高中数学《点到直线距离》说课稿

第高中数学《点到直线距离》说课稿高中数学《点到直线距离》说课稿1

1、教材分析

1—1教学内容及包含的知识点

（1）本课内容是高中数学第二册第七章第三节《两条直线的位置关系》的最后一个内容

（2）包含知识点：点到直线的距离公式和两平行线的距离公式

1—2教材所处地位、作用和前后联系

本节课是两条直线位置关系的最后一个内容，在此之前，有对两线位置关系的定性刻画：平行、垂直，以及对相交两线的定量刻画：夹角、交点。在此之后，有圆锥曲线方程，因而本节既是对前面两线垂直、两线交点的复习，又是为后面计算点线距离（在直线和圆锥曲线构成的组合图形中）提供一套工具。

可见，本课有承前启后的作用。

1—3教学大纲要求

掌握点到直线的距离公式

1—4高考大纲要求及在高考中的显示形式

掌握点到直线的距离公式。在近年的高考中，通常以直线和圆锥曲线构成的组合图形为背景，判断直线和圆锥曲线的位置或构成三角形求高，涉及绝对值，直线垂直，最小值等。

1—5教学目标及确定依据

教学目标

（1）掌握点到直线的距离的概念、公式及公式的推导过程，能用公式来求点线距离和线线距离。

（2）培养学生探究性思维方法和由特殊到一般的研究能力。

（3）认识事物之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化知识的能力。

（4）渗透人文精神，既注重学生的智慧获得，又注重学生的情感发展。

确定依据：

中华人民共和国教育部制定的《全日制普通高级中学数学教学大纲》（____年4月第一版），《基础教育课程改革纲要（试行）》，《高考考试说明》（____年）

1—6教学重点、难点、关键

（1）重点：点到直线的距离公式

确定依据：由本节在教材中的地位确定

（2）难点：点到直线的距离公式的推导

确定依据：根据定义进行推导，思路自然，但运算繁琐；用等积法推导，运算较简单，但思路不自然，学生易被动，主体性得不到体现。

分析“尝试性题组”解题思路可突破难点

（3）关键：实现两个转化。一是将点线距离转化为定点到垂足的距离；二是利用等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距离。

2、教法

2—1发现法：本节课为了培养学生探究性思维目标，在教学过程中，使老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己练习“尝试性题组”，引导、启发学生分析、发现、比较、论证等，从而形成完整的数学模型。

确定依据：

（1）美国教育学家波利亚的教与学三原则：主动学习原则，最佳动机原则，阶段渐进性原则。

（2）事物之间相互联系，相互转化的辩证法思想。

2—2教具：多媒体和黑板等传统教具

3、学法

3—1发现法：丰富学生的数学活动，学生经过练习、观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。

一句话：还课堂以生命力，还学生以活力。

3—2学情：

（1）知识能力状况，本节为两线位置关系的最后一个内容，在这之前学生已经系统的学习了直线方程的各种形式，有对两线位置关系的定性认识和对两线相交的定量认识，为本节推证公式涉及到直线方程、两线垂直、两线交点作好了知识储备。同时学生对解析几何的实质中，用坐标系沟通直线与方程的.研究办法，有了初步认识，数形结合的思想正逐渐趋于成熟。

（2）心理特点：又见“点到直线的距离”（初中已学习定义），学生既熟悉又陌生，既困惑又好奇，探询动机由此而生。

（3）生活经验：数学源于生活，生活中的点线距随处可见，怎样将实际问题数学化，是每个追求成长、追求发展的学生所渴求的一种研究能力。丰富的课堂数学活动能够让他们真正参与，体验过程，锤炼意志，培养能力。

3—3学具：直尺、三角板

4、教学程序

教学环节教学过程设计意图

创设情景（三分钟）唤醒旧知师：“距离产生美”。昨天我与__同学相隔遥远，彼此毫无感觉，今天的零距离荡漾着亲切，却少了想象的空间，看来把握恰当的距离才能感知美好。

（1）你有什么办法能得到我（A点）和__同学（B点）之间的距离？

生：思考，回答。

（2）“形缺数时难入微”。（1）中的各种办法中哪个较好？还有没有更好的办法。

生：比较，回答。

教学机智：针对学生的回答，老师进行引导。老师进行铺垫、递进，或深入、拓展。

师：由此看来，两点间距离公式成为解决该问题的首选。让我们一鼓作气，继续努力。提问一：还原学生的数学现实，诱发动机，乐于参与。

提问二：既可点燃数形结合的思想，又可唤醒两点间距离公式。

根据认识发展理论，学生认知结构的发展是在其认识的过程中伴随同化和顺应的认知结构不断再建构的过程，达到以旧悟新的目的。（1）（2）两问的解决为后继知识作好了铺垫。

提出问题师：“点动成线”。当点B运动形成一直线

时，此时又怎样求点A到直线

的距离呢？

生：定性回答点明课题，使学生明确学习目标。

创设“不愤不启，不悱不发”的学习情景。

教学环节教学过程设计意图

探究问题（十二分钟）

练习

比较

发现

归纳

讨论

验证多媒体，出示材料

生：练习：“尝试性题组”

