福州市文博中学九年级上期中数学试卷解析版全套

第1页（共31页）2020福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（上）期中数学模拟试卷一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）1．下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（）A．6 B．13 C． D．3．下列说法正确的是（）A．可能性很大的事件必然发生B．可能性很小的事件也可能发生C．如果一件事情可能不发生，那么它就是必然事件D．如果一件事情发生的机会只有百分之一，那么它就不可能发生4．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣15．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．130°7．已知P（x1，1），Q（x2，2）是一个函数图象上的两个点，其中x1＜x2＜0，则这个函数图象可能是（）A． B． C． D．8．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2π B．4π C．6π D．12π9．以正方形ABCD的对角线AC、BD所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图所示，已知点A的坐标是（﹣，0），现将正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，则旋转后点C的对应点坐标是（）A．（，） B．（，﹣） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）10．如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH二、填空题（本题6小题，每小题4分，共24分）11．若函数y=（m2+m）是二次函数，则m=．12．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是．13．半径为6cm，圆心角为40°的扇形的面积为cm2．14．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．15．观察算式+，计算它得到的结果是．16．已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是．三、解答题（本题9小题，共86分）17．解方程：x2+2x=0．18．在平面直角坐标xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A（2，4），与y轴交于点B．（1）求m的值和点B的坐标；（2）点P在双曲线y=上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．19．如图，P为等边△ABC的中心．（1）画出将△ABP绕A逆时针旋转60°的图形；（不写画法，保留作图痕迹）（2）经过什么样的图形变换，可以把△ABP变换到右边的△CMN，请写出简要的文字说明．20．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：△MEF∽△MBA；（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．21．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，5．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出球的标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x与y的积为偶数时，小明获胜；否则小强获胜．（1）若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；（2）若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏公平吗？请说明理由．22．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元．信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元．请根据以上信息，解答下列问题：（Ⅰ）甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？（Ⅱ）该商品平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？23．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆，交BC边于点D，与AC边相切于点E．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）若CD：BD=1：2，AC=3，求CD的长．24．已知矩形ABCD中，AD=2AB，AB=6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N．（1）若△PEN为等腰三角形，请直接写出∠DEM所有可能的值；（2）判断BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK+KG+PG的最小值．25．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．

参考答案与试题解析一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）1．下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选D．2．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（）A．6 B．13 C． D．【考点】垂径定理；垂线；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的内心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．【解答】解：过点A作等腰直角三角形BC边上的高AD，垂足为D，所以点D也为BC的中点．根据垂径定理可知OD垂直于BC．所以点A、O、D共线．∵⊙O过B、C，∴O在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3﹣1=2，由勾股定理得：OB==．故选C．3．下列说法正确的是（）A．可能性很大的事件必然发生B．可能性很小的事件也可能发生C．如果一件事情可能不发生，那么它就是必然事件D．如果一件事情发生的机会只有百分之一，那么它就不可能发生【考点】可能性的大小．【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．【解答】解：A、可能性很大的事件不是必然事件，不一定发生，故错误；B、可能性很小的事件也可能发生，很可能不发生，故正确；C、如果一件事情可能不发生，那么它就是随机事件，故错误；D、如果一件事情发生的机会只有百分之一，那么它也可能发生，很可能不发生，故错误．故选B．4．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣1【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2=x，x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，x=0，x﹣1=0，x1=0，x2=1，故选C．5．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m【考点】三角形中位线定理．【分析】由D为AC的中点、E为BC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，根据DE的长度结合三角形中位线定理即可得出AB的长度．