人教版九年级数学下册-第28章-锐角三角函数-单元检测试卷（解析版）

【期末专题复习】人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检

测试卷

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

1.ABC中，tanB=cot（90-C）=43,则48。是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

本题可根据tan6（）o=G，cot3（r=G，得出NB、/C的值.再判断三角形的形状.

【详解】解：由题意得:ZB=60°,90°-ZC=30°,即NC=60°,

.\ZA=ZB=ZC=60°.

/.△ABC为等边三角形.

故选B.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角三角函数值，在中考中经常出现，题型以

选择题、填空题为主.

2.水库堤坝的横断面是梯形（如图）.测得斜坡A8长为60米，斜坡A8的坡比为1:2,则此堤坝横断面

的高为（）

A.30米B.30后米C.12百米D.24指米

【答案】C

【解析】

【分析】

根据坡比为1:2,设BE=x米，AE=2x米，在RSABE中，利用勾股求出x的值即可.

【详解】

解：过点B作BEJ_AC于点E.

•.•坡比为1：2,

.,.设BE=x米，AE=2x米，

,斜坡AB长为60米,

/.x2+（2x）2=602,

：.x=12下.

故选C

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度、坡角问题，解题关键是熟悉坡度、坡角的定义及勾股定理.

3.已知sina<cosa,那么锐角a的取值范围是（）

A.30<«<45B.0<«<45C.45<«<60D.0<«<90

【答案】B

【解析】

【分析】

锐角三角函数的增减性，首先根据正余弦的转换方法，得：cosa=sin（90°-a）,又sina<costz,即

sintz<sin（90-a）,进行分析.

【详解】解：在AABC中，ZC=90°,

VsinA<cosA,即sine<sin（90°—a）

a<90°-a

的度数范围是0<a<45

故答案为45。<。<90。.

【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，解题关键是当角度在0°〜90°间变化时，①正弦值随着角度的

增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），

4.在离铁塔底部6米的地面A处测得铁塔塔顶的仰角为a,那么铁塔的高为（)

A.m-sin<zB.m-cosaC.m-tanaD.m­cottz

【答案】c

【解析】

【分析】

先画出示意图，构造直角三角形，解三角形即可表示出铁塔的高.

【详解】解：如图所示:

AmC

由题意得，NA=a,AC=m,ZACB=90°,

BC=ACtanZA=ACtanCt=mtanCc.

故选C.

【点睛】本题考查解直角三角形的知识，解题关键是构造直角三角形，要求同学们熟练掌握锐角三角函数

的定义.

4

5.ABC中，NC=90，sinA=-,则tanA的值是（）

4334

A.-B.-C.-D.一

3455

【答案】A

【解析】

【分析】

BC4

根据正弦的定义得到sinA=F=-，则可设BC=4x,AB=5x,根据勾股定理计算易计算AC,然后根据

AB5

正切的定义即可得到tanA的值.

B

【详解】解：如图，\

4

5

.,.设BC=4x,AB=5x,

•••AC='（5x）2-（4x『=3*,

.,BC4x4

..tanA==—=—.

AC3x3

故选A.

【点睛】本题考查同角三角函数的关系，解题关键是是熟练掌握三角函数的定义、性质.

6.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50方向，距离灯塔P为10海里的点A处，如果海轮沿正南方向航

行到灯塔的正东方向B处，那么海轮航行的距离AB的长是（）

北A

A

A?」」

•…比:..........

P\B

A.10海里B.10sin50海里C.10cos5（）海里D.10tan50海里

【答案】C

【解析】

【分析】

首先由方向角的定义及已知条件得出NNPA=50。，AP=10海里，ZABP=90°,再由AB〃NP,根据平行线的

性质得出NA=NNPA=50。.然后解Rt/kABP,得出AB=APcosZA=10cos50°海里.

北A

N0

【详解】50”

P\B

解：如图，由题意可知/NPA=50。，AP=10海里，ZABP=90°.

：AB〃NP,

.\ZA=ZNPA=50°.

在RSABP中,VZABP=90°,ZA=50°,AP=10海里,

AB=AP«cosZA=10cos500海里.

故选C.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解

方向角的定义.

7.如图，梯子跟地面的夹角为NA,关于NA的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）

A.sinA的值越小，梯子越陡B.cosA的值越小，梯子越陡

C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与NA的函数值无关

【答案】B

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的增减性即可得到答案.

【详解】siM的值越小，N4越小，梯子越平缓；

cosA的值越小，/A就越大，梯子越陡；

tanA的值越小，越小，梯子越平缓，所以B正确.