A到

的距离为d

（1）A（2，4），：_=3，d=_____

（2）A（2，4），：y=3，d=_____

（3）A（2，4），：_–y=0，d=_____尝试性题组告诉学生下手不难，还负责特例检验，从而增强学生参与的信心。

请三个同学上黑板板演

师：请这三位同学分别说说自己的解题思路。

生：回答

教学机智：应沉淀为三种思路：一，根据定义转化为定点到垂足的距离；二，利用等积法转化为直角三角形中三个顶点之间的距离；三，利用直角三角形中的边角关系。

视回答的情况，老师进行肯定、修正或补充提问：“还有其他不同的思路吗”。说解题思路，一是让学生清晰有条理的表达自己的思考过程，二是其求解过程提示了证明的途径（根据定义或画坐标线时正好交出一个直角三角形）

师：很好，刚才我们解决了定点到特殊直线的距离问题，那么，点P（_0，y0）到一般直线

：A_ByC=0（A，B≠0）的距离又怎样求？

教学机智：如学生反应不大，则补充提问：上面三个题的解题思路对这个问题有启示吗？

生：方案一：根据定义

方案二：根据等积法

方案三：设置此问，一是使学生的认知由特殊向一般转化，发现可能的方法，二是让学生体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的生机和乐趣。

师生一起进行比较，锁定方案二进行推证。“师生共作”体现新型师生观

教学环节教学过程设计意图

问题解决

（十分钟）由学生推证点到直线的距离公式培养学生严谨，周密的逻辑推理能力，得到一般性结论，形成完整的数学模型，感受数学的严谨性和数学结论的确定性，形成科学的态度。

在推证的过程中，通过克服困难的经历，以及获得成功的体验，锻炼意志，增强信心。

问题延伸

（八分钟）师：当点A也运动形成直线

'，且

'//

时，又怎样求这两线的距离？

生：计算得线线距离公式

师：板书点到直线的距离公式，两平行线间距离公式“没有新知识，新知识均是旧知识的组合”，创设此问可发挥学生的创造性，增加学生的成就感。

反思小结

经验共享

（六分钟）师：通过以上的学习，你有哪些收获？（知识，能力，情感）。有哪些疑问？谁能答这些疑问？

生：讨论，回答对本节课用到的技能，数学思维方法等进行小结，使学生对本节知识有一个整体的认识

共同进步，各取所长

练习

（五分钟）P53练习1，2，3熟练的用公式来求点线距离和线线距离。

再度延伸

（一分钟）探索其他推导方法“带着问题进课堂，带着更多的问题出课堂”，让学生真正学会学习。

5、教学评价

学生完成反思性学习报告，书写要求：

（1）整理知识结构

（2）总结所学到的基本知识，技能和数学思想方法

（3）总结在学习过程中的经验，发明发现，学习障碍等，说明产生障碍的原因

（4）谈谈你对老师教法的建议和要求。

作用：

（1）通过反思使学生对所学知识系统化。反思的过程实际上是学生思维内化，知识深化和认知牢固化的一个心理活动过程。

（2）报告的写作本身就是一种创造性活动。

（3）及时了解学生学习过程中的知识缺陷，思维障碍，有利于教师了解学生对自己的教法的满意度和效果，以便作出及时调整，及时进行补偿性教学。

6、板书设计

（略）

7、教学的反思总结

心理历练，得意之处，困惑之处，知识的传承发展，如何修正完善等。高中数学《点到直线距离》说课稿2

教学目标：

（1）至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到直线距离。

（2）培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。

（3）认识事物（知识）之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。

（4）培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神。

教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用

教学难点：点到直线的距离公式的推导

教学方法：启发引导法、讨论法

学习方法：任务驱动下的研究性学习

教学时间：45分钟

教学过程：

1、教师提出问题，引发认知冲突（约5分钟）

问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（_0，y0）和一条定直线l：A_ByC=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。

学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。

接着，教师用投影出示下列5道题（尝试性题组），请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）：

（1）求P（1，2）到直线l：_=3的距离d；（答案：d=2）

（2）求P（_0，y0）到直线l：ByC=0（B≠0）的距离d；（答案：）

（3）求P（_0，y0）到直线l：A_C=0（A≠0）的距离d；（答案：）

（4）求P（6，7）到直线l：3_—4y5=0的距离d；（答案：d=1）

（5）求P（_0，y0）到直线l：A_ByC=0（AB≠0）的距离d。

第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。

2、教师启发引导，学生走出困境（约8分钟）

教师：根据以上5位学生的运算结果，你能得到什么启示？

学生2：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自然，但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。

