五年级奥数-最小公倍数（剖析版）

第20讲最小公倍数教学目标掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法；会利用最小公倍数解决实际问题。一、约数和倍数的定义如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；的倍数是3,没有最大的倍数。二、2、3和5倍数的特征2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8,是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数5的倍数的数特征是个位是0或5三、质数与合数(1)只有1和本身两个因数的数叫做质数(或素数)(3)1既不是质数，也不是合数(4)100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、(5)几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。【解析】先分别写出6和8各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。6的倍数：6,12,18,24,30,36,42,48…10的倍数：10,20,30,40,50所以6和10的最小公倍数是30。56和24的最小公倍数是2×2×2×7×3=168例3、分解质因数法：求120和100的最小公倍数例4、多个数求最小公倍数：求45、60和75的最小公倍数【解析】3456090[45,60,90]=180(当除到任意两数还有公因数时，则还要继续除下去)考点二：应用最小公倍数巧算例1、一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数小亮答错5道题，两人都答错的题目占题目总数的已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有多少道.【解析】因小明答错的恰是题目总数的两人都答错的题目占题目总数的,所以题目的总数应是4和6的倍数，然后根据小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，分情况进行解答。解：已知题目个数一定是整数.设为XX是4和6的倍数.且且时，即X>20时，小为58.所以X=24:例2、某加油站有二位员工，从今年1月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有多少天要聘1个时工人?【解析】甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息.因为4和7的最小公倍数是28,因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；365÷28≈15(天),而在比7的倍数少一天休息时，甲乙第一次重逢的日子是第二十天，以后每隔28天就共同休息一天，365-20=345(天),345÷28≈12(天)所以甲乙两人共同休息的天数是15+12+1=28(天)例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个?(希望杯考题)【解析】这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：96÷4+1=25(个)后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。96÷12+1=9(个)答：。重新挖树坑时可以少挖9个。例1、有一些画片，如果平均分给3个同学，还余1张；如果平均分给5个同学，还余3张；如果平均分给4个同学，则少2张.这些画片至少有多少张?【解析】由于平均分给3个同学，还余1张则这个数减1是3的倍数；如果平均分给5个同学，还余3张则这个数减3是5的倍数；如果平均分给4个同学，则少2张则这个数加2是4的倍数.因此，我们可从3,4,5的最小公倍数入手来分析一下，3,4,5的最小公倍数为3×4×6x=60.由于是求最小，我们可从减开始，如果平均分给4个同学，则少2张，60-2=58,58÷3=19…1,58÷5=11…3,所以这个数最解：根据题意可知，这个数减1是3的倍数，减3是5的倍数，加2是4的倍数.3,4,5的最小公倍数为3×4×6x=60.所以这个数最小为58.例2、有一位天文观察家，他观察一颗行星靠近地球的情况是有规律的，只要是年份数除以10余数是5,且被3、5、7、9除时，没有余数，从公元00年到公元2000年时，星球飞近多少次?所以2000以内，3、5、7、9的公倍数有：315、630、945、1260、1575、1890;其中630、1260、1890是10的倍数，不符合题意；所以公元315年、945年、1575年行星靠近地球，即共有3次.答：从公元00年到公元2000年时，星球飞近3次.1、30以内3的倍数有(),4的倍数有(),3和4的公倍数有(),最小公倍数是()。2、在12、15、36、64、450、950六个数中，是3的倍数有(),是5的倍数的有(),是2的倍数的有();是2和5的公倍数的有(),是2和3的公倍数的有(),是3和5的公倍数的有();同时是2、3和5的公倍数的数是()。3、用0、3、5、7四个数组成一个同时是2和5的倍数的四位数，最大是(),最小是()。4、要使601□既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里可以填()。8和1057和1951和3【解析】40,51,20,57,91,96、一个汽车站内有两路公共汽车.甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每【解析】4和6的最小公倍数为12,如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔12分钟会同时发车。7、一排路灯，原来每两盏之间的距离是30米，现在改用50米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔多少【解析】因为30和50的最小公倍数是150,所以至少再隔150米又有一盏不必移动；答：至少再隔150米又有一盏不必移动.8、有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个?【解析】根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672,再根据“总数在1000以内”确定水果总数。672-2=670(个)即：这批水果共有670个。3、a是一个质数，则a的倍数有()个4、如果b是一个整数，那么2b一定是()5、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少【解析】从第一次三人在图书馆相会到下一4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。6、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?【解析】9和90或18和45。7、一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?【解析】把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。答案：150块8、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，【解析】