【解答】解：∵D为AC的中点，E为BC的中点，∵DE为△ABC的中位线，又∵DE=1100m，∴AB=2DE=2200m．故选B．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．130°【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCE=∠A=50°．故选B．7．已知P（x1，1），Q（x2，2）是一个函数图象上的两个点，其中x1＜x2＜0，则这个函数图象可能是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据反比例函数的性质，可判断A、B，根据二次函数的性质，可判断C、D．【解答】解：A、在第二象限y随x的增大而增大，故A正确；B、函数图象不在第二象限，故B错误；C、函数图象不在第二象限，故C错误；D、在第二象限y随x的增大而减小，故D错误；故选：A．8．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2π B．4π C．6π D．12π【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．【解答】解：连接OB，OC，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴==4π．故选B．9．以正方形ABCD的对角线AC、BD所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图所示，已知点A的坐标是（﹣，0），现将正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，则旋转后点C的对应点坐标是（）A．（，） B．（，﹣） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【分析】利用旋转的性质结合正方形的性质得出EO=FO=1，进而得出旋转后点C的对应点坐标．【解答】解：如图所示：将正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，得到如图所示图形，∵点A的坐标是（﹣，0），∴AO=CO=，则OC′=，EO=FO，故EO=FO=1，则旋转后点C的对应点坐标是：（1，﹣1）．故选：D．10．如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据选项中的各线段，可以分别得到它们各自随x的变化如何变化，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；故选D．二、填空题（本题6小题，每小题4分，共24分）11．若函数y=（m2+m）是二次函数，则m=．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义，要求自变量的指数等于2，系数不为0．【解答】解：∵函数y=（m2+m）是二次函数，∴m2﹣1=2，解得m=±；且m2+m≠0，即m≠0或m≠﹣1．∴m=±．12．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是．【考点】概率公式．【分析】找到小易抽到杀手牌的个数除以9张卡牌是小易抽到杀手牌的概率．【解答】解：从9张牌中抽取1张共有9种等可能结果，其中抽到杀手牌的有2种可能，∴小易抽到杀手牌的概率是，故答案为：．13．半径为6cm，圆心角为40°的扇形的面积为4πcm2．【考点】扇形面积的计算．【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式S扇形=进行计算即可得出答案．【解答】解：由题意得，n=40°，R=6cm，故=4πcm2．故答案为：4π．14．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为2．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3，∴矩形ABCD的面积为3﹣1=2．故答案为：2．15．观察算式+，计算它得到的结果是﹣．【考点】二次根式的化简求值．【分析】直接将原式分子相加减，进而化简求出即可．【解答】解：+==﹣．故答案为：﹣．16．已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是．【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理．【分析】根据题意可知，当AB的中点D、O、C三点共线时OC最长，再结合等边三角形的性质即可得出本题的答案．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD．∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC=a，根据三角形的性质可知：OD=a，CD==a．∴OC=a故答案为：a．三、解答题（本题9小题，共86分）17．解方程：x2+2x=0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先提取公因式x把原方程转化为x（x+2）=0，然后令每个因式的值为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解．【解答】解：∵x2+2x=0，∴x（x+2）=0，∴x=0或x+2=0，∴x1=0，x2=﹣2．18．在平面直角坐标xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A（2，4），与y轴交于点B．（1）求m的值和点B的坐标；（2）点P在双曲线y=上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把点A坐标分别代入两个函数的解析式中即可解决问题．（2）设点P（m，），由题意得×2×|m|=8，解方程即可．【解答】解：（1）∵双曲线y=经过点A（2，4），∴m=8，∵直线y=x+b经过点A（2，4），∴4=2+b，∴b=2，∴此直线与y轴的交点B坐标为（0，2）．∴m=8，点B（0，2）．（2）设点P（m，），由题意×2×|m|=8，∴m=±8，∴点P坐标（8，1），（﹣8，﹣1）．19．如图，P为等边△ABC的中心．（1）画出将△ABP绕A逆时针旋转60°的图形；（不写画法，保留作图痕迹）（2）经过什么样的图形变换，可以把△ABP变换到右边的△CMN，请写出简要的文字说明．【考点】作图﹣旋转变换．【分析】（1）易得AB边将旋转到AC，那么向右做∠PAP′=60°，且AP′=AP，连接P′C，△AP′C就是将△ABP绕A逆时针旋转60°的图形；（2）易得转到（1）后再顺时针旋转90°后即可得到△CMN．【解答】解：（1）；（2）先将△ABP绕A逆时针旋转60°，然后再将△ACP绕C顺时针旋转90°；本题也可以先旋转，后平移，方法略．20．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：△MEF∽△MBA；（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得出角相等，再根据相似三角形的判定得出答案；（2）由AB∥CD，得∠DFA=∠FAB，再由角平分线的定义得出∠DAF=∠FAB，从而得出∠DAF=∠DFA，即DA=DF，同理得出CE=CB，由平行四边形的性质得出DF=EC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EFM=∠MAB，∠FEM=∠MBA，∴△MEF∽△MBA；（2）∵AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB，∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，∴∠DAF=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴DA=DF，同理得出CE=CB，∴DF=EC．