教师：那么，练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（2）、（3）的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们思考。

学生3：能！如图1，过点P作_、y轴的垂线分别交直线l于S、R，则由三角形面积公式可得

|PQ|=（|PR|·|PS|）/|RS|

教师：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？

学生3：设R（_1，y0），则由A_1By0C=0，

得_1=—（By0C）／A，

∴|PR|=|_0—_1|=|A_0By0C|／|A|；

同理：|PS|=|A_0By0C|／|B|。

教师：|RS|怎么求？

学生3：|RS|==（/|AB|）·|A_0By0C|。

教师：|PQ|结果是什么？

学生3：|PQ|=。

教师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？

学生4：当A=0或B=0时，ΔPRS不存在，故应说明公式当A=0或B=0时是否适用？

由（2）、（3）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。

3、教师提出问题，学生分组讨论（约10分钟）

教师：推导点到直线的距离公式的方法不少。前面我们学了函数、三角函数、向量、不等式等数学知识，你能用所学过的知识从不同角度、采用不同方法来推导这个公式吗？请同学们先独立思考，然后在小组上进行讨论交流，由组长负责记录。10分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法通过实物投影进行"成果"交流。

学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问

4、学生交流"成果"，教师点评小结（约16分钟）

经过约十分钟的研讨，各小组都找到了新的推导方法。于是教师请4名代表依次上讲台（让准备成熟的先讲），借助实物投影介绍本组的"成果"。由于时间关系，每组只要求讲一种方法，用时不超过4分钟，且各组的.方法不能重复。

学生5：我们用的是"设而不求，整体代换"的数学思想。请看投影屏幕：

设Q的坐标为（_1，y1），则直线PQ的斜率k1=，又直线l的斜率k=—，于是由PQ⊥l得，k1k=—1即B（_1—_0）—A（y1—y0）=0①

又因为A_1By1C=0，即A_1By1=—C

两边同减A_0By0得A（_1—_0）B（y1—y0）=—（A_0By0C）②

于是①2②2得，（A2B2）[（_1—_0）2（y1—y0）2]=（A_0By0C）2，

即（A2B2）d2=（A_0By0C）2

所以d=。

教师："设而不求，整体代换"，真是奥妙无穷，这是解析几何减少运算量的有效途径，同时也体现了数学的内在美，妙不可言。

学生6：我们小组向大家介绍一种独特的方法——向量法，请看投影屏幕：

如图2，设T（_1，y1）为直线l上的任意一点，则A_1By1C=0，=（_1—_0，y1—y0）

∵PQ⊥直线l，

∴平行于直线l的法向量=（A，B）

另设与的夹角为θ，则·=cosθ

即|A（_1—_0）B（y1—y0）|=|||cosθ|

即|A_0By0C|=·d

∴d=。

教师：向量是数量与图形的有机结合，解析几何是用代数的方法解决几何问题，两者都体现了数形结合的思想，第三小组的推导方法证明了这一点，也再次说明了向量具有很强的实用性与工具性，用向量法解解析几何题确实行之有效。

学生7：：我们小组向大家介绍向量的另一种方法，妙用向量数量积的性质．请看投影屏幕：

如图3，设垂足是点H（m，n），

直线l的法向量共线，

这是相当简单的方法了。

教师：巧妙利用向量数量积的性质来求距离，简直是"巧夺天工"，与其他方法相比，这种方法有绝对优势，我们必须重视对向量工具性的研究和应用。

学生8：刚才三个小组的证明方法确实精彩，我们也发现了一种巧妙的方法，把它称为"柯西不等式法"，请看投影屏幕：

我们知道，P点到直线l的距离，实质上是点P与直线l上任意一点T的距离的最小值，于是我们设T（_1，y1）为直线l上的任一点（如图2），则A_1By1C=0，

而d=|PT|min，于是|PT|=

=_，

利用柯西不等式，便有|PT|≥=，

所以d=，此时，即PT垂直于直线l。

教师：这一证法果然十分巧妙，包含的数学思想十分丰富。由点到直线的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步"转化"中问题得到圆满解决。同时也体现了不等式的工具作用。

5、公式应用（学生练习，约3分钟）

（1）求P（6，7）到直线l：3_—4y5=0的距离d。

（直接代公式得答案：d=1，检验尝试性题组第（4）的答案）

（2）求P（—1，1）到直线l：的距离d。

（先化直线方程为一般式再代公式得答案：）

6、教师小结并布置作业（约1分钟）

这节课我们学习了点到直线的距离公式，在公式的推导中学到了许多重要的数学思想和方法，感受到了数学的奥妙，也感受到了成功的喜悦。其实这个公式的推导方法不下十种，由于课堂上时间紧，许多同学有创造性的推导方法不能进行展示、交流，