集合与命题复习

课 题集合与命题的复习教学目的1、 复习集合的性质、集合间的关系以及交、并、补运算2、 复习四种命题形式、充分条件和必要条件教学内容集合1•定义:我们把能够确切指定的一些对象组合成的整体叫做集合,简称集。如果a是集合A中的元素，那么记作aeA,读作a属于A；如果a不是集合A中的元素，那么记作a笑A，读作a不属于A。（1） 确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。（2） 互异性：集合中的元素没有重复。方程x2-2x+1=0的解集为｛1｝而不是｛1,1｝（3） 无序性：集合中的元素没有一定的顺序。｛1,2｝和｛2，1｝表示同一个集合。含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫做无限集。我们把不含任何元素的集合称为空集,记作e。注：｛0｝和e是不同的。｛0｝是含有一个元素o的集合，e是不含任何元素的集合。常用数集N:全体自然数组成的集合，即自然数集N:全体自然数组成的集合，即自然数集N*：不包括0的自然数集Z:全体整数组成的集合，即整数集Z:全体整数组成的集合，即整数集Q:全体有理数组成的集合，即有理数集R:全体实数组成的集合，即实数集Z+:正整数集Z-:负整数集Q+:正有理数集Q-:负有理数集R+:正实数集R-:负实数集集合的表示方法（一） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。通常元素个数较少时用列举法。注：1.有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：｛51,52，53，-，100｝所有正奇数组成的集合：｛1,3，5，7,…｝2.a与｛a｝不同：a表示一个元素，｛a｝表示一个集合，该集合只有一个元素’（二） 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。格式：｛x|x满足性质p｝如：集合{（X,y）1y二x2+1}二、集合之间的关系（一） 子集1、 定义：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A。记作：A匸B或B二A。读作：A包含于B或B包含A。当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时，则记作A工B或B2Ao2、 证明A匸B的方法：若VxeAnxeB，则A匸B。（二） 集合相等1、 定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=Bo2、 证明集合相等的方法：A匸B且B匸A，则A=B。（三） 真子集定义：对于两个集合A与B,如果A匸B，并且A丰B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：A三B或B三A，读作A真包含于B或B真包含A（四） 子集的个数含n个元素的集合,a,a}的所有子集的个数是2n，所有真子集的个数是2n-1,非空真子集数为2n-2.1 2 n（五） 文氏图用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用的图叫做文氏图。下图表示的是B匸A的文氏图。注：1、空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。2、易混符号“e”与“匸”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如1e{1,2,3},{1}匸{1,2,3}三、集合的运算

（一） 交集：由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集。记作AAB,读作A交B。AAB={xlxWA,且xWB}.（二） 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AUB,读作A并B。AUB={xlxWA,或xWB}）.（三）交集、并集的性质（1）若BUA,则AUB=A,AnB=B（3）AUAUB,BUAUB（四）全集与补集1、 全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。2、 补集：设U为全集，A是U的一个子集（即AUU）,由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集，记作CA，即CA={xlxwU,且x电A}UU U U3、性质：C(CA)二A,CU“,C©二UUU U U例题分析:例1、2008年第29届奥运会将在北京召开，现有三个实数的集合，既可以表示为{a,b,1},也可以表示为ta2,a+b,0}，则a2008+b2008= 例2、若A、B、C为三个集合，AUB=B"C，则一定有（）A.AA.A匸C B.C匸AC.A丰CD.A=0例3、设P={mI-1<m<0},Q={mgRImx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）A.P£Q B.Q£P C.P=Q D.PflQ=0例4、若集合M、N、P是全集S的子集，则图中阴影部分表示的集合是（）a.