究数值研究

计算流体力学（数值计算技术、计算方法研究）理论研究：格式推导、稳定性分析，精度及误差分析，……数值实验：采用实际问题考核方法的正确性数值研究：采用数值计算推导格式、考察精度/稳定性/分辨率……“计算流体力学”作为一个学科，其研究手段依然包括理论、实验及数值模拟。CopyrightbyLiMingjun

1/31/2024与的依赖关系5(2)研究CFD的手段例：Fourier分析线性系统：线性方程+线性格式

任意函数都可分解为三角函数的叠加差分系统(解差分方程)初始值数值解（特定时刻离散的函数值）记为：是差分算子，把离散函数（有限点列）映射为另一个离散函数

{vi}与{ui}的依赖关系线性系统，可大为简化波数空间单一的依赖关系：原理：

线性系统，输入一个波，只能输出一个波（且波数不变）。

非线性系统会产生多个谐波

线性差分系统：针对一个单波，研究经过差分系统后的变化就可以了解该系统。

Fourier误差分析；

Fourier稳定性分析理论分析的局限性：对于复杂系统（非线性方程、非线性格式）非常困难CopyrightbyLiMingjun研究CFD的理论手段

1/31/20246研究CFD的实验手段:例：精度分析思想：通过具体算例来研究（考核，分析…）差分方法典型的文章：提出方法+理论分析+算例验证差分离散理论方法，Taylor展开，求余项。对于复杂（如非线性）格式，难度大。实验方法，通过算例考核精度精确解:

为该离散函数的模计算误差:分析误差对网格步长的依赖关系斜率为精度的阶数（通常用最小二乘法计算）斜率为精度的阶数nCopyrightbyLiMingjun

常用的模：

1模：

2模：

无穷模：

1/31/20247常用的验证算例（“实验验证”）

考核方法通常找一些难度大的（条件苛刻、极端）的算例。否则，无法突出方法的优越性。1维算例：Shu-OsherSod激波管，方波/尖波……Shu-Osher问题的计算结果（Lietal.Init.J.Num.Fluid.2005)航空领域权威的考核算例——DPW标准计算模型CopyrightbyLiMingjun

2维算例：

前/后台阶、双马赫反射、二维Riemann问题、RT不稳定性问题、翼型扰流、圆柱绕流3维复杂算例：

各向同性湍流的DNS,槽道湍流的DNS,激波-边界层干扰的DNS

1/31/20248研究CFD的计算手段例：差分格式构造理论方法：手工推导系数（工作量大）

数值方法：通过数值手段推导系数数值求解，获得系数

格式优化；

通过数值计算手段进行Fourier分析;……CopyrightbyLiMingjun

1/31/2024第1节有限差分法基本原理1.差分方法的基本概念2.时间项的离散3.数值算例4*.复杂网格的处理方法1/31/20241.差分方法的基本概念离散点上利用Taylor展开，把微分转化成差分…j-2j-1jj+1…（等距网格）10CopyrightbyLiMingjun

1/31/2024多维问题

各方向独自离散；（时间同样考虑）比有限体积法计算量小；便于构造高阶格式；11CopyrightbyLiMingjun

1/31/2024基本概念：截断误差差分表达式（1阶）

精度（2阶）12CopyrightbyLiXinliang

a.差分表达式及截断误差

1/31/2024b.前差、后差、中心差…j-2j-1jj+1…前前差中心差后差其他：向前（后）偏心差分；后13CopyrightbyLiXinliang

1/31/2024差分方程如何确定精度？

1）理论方法，给出误差表达式

2）数值方法，给出误差对

的数值依赖关系微分方程差分方程截断误差：14CopyrightbyLiXinliang经差分离散后的方程，称为差分方程

1/31/2024d.差分方程的修正方程修正方程——差分方程准确逼近（无误差逼近）的方程差分方程截断误差微分方程=差分方程+截断误差

差分方程=微分方程-截断误差≡新的微分方程（修正方程）等价于修正方程15

1/31/2024通常要求：修正方程中不出现时间的高价导数项（便于进行空间分析）修正方程主导项：1阶；耗散型16

1/31/202417e.显格式及隐格式显格式：无需解方程组就可直接计算n+1层的值；隐格式：必须求解方程组才能计算n+1层的值.

