集合的基本关系及运算

集合的基本关系及运算【学习目标】理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）.记作：A匸B（或BA），当集合A不包含于集合B时，记作A^B,用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A匸B（或B二A）要点诠释：（1）“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的xeA，能推出xeB.（2）当A不是B的子集时，我们记作“A（或B力A）”，读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）．真子集：若集合A匸B，存在元素xeB且x笑A，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）.记作：A冠（或B艮A）规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系A匸B且B匸A，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A匸A.要点二、集合的运算并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AUB读作：“A并B”，即:AUB={x|xeA,或xeB}Venn图表示：要点诠释：(1)“xGA,或xGB"包含三种情况：“xgA,但x电B”；“xgB,但x电A”；“xgA,且xgB”.(2)两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AHB，读要点诠释：并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AIB=0.概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AHB中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于AQB”.两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset),简称为集合A的补集，记作：痧A；艮卩A={xlxgU且x纟A}；UU补集的Venn图表示：要点诠释：理解补集概念时，应注意补集&A是对给定的集合A和U(A匸U)相对而言的一个概念，一个U确定的集合A，对于不同的集合U,补集不同.全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，贝Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集.&A表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合(如R)时，则记号中“U”也必须换成U相应的集合(即&A).R集合基本运算的一些结论

AnB匸A,AnB匸B,AnA=A,An0=0,AnB=BnAA匸AuB,B匸AuB,AuA=A,Au0=A,AuB=BuA(痧A)uA=U,(A)nA=0UU若AHB=A，则A匸B，反之也成立若AUB=B，则A匸B，反之也成立若xe(AHB)，贝VxeA且xwB若xe(AUB)，贝VxeA,或xeB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一、集合间的关系例1.集合A=例1.集合A={aIa=2k,keN}，集合B=-（n2一1）,neN那么A,B间的关系是().A.AMbB.b£AC.A=B D.以上都不对举一反三：【变式1】若集合A={xIx=2k一1,kez},B={xIx=4l土1,lez}，则（）.A.A^BB.BgAC.A=B D.AUB=Z例2.写出集合｛a,b,c｝的所有不同的子集.{a,b,c,d,e},则这样的集举一反三：{a,b,c,d,e},则这样的集【变式1】已知｛a,b｝gA合A有 个.

【变式2】同时满足：①M匸{1,2,3,4,5仁②aeM，则6-aeM的非空集合M有()A.16个B.15个C.7个D.6个例3.集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1},D={y=x2+1}是否表示同一集合？举一反三：【变式1】设集合M={(x,y)ly=3x+4},N={(x,y)ly=-3x—2},则MIN=( )A.{-1,1} B.{x=—1,y=1}C.(—1,1) D.{(—1,1)}变式2】A.B.MUNC.N=MD.NIM=0设集合M={xIy=2x+1,xeZ},N={yIy=2x+1,xeZ}，则变式2】A.B.MUNC.N=MD.NIM=0变式3】设M={x|x=a2+1,aeN},N={x|x=b2-4b+5,beN}，则M与N变式3】A.M=NC.N空M D.MHN=0A.M=NM={x,xy,*：x-y},N={0,|x|,y}, 若 M=N ,(x+y)+(x(x+y)+(x2+y2)+A+(x100+y100)=A.－200 B.200C.－100D.0举一反三：b【变式1】设a,beR,集合{1,a+b,a}={0,—,b}，则b-a=()a类型二、集合的运算例5.设集合A={xIx=3k,keZ},B={yIy=3k+1,keZ},C={zIz=3k+2,keZ},D={wIw=6k+1,keZ}，求AIB,AIC,BIC,BID.举一反三：【变式1】已知集合M={y|y=x2-4x+3,xeR},N={y|y=-x2-2x+8,xeR},则MQN等于()A.0 B.R C.{-1,9} D.[-1,9]例6.设集合M={3,a},N={x|x2-2x〈0,xeZ},MHN={1}，则MUN%()A.{1,3,a}B.{1,2,3,a}C.{1,2,3}D.{1,3}