故选B.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的增大而增大；对于余

弦函数，函数值随角度的增大而减小.

8.一束阳光射在窗子上，此时光与水平线夹角为30，若窗高AB=1.8米，要想将光线全部遮挡住,

不能射到窗子AB上，则挡板AC（垂直于AB）的长最少应为（）

A.1.86米B.0.6方米C,3.6米D.1.8米

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知作出辅助线，再利用7K=tan30°得出AC的长即可.

AC

【详解】"

LC解：如图所示：设光线为CB,作DBLAB于点B,

B

:光与水平线夹角为30。,

ZCBD=30°,

■:AC〃BD,

/.ZACB=30°,

・・・AB=1.8米，

AB

-----=tan30°，

AC

1.8「

==L86=空

to/?30°-5

3

故选A.

A.D

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是利用锐角三角函数关系得出——=tan30。.

AC

9.在RfABC中，ZC=90，若AC=2BC,则siM的值是（）

I

A.-B.2C.D

25T

【答案】C

【解析】

【分析】

锐角三角函数的定义，根据正弦的定义sinA二笔餐

解答.

乙4的对边_8C=立

【详解】解：根据题意，AB=y1AC2+BC1=VsBC,sinA=

斜边一茄一工一

故选C.

NA的对边

【点睛】根据正弦的定义sinA=解答，解题关键是熟练掌握定义.

斜边

10.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡A8的坡度为i=l：6,坝高BC=6根，则坡面AB的长度（)

A.12〃?B.18/77C.673D.12百

【答案】A

【解析】

•••迎水坡AB的坡度为i=l：G，坝高8c=6/〃，

BC161

即解得AC=6G

••就一万花一耳,

，，AB=VAC2+BC2=J<6V3）2+62=12W.

故选A.

二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

2

11.如图，若sina=w，则cos/7=.

【答案】I

【解析】

【分析】

根据两个角的和等于90。，可得这两个角互余，根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案.

【详解】解：由a+p=90。，得a、8互为余角，

由一个角的余弦等于它余角的正弦，得

故答案为二.

【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，解题关键是利用了一个角的余弦等于它余角的正弦.

12.小丽在大楼窗口A测得校园内旗杆底部。的俯角为a度，窗口离地面高度A=〃（米），那么旗杆底部

与大楼的距离BC=米（用a的三角比和//的式子表示）

\□

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意可得，NACB=a,AB=h,然后利用三角函数求出BC的长度.

【详解】在Rt/kABC中，

VZACB=a,AB=h,

ABh

・・・BC=

tanatana

故答案为——

tana

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，利用三角函数的

知识求解.

13.在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东6()方向走了5切z到达3地，然后再沿

北偏西30方向走了若干千米到达。地，测得A地在。地南偏西30方向，则A、C两地的距离为一

北

【答案】

3

【解析】

【分析】

根据已知作图，由已知可得到^ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长.

北

由题意可知，AB=5km,Z2=30°,ZEAB=60°,Z3=30°,

：EF〃PQ,

.•./l=NEAB=60°,

又：N2=30°,

ZABC=180°-Zl-Z2=l80o-60°-30o=90°,

.'.△ABC是直角三角形,

又•.•MN〃PQ,

・・・Z4=Z2=30°,

ZACB=Z4+Z3=30°+30°=60°,

5广

.AB—10V3.

..AC=---------------=A/3---------km.

sin/ACB—3

2

故答案为生叵km.

3

【点睛】本题是方向角问题在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三

角形的相关知识解答.

14.如图，长为4米的梯子搭在墙上与地面成55角，则此时梯子的顶端距离地面约米.（精确到

0.01米）

【答案】3.28

【解析】

【分析】

在地面、梯子以及墙三者形成的直角三角形中，已知一个锐角和斜边，求对边，依据正弦函数即可求解.

【详解】

解:

在直角aABC中，NABC=55。,

...AC

・sin/ABC=----,

AB

AC=AB«sinZABC=4xsin55°~3.28（米）.

【点睛】本题考查正弦函数的定义，解关键是把实际问题抽象成数学问题.

15.某人沿一斜坡走了5米，升高了2.5米，则此斜坡的坡度为

【答案】3

3

【解析】

【分析】

坡度=坡角的正切值.

【详解】解：设坡角为a.

由题可知:sina=2.5：5=1：2>

.,.a=30°.

，坡度=tan30°=走.

3

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题关键是注意坡度是坡角的正切函数.

16.如图，网格中的每一个正方形的边长都是1,ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA=

【分析】

过B作BD垂直于AC,利用面积法求出BD的长，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出sinA

的值即可.

