7(3)偏导数与全微分

第三节偏导数与全微分偏导数全微分连续性与可微性,偏导数与可微性小结思考题作业partialderivative第八章多元函数微分法及其应用totaldifferentiation1整理ppt一、偏导数1.定义存在,内有定义，函数有相应的增量如果极限那么称此极限为函数偏导数与全微分(称为关于x的偏增量).记为对x的偏导数,2整理ppt记为或同理,可定义函数为记为或对x的偏导数,对y的偏导数,偏导数与全微分3整理ppt那么这个偏导数仍是的二元函数,它就称为函数如果函数对自变量x的偏导函数(简称偏导数),记作或同理,可定义函数对自变量y的偏导函数(简称偏导数),记作或在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,偏导数与全微分4整理ppt结论:

偏导数与全微分5整理ppt偏导数的概念可以推广到二元以上函数设那么求多元函数对某个变元的偏导数时,作关于该变元的一元函数来求导即可.只要把其他变元当作常量,而把函数当偏导数与全微分6整理ppt求多元函数的偏导数例求的偏导数.利用一元函数只需将y的求导法对x求导即可.看作常量,并不需要新的方法,例求的偏导数.偏导数与全微分7整理ppt三个偏导数.解

求某一点的偏导数时,例变为一元函数,代入,在点(1,0,2)处的可将其它变量的值再求导,常常较简单.偏导数与全微分8整理ppt证

偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商.例偏导数与全微分9整理ppt2、偏导数的几何意义设二元函数在点有如图,为曲面偏导数.上的一点,过点作平面此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为由于偏导数等于一元函数的导数故由一元函数导数的几何意义偏导数与全微分10整理ppt可知:偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对x轴的斜率;偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对y轴的斜率.偏导数与全微分11整理ppt思考曲线在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角是多少?解在点(2,4,5)处的切线与y轴正向所成的倾角是多少?思考曲线偏导数与全微分12整理ppt解例按定义得偏导数与全微分13整理ppt注

但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.按定义得

由以上计算可知,

在点

处可偏导,偏导数与全微分14整理ppt偏导数存在与连续的关系？一元函数中在某点可导

连续多元函数中在某点偏导数存在

连续不了连续性.偏导数都存在,函数未必有极限,更保证偏导数与全微分15整理ppt

x

=

x0上的值有关,而与(x0,y0)邻域内其他点上所以偏导数存在不能保证函数说明因偏导数fx(x0,y0)仅与函数f(x,y)在y=

y0上的值有关,偏导数f

y(x0,y0)仅与函数f(x,y)在的函数值无关,有极限.偏导数与全微分16整理ppt

二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),f

y(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的().A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件D偏导数与全微分17整理ppt二、全微分函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时偏导数与全微分18整理ppt先来介绍全增量的概念为了引进全微分的定义,全增量.域内有定义,函数取得的增量全增量.偏导数与全微分19整理ppt全微分的定义处的全微分.可表示为可微分,在点那么称函数称为函数记作即函数假设在某平面区域D内处处可微时,那么称可微函数.这函数在D内的而不依赖于偏导数与全微分20整理ppt可微与偏导数存在有何关系呢？?微分系数注全微分有类似一元函数微分的A=?B=?两个性质:全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的线性函数;高阶无穷小.偏导数与全微分21整理ppt类似一元函数的局部线性化,有二元函数的局部线性化.设函数表示一个平面即,二元函数偏导数与全微分22整理ppt三、连续性与可微性,

偏导数与可微性多元函数在某点可微是否保证事实上,显然,结论:由全微分的定义有可得多元函数可微必连续

连续的定义?不连续的函数函数在该点连续如果函数可微分,那么函数在该点连续.一定是不可微的.1.可微与连续偏导数与全微分23整理ppt(1).可微分的必要条件由下面的定理来答复：(可微必偏导存在).定理1(可微必要条件)如果函数可微分,且函数的全微分为2、可微的条件偏导数与全微分24整理ppt证总成立,同理可得上式仍成立,此时的某个邻域如果函数可微分,可微分,偏导数与全微分25整理ppt多元函数的各偏导数存在全微分存在．下面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在微分存在．?回忆:一元函数的可导与可微的关系?由定理1知偏导数与全微分结论：26整理ppt如，但两个偏导数都存在函数却不一定可微.(由偏导数定义可求得)偏导数与全微分27整理ppt那么说明它不能随着而趋于0,因此,如果考虑点沿直线趋近于偏导数与全微分28整理ppt说明

各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.这也是一元函数推广到多元函数出现的又函数是可微分的.多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.一个原那么区别.现再假定函数的那么可证明各个偏导数连续,偏导数与全微分29整理ppt(2).可微分的充分条件

*

证在该点的某一邻域内必存在的意思.定理2(今后常这样理解).用拉氏定理(微分充分条件)假定偏导数在点P(x,y)连续,就含有偏导数偏导数偏导数与全微分30整理ppt偏导数与全微分31整理ppt同理偏导数与全微分32整理ppt在原点(0,0)可微.并非必要条件.如事实上,注定理2的条件(即两个偏导数在点连续)可微的充分仅是函数在点条件,同样,偏导数与全微分33整理ppt在原点(0,0)可微.于是,偏导数与全微分34整理ppt即函数f(x,y)在原点(0,0)可微.但是,事实上,偏导数在原点(0,0)不连续.所以,特别是

不存在.即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.极限fy(x,y)在原点(0,0)也不连续.同理可证,函数在一点可微,此题说明:在这点偏导数不一定连续.偏导数与全微分35整理ppt特别,当时,同样当时因此,如果函数的微分存在,常写成偏导数与全微分36整理ppt记全微分为通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况.习惯上,称为二元函数的微分符合叠加原理．如三元函数那么偏导数与全微分37整理ppt解例计算函数在点的全微分.所以偏导数与全微分38整理ppt答案练习偏导数与全微分39整理ppt解例计算的近似值.利用函数在点处的可微性,可得偏导数与全微分40整理ppt考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:选择题①f(x,y)在点(x0,

y0)处连续,②f(x,y)在点(x0,

y0)处的两个偏导数连续,③f(x,y)在点(x0,

y0)处可微,④f(x,y)在点(x0,

y0)处的两个偏导数存在.若用“”表示可由性质P推出性质Q,那么有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.偏导数与全微分41整理ppt连续.D结论不正确的选项是().都存在,偏导数与全微分42整理pptD偏导数与全微分43整理ppt是非题(非)事实上,偏导数与全微分44整理ppt偏导数的定义偏导数的计算(偏增量比的极限)偏导数的几何意义偏导数存在与连续、极限的关系四、小结偏导数与全微分45整理ppt全微分的定义全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意：与一元函数有很大的区别)可微分的必要条件、可微分的充分条件偏导数与全微分46整理ppt对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可导连续有极限

对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续可微连续有极限有偏导偏导数与全微分47整理ppt思考题1问全微