高考数学一轮复习 专题17 任意角的三角函数（含解析）-人教版高三数学试题

专题17任意角的三角函数一、【知识精讲】1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝eq\a\vs4\al(y)，cosα＝eq\a\vs4\al(x)，tanα＝eq\a\vs4\al(\f(y,x))(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)象限角(4)轴线角二、【典例精练】考点一角的概念及其集合表示【例1】(1)若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．【答案】(1)C(2)－675°或－315°【解析】(1)∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角.(2)所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.【解法小结】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.考点二弧度制及其应用【例2】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的面积.【解析】由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10，∴S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×102＝eq\f(50π,3)(cm2).【解法小结】1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.考点三三角函数的概念【例3】(1)(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，则|a－b|＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),5) C.eq\f(2\r(5),5) D.1(2)满足cosα≤－eq\f(1,2)的角α的集合为________.【答案】(1)B(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))【解析】（1）由题意可知tanα＝eq\f(b－a,2－1)＝b－a，又cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－（b－a）2,1＋（b－a）2)＝eq\f(2,3)，∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝eq\f(1,5)，则|b－a|＝eq\f(\r(5),5).答案B(2)作直线x＝－eq\f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)))).【解法小结】1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.【思维升华】1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值.2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.【易错注意点】1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.三、【名校新题】1.(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin150°，cos150°)，则α＝()A．150° B．135°C．300° D．60°【答案】C【解析】由sin150°＝eq\f(1,2)>0，cos150°＝－eq\f(\r(3),2)<0，可知角α终边上一点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sinα＝－eq\f(\r(3),2)，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.2.(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，则cos(α＋β)的值为()A.－eq\f(24,25) B.－eq\f(7,25) C.0 D.eq\f(24,25)【答案】A【解析】由三角函数的定义可得cosα＝eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5)，cosβ＝－eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(3,5).所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－eq\f(24,25).3.(2019·石家庄模拟)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为()A.(2cosθ，2sinθ) B.(－2cosθ，2sinθ)C.(－2cosθ，－2sinθ) D.(2cosθ，－2sinθ)【答案】C【解析】由题意知，M的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cosθ，－2sinθ).4.（2019安徽省示范高中高三测试）角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点P（4，y）,且sinθ=−A.−43B.43C.【答案】C【解析】因为角θ的终边经过点P（4，y）,sinθ=−35，所以θ5.（2018安徽合肥二模）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由诱导公式可得：，，所以，由三角函数的定义可得：，则.故选B.6.（2019河北唐山一中模拟）已知角的终边经过点P−8m,−6sin30A.−12B.12C.-【答案】B【解析】由题意得，点P到原点的距离r=64m∴m>0,解得m=7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A(2，1)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))＝()A.－eq\f(2\r(5),5) B.－eq\f(\r(5),5) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)【答案】A【解析】由三角函数定义，cosα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))＝－cosα＝－eq\f(2\r(5),5).8.（2018江西南昌一模）已知角的终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由三角函数的定义知，，所以.故选A9.（2019广州模拟）点P的坐标为（2,0），射线OP顺时针旋转20100后与圆xA.−2,2B.−3【答案】B【解析】顺时针旋转20100后，终边所在位置是-2100，即1500，设Qx010.（2019荆州市高三八校第一次联考）设函数，若角的终边经过点，则的值为（）A．1 B．3 C．4 D．9【答案】B【解析】，所以．11.(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy中，60°角终边上一点P的坐标为(1，m)，则实数m的值为________．【答案】eq\r(3)【解析】∵60°角终边上一点P的坐标为(1，m)，∴tan60°＝eq\f(m,1)，∵tan60°＝eq\r(3)，∴m＝eq\r(3).12.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝________.【答案】－eq\f(4,3)【解析】因为α是第二象限角，所以cosα＝eq\f(1,5)x<0，即x<0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).13.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是________.【答案】(－2，3]【解析】∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴－2<a≤3.14.函数y＝eq\r(2sinx－1)的定义域为________.【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)【解析】∵2sinx－1≥0，∴sinx≥eq\f(1,2).由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z).15.已知sinα<0，tanα>0.(1)求角α的集合；(2)求eq\f(α,2)的终边所在的象限；(3)试判断taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符号.【解析】(1)由sinα<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tanα>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为eq\b\l