[A-••

【详解】;「

a

解：过点B作BDJ_AC,

：AB=JI2+22=6,BC=3,AC=j22+42=2亚,

=

SAABC~x3x2=—x2xBD,

解得：BD=2^,

5

BD至3

在R3ABD中，sinA=---=5=—,

AB5

V5

3

故答案为j

【点睛】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形面积公式，解题关键是牢记锐角三角函数定

义.

17.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D,再爬倾斜角为60度的山坡200米,

这座山的高度为.(结果保留根号)

【答案】(150+100若)

【解析】

【分析】

在RTAADF中，利用30°角和AD，求出DF即CE；在RTABDE中，利用60°角和BD，求出BE；最后求CE和BE

和即可.

【详解】

解：过D作DFLAC.

在RSADF中，易得:CE=DF=ADxsin30°=150米,

在RtZkBDE中，易得:BE=BDxsin600=100V3米,

故山高BC=CE+BE=(150+10073)米.

故答案为(150+10073).

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题关键是借助俯角关系构造直角三角形，并

结合图形利用三角函数解直角三角形.

18.如图所示，从一块矩形薄板A5CO上裁下一个工件GEE-CPO(阴影部分)，图中EF//8C,

GH//AB,ZAEG=1U8'.NPb=3342'，AG=2cm,FC=6cm,则工件GE”-CPO的面积

]2

为cm2.(参考数据：tanll18'®-,tan3242'®-)

53

【答案】48

【解析】

【分析】

GH把这一工件分成了四个直角三角形，即4GEP、、△GDP、AEPH.ACPH，且

△GEP^AGAP,AGDP^AFPD,△EPH丝ZXEBH,ACPH^ACPF,所以工件面积正好等于矩形面积的

一半.

【详解】解：在RtAAEG中，由于tan/AEG=AG：AE,

AG22

/.AE=---------------=---------------~-----=10,

tanZAEG相〃11°18'0.2

PF

在中，

RtAPCFtanNPCF=~FC

2

PF=FC,tanZPCF=6xtan33°42-6x—=4,

3

AB=AE+EB=AE+EC=10+6=16,

BC=AG+PF=2+4=6,

•'•Sa；®ABCD=AB«BC=16X6=96(cm2),

由矩形的性质知，矩形的对角线把矩形分成两个全等的三角形，

.•.△GEP丝ZXGAP,AGDP^AFPD,AEPH^AEBH,ACPH^ACPF,

112

•I-ST.件=-SigjgABCD=_x96=48(cm-).

【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题抽象到直角三角形

中，利用三角函数进行解答.

19.在离某建筑物底部30米处的地方，用测角仪测得该建筑物顶部的仰角为30，已知测角仪的高为1.5米,

那么该建筑物的高为米(计算结果保留根号).

【答案】1.5+1073

【解析】

分析】

把所求的线段构造为矩形的一边和直角三角形的一边的形式，利用相应的三角函数求解.

【详解】解：1.5+30xtan30°=1.5+30x

【点睛】本题考查借助俯角构造直角三角形，解题关键是结合图形利用三角函数解直角三角形.

20.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30。，测得底部C的俯角为60。，此时航拍

无人机与该建筑物的水平距离AO为90米，那么该建筑物的高度约为米.(精确到1米，参

考数据：73=1.73)

【解析】

【分析】

【详解】试题解析：由题意可得：tan3()o=变BD走,

AD90T'

解得：BD=3()6,

同理，DC=9()6

故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=\20y/3.

三、解答题(本题共计8小题，共计60分,)

21.计算：一竺&——+tan60.

tan30-cos60

【答案】26

【解析】

【分析】

将特殊角三角函数值计算后，根据运算法则计算即可.

昌

【详解】原式—+V3

V31

------X—

32

1

=Vs+G

26

【点睛】本题考查三角函数的计算，解题的关键是清楚特殊角三角函数值.

22.如图，在△力比'中，NACB=9Q°,AC=4,8C=3,点〃在边比1上，皮=56®,DELAB,垂足为我

(1)求缈的长；

(2)求N6位的正切值.

34

【答案】(1)一；(2)-

27

【解析】

(1)根据8。及/碉J余弦即可求出BE的长；(2)过点E作EFVBC,垂足为

F,构造直角三角形BEF,根据N6的正弦和余弦可求出EF和BF,进而求出CF,即可得出NBCE的正切值.

