同济高数第6章课件第3节

同济高数第6章课件第3节引言知识点一：极限的定义与性质知识点二：函数的连续性知识点三：导数的概念与性质知识点四：微积分基本定理习题与解答contents目录CHAPTER引言01背景本节内容主要介绍了微积分中的极限概念，它是微积分学的基础，对于理解后续章节的内容至关重要。重要性极限概念是微积分学的核心，掌握好极限的概念和性质是学好微积分的关键。极限理论在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维和数学素养具有重要意义。本节内容的背景和重要性本节内容的结构和组织第一部分介绍极限的定义，包括数列的极限和函数的极限。第三部分介绍极限的运算，包括四则运算法则和复合函数的极限运算。本节内容分为三个部分：极限的定义、极限的性质和极限的运算。第二部分介绍极限的性质，包括唯一性、有界性、局部保号性等。CHAPTER知识点一：极限的定义与性质02极限的定义极限是描述函数在某一点附近的变化趋势的数学概念。对于函数$f(x)$，如果当$x$趋近于某个值$a$时，$f(x)$的值趋近于某个确定的数$L$，则称$L$为$f(x)$在点$a$处的极限。定义中的关键词趋近、确定、变化趋势。极限的定义唯一性一个函数的极限是唯一的，即对于同一个函数和同一个点，极限值是唯一的。有界性函数的极限值是有界的，即极限值不会无限大或无限小。局部有界性函数在某点附近的极限值存在，则该函数在该点附近是有界的。极限的性质03洛必达法则当分子和分母的极限都存在时，可以使用洛必达法则求取极限值。01代数法利用极限的四则运算法则和幂次运算法则进行计算。02夹逼法通过比较函数与夹逼函数在某点的极限值，从而得到原函数的极限值。极限的计算方法CHAPTER知识点二：函数的连续性03描述函数在某一点的连续性总结词如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。即，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则函数f在点x0处连续。详细描述连续性的定义详细描述1.连续函数在其定义域内是可导的。3.连续函数具有局部性质，即如果f在x0处连续，且lim(x→x0)g(x)=A，则g在x0处连续。2.如果一个函数在某一点的导数存在，则该函数在该点连续。总结词：描述连续函数的性质连续函数的性质总结词描述函数的间断点及其分类1.第一类间断点函数在该点的左右极限都存在，但不相等。包括跳跃间断点和可去间断点。2.第二类间断点函数在该点的左右极限至少有一个不存在。包括无穷间断点和振荡间断点。函数的间断点及其分类CHAPTER知识点三：导数的概念与性质04导数的定义总结词导数是函数在某一点的变化率，是函数在某一点切线的斜率。详细描述导数定义为函数在某一点附近无穷小增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于0时的极限，它反映了函数在某一点附近的变化趋势，即切线的斜率。总结词导数在几何上表示函数曲线在某一点的切线斜率。详细描述函数在某一点的导数即为该点处切线的斜率。导数越大，切线斜率越大，表示函数在该点附近增加得快；导数越小，切线斜率越小，表示函数在该点附近增加得慢。导数的几何意义导数的计算方法导数的计算方法包括基本初等函数的导数公式、复合函数求导法则和隐函数求导法则等。总结词基本初等函数的导数公式是计算导数的基础，包括常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数的导数公式。复合函数求导法则包括链式法则和乘积法则，用于计算由多个基本初等函数复合而成的复合函数的导数。隐函数求导法则用于计算由一个方程确定的函数的导数。详细描述CHAPTER知识点四：微积分基本定理05微积分基本定理的表述微积分基本定理：对于可导函数$f(x)$，其定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于$f(x)$的原函数$F(x)$在$[a,b]$区间的值差，即$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它建立了定积分与原函数之间的联系，为解决定积分问题提供了重要的方法和思路。微积分基本定理的应用通过微积分基本定理，可以直接求出某些函数的定积分值，特别是对于一些不易直接积分的函数，可以利用该定理转化为求原函数值差的形式。计算面积微积分基本定理可以用于计算平面图形的面积，通过求出函数与坐标轴围成的面积的定积分，得到该平面图形的面积。解决物理问题在物理问题中，微积分基本定理常常用于计算变力的做功、质点的位移等问题，通过将变力或位移分解为微小部分，再利用定积分进行求解。求定积分VS微积分基本定理的证明主要基于极限和连续函数的性质，通过构造原函数的差分形式，利用极限定理推导出定积分的计算公式。证明过程首先定义原函数$F(x)$为$f(x)$的不定积分，然后利用极限定理将定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$转化为$F(b)-F(a)$的形式，证明过程中需要验证极限的合法性以及等式的成立。证明思路微积分基本定理的证明CHAPTER习题与解答06求函数$f(x)=x^3-3x^2+4$的单调区间。题目1求函数$f(x)=ln(x^2+1)$的极值点。题目2求函数$f(x)=x^2-2x$在区间$(0,3)$的积分。题目3本节内容的习题题目1解析首先求导数$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)>0$，解得$x<0$或$x>2$；令$f'(x)<0$，解得$0<x<2$，因此单调增区间为$(-infty,0)$和$(2,+infty)$，单调减区间为$(0,2)$。题目2解析首先求导数$f'(x)=frac{2x}{x^2+1}$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$。在区间$(-infty,0)$，$f'(x)<0$，函数递减；在区间$(0,+infty)$，$f'(x)>0$，函数递增。因此，极小值点为$x=0$。题目3解析首先求原函数在区间$(0,3)$的积分值，由微积分基本定理可得$int_{0}^{3}(x^{2}-2x)dx=[frac{1}{3}x^{3