1/31/2024e.守恒型差分格式基本思想：保证（整个区域）积分守恒律严格满足称为守恒型差分格式。其中：特点：消去了中间点上的值，只保留两端物理含义：只要边界上没有误差，总体积分方程不会有任何误差。如果是准确的，则也是准确的（假设边界条件没有误差）守恒性的例子：环形管道里的流动——总质量保持不变早期——极为强调守恒性

最近——重新认识18守恒型方程定义：对于上述守恒型方程，差分格式

1/31/2024关于守恒性格式的一些注解

注意：符号

与函数f在点的值无关！是j点周围几个点上f(或者u)值的函数，为一记号，CopyrightbyLiMingjun请勿理解为

点的值！（1）流通量形式

1/31/2024（2）常系数线性格式都是守恒的例如，差分格式：等价于其中20CopyrightbyLiMingjun

1/31/2024（3）

关于得到后，将j替换成j-1即可得到,无需单独计算！21CopyrightbyLiMingjun（白白增加计算量）

守恒方程+守恒格式=守恒解

1/31/202422f.传统型（非紧致）差分格式及紧致型差分格式传统型：

运用多个点函数值的组合逼近一点的导数…j-2j-1jj+1…紧致型：

多个点函数值的组合逼近多个点导数值的组合例：CopyrightbyLiMingjun

1/31/202423例：联立求解，多对角方程

追赶法求解（LU分解法）紧致格式：

同样的基架点，可构造更高阶格式CopyrightbyLiMingjun（最高）精度=自由参数个数-1（因为自由参数更多）

1/31/2024CopyrightbyLiXinliang24一些”差分算子”记号约定：

一阶偏导数二阶偏导数一阶精度前差上面两个算子表示的差分格式形式可以任意，包括线性/非线性、低阶/高阶、普通/紧致……二阶中心下面三个一阶偏导数的差分算子有固定含义。一阶精度后差…j-1jj+1…

1/31/20242.时间项的离散(1)直接离散法——把时间导数直接差分离散1阶Euler显格式1阶Euler隐格式2阶Crank-Nicolson格式守恒方程

1/31/2024(2)Runge-Kutta

格式这是目前最常使用的3步3阶TVD型R-K方法。推荐！时间离散算子为：

1/31/2024

在某一点进行Taylor展开，构造格式(3)时-空耦合离散n+1nj-1jj+1

(i)蛙跳格式n,j(ii)Lax-Wandrof格式

1/31/2024(iii)半隐错点格式(iv)MacCormack格式

1/31/2024CopyrightbyLiMingjun算例1：有限差分法求解抛物型方程

一维非定常热传导方程

初始条件

t=0,T=T0(x)

边界条件

既可以采用显示法也可以采用隐式法。显示格式:(a)(b)(c1)(c2)3.数值算例

1/31/2024CopyrightbyLiMingjunx=0x=L

1/31/2024CopyrightbyLiMingjun

1/31/2024CopyrightbyLiMingjun表1有限差分法计算结果(FDS)与解析解(AS)在x=0.3的对比数据(r=0.10)

1/31/2024CopyrightbyLiMingjun表2

有限差分法计算结果(FDS)与解析解(AS)在x=0.3的对比数据(r=0.50)

1/31/2024CopyrightbyLiMingjun表3在不同空间位置有限差分法计算的结果(r=1)

1/31/2024CopyrightbyLiMingjun(d1)(d2)在i=0点，式(a)表述为如果选用中心差分公式，式(d1)可写为

由式(e1)和式(e2)联立消掉得

(e1)(f1)注：考虑以下边界条件的情况

1/31/2024CopyrightbyLiMingjun在i=K点，式(a)表述为根据中心差分公式，在i=K点边界条件可写为

1/31/20244*.复杂网格的处理方法(1)一维情况：

非均匀网格…j-2j-1jj+1…非均匀网格[0,1]的均匀网格

将方程由物理空间变到计算空间（以x为自变量变为以为自变量）其中为已知函数37物理坐标

计算坐标

CopyrightbyLiMingjun…j-2j-1jj+1…方法1（常用）：

网格（Jacobian）变换

1/31/2024常用的一维坐标变换函数：38要求：(1)

坐标变换必须足够光滑，否则会降低精度

(2)网格间距变化要缓慢，否则会带来较大误差CopyrightbyLiMingjun网格非光滑、间距剧烈变化不会降低精度；随机网格都可保证精度

指数函数

双曲正切函数

1/31/2024方法2：

在非等距网格上直接构造差分格式…j-2j-1jj+1…原理：直接进行Taylor展开，构造格式格式系数是坐标（或网格间距）的函数解出系数注：系数随网格点(j)变化！39CopyrightbyLiMingjun

1/31/2024(2)二维/三维情况坐标变换

均匀的直角网格40控制方程

1/31/2024……三个方向共需计算9次导数，计算量大对流项可组合，求3次导数即可41

1/31/2024RAE2822翼型周围的网格42

1/31/2024第2节差分方法理论基础2.差分格式稳定性分析方法1.相容、收敛、稳定性与Lax等价定理1/31/2024

1）

相容性：2）收敛性：L2模：

模：44当时间与空间步长均趋近于0时，差分方程的解趋近于微分方程的解，则称差分方程的解收敛于原微分方程的解。注意！方程互相趋近解互相趋近（多值性、奇异性……）不一定等于只有连续函数才满足（根据Lax等价定理，只有稳定性条件满足的情况下，方程趋近才能保证解趋近）含义：方程趋近含义：解趋近（更强）分别为差分方程和微分方程的解1.相容、收敛、稳定性与Lax等价定理相似的例子：当差分方程中，时间与空间步长均趋近于0时，差分方程的截断误差也趋近于0，则称差