21．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，5．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出球的标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x与y的积为偶数时，小明获胜；否则小强获胜．（1）若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；（2）若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏公平吗？请说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出积为偶数的结果数，然后根据概率公式计算；（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出积为偶数和奇数的结果数，然后根据概率公式计算小明和小强获胜的概率，再比较概率的大小即可判断游戏的公平性．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图可知：所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，其中x与y的积为偶数有6种，所以小明获胜的概率P（x与y的积为偶数）==；（2）列树状图如下：，由树状图可知，所有可能出现的结果共16种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中x与y的积为偶数有7种，所以小明获胜的概率P（x与y的积为偶数）=，小强获胜的概率P（x与y的积为偶数）=，而＜，所以游戏规则不公平．22．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元．信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元．请根据以上信息，解答下列问题：（Ⅰ）甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？（Ⅱ）该商品平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设出甲、乙两种商品的进货单价，表示出零售单价，列出二元一次方程组成方程组即可；（2）根据总利润=每一件商品的利润×所卖商品的件数列出关于m的二次函数，求出最大值即可．【解答】解：（1）设甲种商品的进货单价为x元，乙种商品的进货单价为y元，由题意得解得2答：甲种商品的进货单价为2元，乙种商品的进货单价为3元．（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为W元，由题意得W=（2+1﹣2﹣m）+（2×3﹣1﹣3﹣m）=﹣2000m2+2200m+1100=﹣2000（m﹣0.55）2+1705；答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．23．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆，交BC边于点D，与AC边相切于点E．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）若CD：BD=1：2，AC=3，求CD的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）连接OE，可证得OE∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠OBE=∠CBE，可得出结论；（2）设AB交⊙O于点F，连接FD，可知FD∥AC，利用平行线分线段成比例可求得AF=OB=OF，可得AE：AC=2：3，可得到OE与BC的关系，在Rt△DEB中利用勾股定理可求得CD的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∵∠C=90°，∴OE∥BC，∴∠OEB=∠CBE=∠OBE，∴BE平分∠ABC；（2）解：如图2，设AB交⊙O于点F，连接FD，设CD=x，OB=OF=OE=r，则BD=2x，BC=3x，∵BF为直径，∴∠FDB=∠C=90°，∴DF∥AC，∴==2，∴AF=r，AB=3r，∴==，即=，∴FD=2，又∵OE∥BC，∴=，即=，∴r=2x，∴BF=4x，在Rt△BDF中，由勾股定理可得BF2=DF2+BD2，即（4x）2=（2）2+（2x）2，解得x=1，∴CD的长为1．24．已知矩形ABCD中，AD=2AB，AB=6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N．（1）若△PEN为等腰三角形，请直接写出∠DEM所有可能的值；（2）判断BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK+KG+PG的最小值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据题意，分三种情况：①当M和D重合时；②当M不和D、C重合时；③当M和C重合时；然后根据△PEN为等腰三角形，写出∠DEM所有可能的值即可．（2）三者的数量关系是：BP2+NC2=PN2．然后分三种情况：①当点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2+NC2=PN2成立；②当点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2+NC2=PN2成立；③当点N与点C不重合，点P与点B不重合时；证明BP2+NC2=PN2成立即可．（3）首先判断出P、G、M三点共线，且G为PM的中点，然后判断出△PEM为等腰直角三角形，根据勾股定理，可得PG=GM=ME，最后判断出当ME取得最小值时，DK+GK+PG取得最小值，即当ME=DE=6时，DK+GK+PG有最小值，并求出最小值是多少即可．【解答】解：（1）①如图1，当M和D重合时，，∵AD=2AB，E为AD中点，∴四边形PCDE是正方形，∴EC平分∠PEM，N和C重合，∴∠DEM=0°．②如图2，，∵PE⊥EM，∴∠PEM=90°，∵EN平分∠PEM，∴∠PEN=∠MEN=90°÷2=45°，∵AD∥BC，∴∠ENP=∠DEN=∠DEM+∠MEN=∠DEM+45°＞45°，∵AD=2AB，E为AD中点，∴DE=CD，∴DE＞DM，∴∠DEM＜45°，∴∠AEP＞45°，∴∠EPN＞45°，∵△PEN为等腰三角形，∴PE=NE，∴∠PNE=÷2=67.5°，∵AD∥BC，∴∠DEN=∠PNE=67.5°，∴∠DEM=67.5°﹣45°=22.5°．③如图3，当M和C重合时，P和B重合，，∵EN平分∠PEM，∴N是BC的中点，∵AD=2AB，E为AD中点，∴四边形NCDE是正方形，∴∠DEM=45°．综上，可得∠DEM=0°，∠DEM=22.5°或∠DEM=45°．（2）三者的数量关系是：BP2+NC2=PN2．①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2+NC2=PN2成立；②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2+NC2=PN2成立；③证明：如图4，连接BE、CE，，∵四边形ABCD为矩形，AD=2AB，E为AD中点，∴∠A=∠B=90°，AB=CD=AE=DE，∴∠AEB=45°，∠DEC=45°，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE，∠BEC=90°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠EBC=∠ECD，又∵∠BEC=∠PEM=90°，∴∠BEP=∠MEC，在△BEP和△CEM中，∴△BEP≌△CEM，∴BP=MC，PE=ME，∵EN平分∠PEM，