解：(1)VZACB=90°,AC=4,BC=3

AB=VAC2+BC2=+32=5

BEBC3

DE^_AB,cosBn=---=----——

BDAB5

•:BD=5CD,BD+CD=BC=3,：.BD=-

33

BE=-BD=-

52

(2)过点E作E尸J_BC,垂足为尸

3946

ABF=-BE=—,EF=-BE=-

51055

23.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60。方向走了到达500gmB点，然

后再沿北偏西30。方向走了500m到达目的地C点.

(1)求A、C两点之间的距离.

(2)确定目的地C在营地A的什么方向.

【答案】(1)1000m；(2)北偏东30。方向上.

【解析】

【分析】

(1)根据BE〃AD,得出ZDAB=ZABE=60°,再根据平角的定义得出3(T+/CBA+/ABE=180。,求出ZCBA

的度数，判断出AABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可；

(2)根据AC=1000,BC=500,求出NCAB=30。即可.

【详解】解：(1)：BE〃AD,

ZDAB=ZABE=60°,

，/30。+NCBA+NABE=180°,

ZCBA=90°,

/.AABC直角三角形，

VBC-500,AB=500V3m-

.\AC2=BC2+AB2,

•••AC=7(50073)2+5002=1000m.

(2)：BC=500,AC=10()0,ZABC=90°,

；.AC=2BC,ZCAB=30°,

ZDAC=ZDAB-ZCAB=60°-30°=30°,

即目的地C在营地A的北偏东30。方向上.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且

求出/DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上.

24.如图是春运期间的一个回家场景.一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm,拉杆最大

伸长距离BC=30cm,点A到地面的距离AD=8cm,旅行箱与水平面AE成60。角，求拉杆把手处C到地面

的距离(精确到1cm).(参考数据：6y1.732)

【答案】77

【解析】

试题分析：作CG1AE于点G.在直角AACG中利用三角函数即可求得CG的长，再加上AD的长度即可求

解.

在直角&ACG中，AC=AB+BC=50+30=80cm.

sinzCAG=-----,

AG

.-.CG=AC«sinzCAG=80x=4073=69.2(cm).

则拉杆把手处C到地面的距离是:69.2+8=77.2=77cm.

考点：解直角三角形的应用.

25.在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站

A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30。，且与A相距40km的8处；经过lh20min,

又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距83km的。处.

（1）求该轮船航行的速度.

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由.

【答案】（1）12gkm/h；（2）轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头靠岸.

【解析】

【分析】

（1）根据N84C=90。，由勾股定理可求出BC的长度，航速=路程/时间即可；

（2）作8DJJ,CE11,垂足分别为。、E,设直线交/于点F,根据已知条件和构造的直角三角

形,求出BD、CE、AE的长度，再根据ABDFskCEF,分别求出EF、AF的长，最后根据AM<AF<AN,

得出轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸.

【详解】（1）由题意，得NB4C=90°,ABC=^402+（8V3）2=16A/7.

轮船航行的速度为16^7--=12J7km/h.

3

（2）能.作CEA.I,垂足分别为£»、E,设直线5c交/于点

B北

/I________斗，i、'』东

5A]EMN

则3。=436由/^4£>=20>/§，CE=AC-sinZCAE=4A/3.AE=ACcosZCAE=12.

•：BD11,CEVI,：.ZBDF=ZCEF=90°.

又ZBFD=ZCFE,/.ABDFs\CEF.

.DF_BD.EF+322073

••=.••------------=------.

EFCEEF4相

EF=8.AAF=AE+EF=20.

VA"<AE<AN,.•.轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸.

【点睛】本题属于实际应用题，需要注意的是，最后的结论，要根据AM<AF<AN,得出轮船不改变航

向继续航行，正好能行至码头MN靠岸.

26.一艘小船从码头A出发沿北偏东54方向航行，航行一段时间到达航标B处，后又沿着北偏西21方向

航行了10海里到达。处，这时从码头A测得小船在码头A北偏东24的方向上，求此时小船与码头A之间

的距离（结果用根号表示）.

【答案】此时小船与码头A之间距离是5#+5夜海里.

【解析】

【分析】

先过点B作BDJ_AC,垂足为D,根据题意求出，NBAC=30。，ZC=45%BC=10海里，再分别求出BD,CD

的长，最后求出AD的长，即可得出答案.

解：过点B作BDLAC,垂足为D,

VZC=24°+21°=45°,

ABD=CD,

VBC=10,

JCD=BD=BC*cos45°=1Ox

ZBAC=54-24°=30°,

5V2

BD

AAD==5瓜

tan30

AC=AD+CD=576+572（海里），

答：此时小船与码头A之间的距离是5指+5及海里.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角、