艺体生三角函数与解三角形高考数学百日突围

专题一三角函数与解三角形三角函数的图象和性质【背一背基础知识】1.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：，（2）商数关系：.2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限.3.两角和与差的三角函数：（1）和角：，，；（2）差角：，，；4.二倍角公式：，，.5.降幂公式：，，；6.辅助角公式：，其中由确定；7.三角函数的基本性质：函数正弦函数余弦函数图象定义域值域最值当时，当时，当时，当时，周期性周期函数，最小正周期周期函数，最小正周期奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于轴对称单调性增区间减区间增区间减区间对称中心对称轴8.三角函数图像变换（1）平移变换：（2）周期变换：（3）振幅变换：【讲一讲基本技能】1.必备技能：①在求解三角函数的基本性质时，首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角公式将三角函数解析式化为或，然后利用整体法并借助正弦函数或余弦函数进行求解；在求函数在上的最值时，首先求出的取值范围，然后作出正弦函数在区间的图象，确定的最值，然后代入解析式进行求解.②在解已知三角函数图像求解析式问题时，常有两种思路，思路1：先根据图像求出周期和振幅，利用周期公式求出，再由特殊点（常用最值点）求出；思路2：先根据图像求出振幅，再利用“五点点作图法”列出关于的方程，即可求出.③在处理图像变换问题时，先把函数化成系数为正同名三角函数，再利用图像变换知识解题，注意用“加左减右，加上减下”判定平移方向，先平移后周期变换和先周期变换后平移平移单位不同.2.典型例题例1【2017课标3，文6】函数的最大值为（）A． B．1 C． D．【答案】A例2【2017北京，文16】已知函数.（I）f(x)的最小正周期；（II）求证：当时，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题解析：（Ⅰ）.所以的最小正周期.（Ⅱ）因为，所以.所以.所以当时，.【练一练趁热打铁】1.已知函数为奇函数，且函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.（1）求函数的解析式.（2）若，为第二象限角，求的值.【答案】（1）；（2）．2.【2018届湖北省武汉市高三二月调研】已知函数fx=sin2x+φ+3（1）求φ的值；（2）将y=fx的图象向左平移π3个单位后得到y=gx【答案】(1)φ=2π3；(2)【解析】试题分析：（1）利用辅助角公式把原函数化为2sin2x+φ+π3，再利用对称轴为x=π4得到φ=2π3或φ=-π3解析：（1）fx=sin2x+φ∵fx=fπ2-x，则y=fx图象关于x=π4对称，∴在x=π4时，在φ=2π3时，∴φ在φ=-π3时，f因此，φ=（2）由（1）可知fx=-2sin2x，将fx=-2解三角形【背一背基础知识】1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等（设的内角、、所对的边分别为、、，则（其中为的外接圆的半径长）.变式：（1），，；（2），，.2.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍，即，，.变式：，，；3.面积公式：，适用条件：两边及其夹角.【讲一讲基本技能】1.必备技能：利用正弦定理与余弦定理解三角形，要根据题中边角的已知条件类型选择合适的定理求解.在已知条件中，若等式或分式中边的次数相同或正弦值的次数相等时，可以利用正弦定理将边与对应的角的正弦值进行互化，结合余弦定理或三角变换等知识进行计算；已知条件中，若给定的是三条边的平方关系或或两边的和，一般选择余弦定理进行求解；在已知三角形给定的条件中，若给定的条件是一边与其对角以及另外一边，一般选择余弦定理求解三角形较为方便；求三角形的面积时，要选择一个角及其两条邻边，围绕这三个元素来进行计算.2.典型例题例1【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.【答案】75°【解析】由题意：，即，结合可得，则.例2【2016高考新课标1卷】的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知（=1\*ROMANI）求C；（=2\*ROMANII）若的面积为,求的周长．【答案】（I）（II）【解析】（I）由已知及正弦定理得,,即．故．可得,所以．（II）由已知,．又,所以．由已知及余弦定理得,．故,从而．所以的周长为．【温馨提醒】解三角形问题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理、余弦定理实现边角转化；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.【练一练趁热打铁】1.【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A． B． C． D．【答案】B【解析】2.【2016高考四川】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（=2\*ROMANII）若，求.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.【解析】（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．代入+=中，有+=，变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)．在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC，所以sinAsinB=sinC．（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有cosA==．所以sinA==．由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故．解答题（12*5=60分）1．【2018届广东省江门市高三3月模拟（一模）】在△ABC中，A=π3，（Ⅰ）求tanB；（Ⅱ）△ABC的面积S=1534，求△ABC的边【答案】(Ⅰ)53；(Ⅱ)19【解析】试题分析：（Ⅰ）由A=π3得C=2π3-B，所以sinC=32cosB+12sin⁡B，再由3sinB=5sinC可得12sin⁡B=532cosB试题解析：（Ⅰ）由A=π3得，∴sinC=sin∵3sinB=5sinC，∴3sinB=5∴12∴tanB=53（Ⅱ）设角A、B、C所对边的长分别为a、b、c由3sinB=5sinC和正弦定理得3b=5c，又S=1∴bc=15解方程组3b=5cbc=15，得b=5在△ABC中，由余弦定理得a2∴a=192．【2018届甘肃省高三第一次诊断性考试】ΔABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若m=(cosB,cosC)，n=(2a+c,b)，且m⊥n.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=7，a+c=8，求ΔABC的面积.【答案】（1）B=2π3【解析】试题分析：（1）根据题中向量垂直得到cosB⋅(2a+c)+cosC⋅b=0，再由正弦定理得到-sin(B+C)=-sinA，从而得到角B；（2）由余弦定理得到49=a2+c2+ac，因为a+c=8解析：（Ⅰ）∵m⊥n，∴cosB⋅(2a+c)+cosC⋅b=0，∴cosB⋅(2sinA+sinC)+cosC⋅sinB=0∴2cosBsinA=-(sinC⋅cosB+cosC⋅sinB)=-sin(B+C)=-sinA，∴cosB=-12，∴（Ⅱ）根据余弦定理可知b2=a又因为a+c=8，∴(a+c)2=64，∴a2则S=13.设函数.（1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；（2）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.【答案】（1）最小值为，取最小值时的的集合为；（2）详见解析.【解析】（1），故当，即当，函数取最小值，即，此时，函数取最小值时的取值集合为；（2）解法一：先将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，然后再将函数的图象的纵坐标伸长为原来的倍即可得到函数的图象；解法二：先将函数的图象的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，然后再将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象.4.【2018届浙江省嵊州市高三第一学期期末】已知函数，（1）求；（2）求的最大值与最小值.【答案】（1）1；（2）最大值；最小值.【解析】试题分析：（1）将代入函数解析式，利用特殊角的三角函数求解即可；（2）利用两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简，由，求得，结合正弦函数的图象，利用正弦函数的单调性可得的最大值与最小值.试题解析：（1），所以（2）.因为，所以.又因为在区间上是递增，在区间上递减.所以，当，即时，