（mnn）np b.（mnn）upc.（mnn）ncpd.（mnn）ucpS S\mS・J例5、设A={2,-1,x2-x+1},B={2y,一4,x+4},C={一1,7}，且AB=C, - 求x,y的值I !P -■例6、已知集合A={xI-x2+3x+10>0},B={xIm+1<x<2m—1}，且B匸A，求实数m的取值范围例7、已知A={xlx2—ax+a2—19=0},B={xIx2—5x+8=2},C={xlx2+2x—8=0},若AQB北0，且A丰B,AQC=0，求a的值+例8、设全集U=&|0<x<10xeN*}，若AnB={3}，AnCuB=俎5,7}，(c/mqB)={此求A、B例9、设集合A=x=a2+2a+4},B={yy=b2一4例9、设集合A=（1）若aeR,beR,试确定集合A与集合B的关系;（2）若aeN,beR，试确定集合A与集合B的关系.例10、设M={x1x=k+十，keZ},N={x1x=k+十,keZ}，则M和N的关系是？2 4 4 2例11、已知集合A={x1x=ax2+2x+1=0,aeR,xeR}（1）当A只有一个元素时，求a的值，并求出这个元素（2）当A至多含有一个兀素时，求a的取值范围例12、已知集合A={x1x2-x-6<0}，B={x10<x-m<9}(1)若AUB=B，求实数m的取值范围(2)若AnB=0，求实数m的取值范围例13、已知集合A={xIx2+(a+2)x+1=0,xgR}，且AAR+=0，求实数a的取值范围例14、设A={xIx2-3x+2=0},B={xIax-2=0},且AUB=A，求由实数a组成的集合C例15、已知集合A=tx,y)Ix2+mx-y+2=0,xgr},B={(x,y)Ix-y+1=0,0<x<2}，若AQBh©，求实数m的取值范围.例16、已知集合A={y1y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0}，B={yIy=2x2-x+2,0<x<3}，若A「|B=0，求实数a的范围.例17、设全集U=R,M={ml方程mx2-x-1=0有实数根},N={nI方程x2-x+n=0有实数根｝，求(C/M)cN.解：当m=0时，x=-1，即0eM；当m主0时，A=1+4m>0,即m>-—，且m主0 m>-—,TOC\o"1-5"\h\z4 4而对于N,A=1-4n>0,即n<—，•:N=\nIn<—.4 〔 "・・・(CM)nN=2xIx<-—UIx2-2x-m<0),变式训练1.已知集合A=<xIx2-2x-m<0),、x+1 一当m=3时，求Ac(CB)；R若A-B={xI-1<x<4},求实数m的值.解：由6>1 1xW5,・・・A二{xI-1<x<5}.x+1 'x+1(1)当m=3时，B={xI-1<x<3}，则CB={xIx<-1或x>3},R.・・Ac(CB)={xI3<x<5}.R⑵VA={xI-1<x<5},AQB={xI-1<x<4},・••有42-2X4-m=0,解得m=8.故实数m的值为8.此时B={xI-2<x<4故实数m的值为8.例18、已矢口A={xIa<x<a+3},B={xIx<一1或x>5}.若AQB=0，求a的取值范围；若AUB=B，求a的取值范围.an—1解：(1)AQB=0,・・・{ ，解之得—1<a<2.a+3<5AUB=B,・•・A匸B.・•.a+3<一1或a>5,a<一4或a>5.••若AQB=0，则a的取值范围是［—1,2］；若AoB=B，则a的取值范围是(—g,—4)u(5, .变式训练2：设集合A二{x|x2—3x+2=o},B=・Ix2+2(a+1)x+(a2—5)=。}.若AnB={2},求实数a的值；若AUB=A，求实数a的取值范围；若U二R,An(CJS)=A.求实数a的取值范围.解：由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2}・(1)TAnB={2},・・・2eB,代入B中的方程，得a2+4a+3=0,・・a=-1或a=-3;当a=-1时，B=LIx2—4=0}={—2,2},满足条件；当a=-3时，B={xIx2—4x+4=0}={2},满足条件;综上，a的值为-1或-3.(2)对于集合B,A=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).TAUB二A，・・.B匸A,当AVO,即aV-3时，B=0，满足条件；当A=0，即a=-3时，B={2},，满足条件；当A〉0，即a〉-3时，B=A={1,2}・才能满足条件,则由根与系数的关系得I+I+2=—2(a+1)1x2=a2—5a=——即1 2,矛盾;a2=7综上，a的取值范围是aW-3.(3)TAn(CB)=A,・：AUCB, =0；U U _5若B=0，则△VO二a<-3适合；若BM0，则a=-3时，B={2},AnB={2},不合题意；a>-3，此时需1《B且2纟B,将2代入B的方程得a=-1或a=-3(舍去)；将1代入B的方程得a2+2a-2=0na=-1±亍3.AaM-1且aM-3且aMT±u3.