举一反三：【变式1】(1)已知：M={x|x22},P={x|x2-x-2=0},求MUP和MQP；已知:A={y|y=3x2}, B={y|y=-x2+4},求：AQB,AUB；已知集合A={-3,a2,1+a},B={a-3,a2+1,2a-l},其中a^R,若AQB={-3}，求AUB.【变式2】设集合A={2,a2-2a,6},B={2,2a2,3a-6}，若AQB={2,3},求AUB.例7.已知全集U例7.已知全集U={1,2,3,4,5},A=Ix2+px+4=求CA.u举一反三：【变式1】设全集U={xeN|xW8}，若AQ(CB)={1,8},(CA)QB={2,6},(CA)n(CB)={4,7},+uuuu求集合A,B.类型三、集合运算综合应用例8.已知全集A={x|-2WxW4}, B={x|x〉a}.若AQBH0，求实数a的取值范围；若AQBHA,求实数a的取值范围；若AQBH0且AQBHA，求实数a的取值范围.举一反三：【变式1】已知集合P={x|x2<1},M={a}.若PUM=PJ则a的取值范围是()A.3,-1]C.[-1,1]B.[1,+w)D.(-8,-1]U[1,+w)

例9.设集合A=XxIx2+4x=0,B=\xIx2+2(a+1)x+a2-1=0,aeRf.若AIB=B，求a的值；若AUB=B，求a的值.举一反三：【变式1】已知集合A举一反三：【变式1】已知集合A={-2},B=fxIx2+ax+a2-12=o},若AIB=B，求实数a的取值范围.【变式2】设全集U=R，集合A={xI-1<x<2},B={xI4x+p<0}，若B空C0,求实数p的取值范围.【巩固练习】1.设U=R，A={xIx>0}，B={xIx>1}，则AI/=()A.{x10<x<1}B.{xI0<x<1}C.{xIxC.{xIx<0}D.{xIx>1}2.已知全集U=R，则正确表示集合M={-1,0,1}和N=（Ix2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是2.D.£.D.3.若集合A={-1,1}，B={xImx=1}，且AoB=A，则m的值为()A.1B.-1C.1或-1 D.1或-1或04•已知集合A,B满足AIB=A，那么下列各式中一定成立的是()A. A殳B B.B氨 C.AUB=BD.AUB=A

5•若全集U={0丄2,3}<cua= 则集合A的真子集共有（）A.3个B.5个C.7个D.8个6•设集合m={xIx=—+,keZ}，N={xIx=+—,keZ}，则（ ）2 4 4 2A.M=NB.M殳NC.N臺MD.MIN=07.用适当的符号填空：{m,n}7.用适当的符号填空：{m,n}；（2）{m}（1）m{m,n}；（3）0{m,n}.&若集合A={xIx<6,xeN},B={xIx是非质数},C=AIB,则C的非空子集的个数为 .9.若集合A={x13<x<7},B={x12<x<10},则AUB= 10.设集合A={x\-3<x<2},B={x|2k-1<x<2k+1}，且A二B，则实数k的取值范围11.已知A11.已知A=Ay=-x2+2x一1},B={y|y=2x+1},则AIB=12.已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},若A呈M匸B，请写出满足上述条件得集合M.13.已知A={x|-2<x<5},B={x|m+1<x<2m-1},B匸A，求m的取值范围.14.已知集合A=^xIx14.已知集合A=^xIx2+px-2=0},B=（Ix2-x+q=0},且AUB={-2,0,1},求实数p,q的值.15设全集U15设全集U=RM=I方程mx2-x-1=0有实数根}N={nI方程x2-x+n=0有实数根}，求(C^M)IN.巩固练习】1.1.设A={(x,y)||x+l|+(y-2)2=0},B={T,2},则必有()A、BUA B、AUB C、A=B D、AHB=02.集合M={y|y=x2-1,xGR},N={x|A、{(-y2,2.集合M={y|y=x2-1,xGR},N={x|A、{(-y2,1),G'2,1)}y=J3-x2}，贝UMnN等于()I0<x<J3}B、C、I-1<x<D、03.已知全集U=R，则正确表示集合M=｛-1,0,1｝和N=（Ix2+x=0｝关系的韦恩（Venn）图是3.))4•已知集合A,B满足AIB=A，那么下列各式中一定成立的是()A.A殳BB.B氨C.AUB=BD.AUB=A5.若集合A={-1,1},B={xImx=1}，且AoB=A，则m的值为()A.1B.-1C.1或-1 D.1或-1或06•设集合m={xIx=+—,kgZ}，N={xIx=+—,keZ}，则( )2 4 4 2A.M=NB.M^NC.n£md.MIN=0

7.设U=R,A={xIa<x<b}C/=・Ix>4或x<3/,贝ya= ,b= TOC\o"1-5"\h\z8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9.若A={1,4,x},B={,x2}且AIB=B，则x= .10.若I={xIx>-1,xeZ}，贝yCN= ,11.设全集U={(x,