综上，a的取值范围是aV-3或-3VaVT-运或T-*3VaV-1或TVaVT+p3或a>-1+\「3.例19、已知集合A={x|x2+(2+a)x+1=0,xgR},B={xeRIx>0}，试问是否存在实数a,使得AnB=0?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解:方法一假设存在实数a满足条件AnB=0则有当AM0时，由AnB=0,B={xgRIx>0}，知集合A中的元素为非正数，设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x15x2,则由根与系数的关系，得A=(2+a)2一4>0<x+x=一(2+a)<0,解得a>0;1 2xx=1>0J12当人=0时，则有A=(2+a)2-4V0,解得-4VaV0.综上(1)、(2),知存在满足条件AnB=0的实数a,其取值范围是(-4,+s).方法二假设存在实数a满足条件AnBM0，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x?至少有一个为正，因为X]・X2=1>0,所以两根X],x2均为正数.则由根与系数的关系，得|A=(2+")2一4>0,解得>警'一4即a5-4.x+x=-(2+a)>0 Ia<-2J1 2又•・•集合{aIa<-4}的补集为{aIa>-4},A存在满足条件AnB=0的实数a,其取值范围是(-4,+^).变式训练3.设集合A={(x,y)|y=2xT,xWN*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,xWN*}，问是否存在非零整数a,使AHBM0?若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.解：假设AHBM0，则方程组fy=2x-1\ 有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.y=ax2-ax+a

由A20,有(a+2)2-4a(a+l)20,解得-空3<a<2i.因a为非零整数，.・.a二±1,3 3当a=-1时，代入(*)，解得x=0或x=T,而x^N*.故a#-1.当a=1时，代入(*),解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得AAB#0,此时AQB={(1，1)，(2，3)}.例20、已知A={xIx2—2ax+(4a—3)=0，x^R}，又B={xIx2—2^2ax+a2+a+2=0，x^R}，是否存在实数a,使得A..B=0?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.解：1<a<2即实数ae(1，2)时，AB=0.变式训练4.设集合A为函数y=ln(-x2-2x+8)的定义域，集合B为函数y=x+亠的值域，集合C为不等式(ax-a)(x+4)<0的解集.⑴求AnB；⑵若CGCRA，求a的取值范围.解：(1)解得A二(-4,2)，B二(—〜—3]uk+8)。所以AnB=(-4,-3^j[1,2)(2)a、命题(一)四种命题1、 由原命题怎么得到逆命题、否命题、逆否命题？交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题2、 若p为原命题条件，q为原命题结论，贝呱原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若p则q逆否命题：若q则p

3、 等价命题：如果A、B两个命题满足A=B,B=A，那么A、B称为等价命题互为逆否的两个命题等价，即原命题°逆否命题4、 反证法当我们证明某个命题有困难时，我们可以利用上面的结论证明它的逆否命题。例1求证如果a>b>0，那么Ua>-b.(二)充分条件与必要条件1、 定义：若Pnq成立，则称P为q的充分条件，q为P的必要条件。2、 充要条件：若既有pnq成立，又有qnp成立，则称p、q互为充要条件。如何证明p为q的充要条件？根据定义，我们分两步证明充分性：Pnq必要性：qnp例题解析例2已知函数f(x)为R上的单调递增函数，求证f(x)<f(x)的充要条件为x<x1212课堂练习1、 “x>1”是“x>Jx”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若不等式|x-1<a成立的充分条件为0<x<4，则实数a的取值范围为( )A. [3, +8) B. [1,+8) C. (—8, 3] D. (—g,1]3、 f(x)、g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x)，则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件4、 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件.那么p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5、下列各小题中，p是q的充要条件的是( )p:m<—2或m>6；q:y=x2+mx+m+3有