高考数学一轮复习 练案（28）第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示（含解析）-人教版高三数学试题

[练案28]第二讲平面向量的基本定理及坐标表示A组基础巩固一、单选题1．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(B)A．2 B．3C．4 D．6[解析]因为a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3.故选B.2．(2020·抚州模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(B)A．3a＋b B．3aC．－a＋3b D．a＋3b[解析]解法一：设c＝ma＋nb，则(4,2)＝(m－n，m＋n)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝4，,m＋n＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1，))所以c＝3a－b.解法二：代入验证法对于A,3a＋b＝3(1,1)＋(－1,1)＝(2,4)≠c，故A不正确；同理选项C、D也不正确；对于B,3a－b＝(4,2)＝3．(2020·北京八十中学月考)已知向量i与j不共线，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up6(→))＝ni＋j，m≠1.若A，B，D三点共线，则mn＝(C)A．eq\f(1,2) B．2C．1 D．－3[解析]∵A，B，D三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λn，,m＝λ，))∴mn＝1.故选C.4．(2020·湖南重点中学联考)已知m＝(5,12)，则与m方向相同的单位向量的坐标是(A)A．(eq\f(5,13)，eq\f(12,13)) B．(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))C．(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)) D．(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))[解析]设所求向量为n＝λm(λ>0)，∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，∴25λ2＋144λ2＝1，得λ＝eq\f(1,13)，∴n＝(eq\f(5,13)，eq\f(12,13))．故选A.5．若M是△ABC内一点，且满足eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BM,\s\up6(→))，则△ABM与△ACM的面积之比为(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．2[解析]设AC的中点为D，则eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，于是2eq\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(BM,\s\up6(→))，从而eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(BM,\s\up6(→))，即M为BD的中点，于是eq\f(S△ABM,S△ACM)＝eq\f(S△ABM,2S△AMD)＝eq\f(BM,2MD)＝eq\f(1,2).6．(2020·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满足eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(9,2)[解析]∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).故选D.二、多选题7．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(BD)A．a＝(1,2)，b＝(0,0)B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)C．a＝(3,2)，b＝(9,6)D．a＝(－eq\f(3,4)，eq\f(1,2))，b＝(－3，－2)[解析]在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B、D.8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且|eq\o(MP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(MN,\s\up6(→))|，则P点的坐标为(BD)A．(－8,1) B．(－1，－eq\f(3,2))C．(1，eq\f(3,2)) D．(7，－eq\f(5,2))[解析]设P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝(－4，eq\f(1,2))，当eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))所以P点坐标为(－1，－eq\f(3,2))．同理当eq\o(MP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))时，可解得P(7，－eq\f(5,2))．故选B、D.三、填空题9．(2020·广西贺州联考)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,8)，则mn＝__7__.[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.10．(2020·北京海淀区期中)已知向量a＝(1,0)，b＝(m，n)，若b－a与a平行，则实数n的值为__0__.[解析]b－a＝(m－1，n)，若b－a与a平行，则n×1＝(m－1)×0，得n＝0.11．设向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，向量λa－2b与a＋b平行，则实数λ＝__－2__.[解析]∵a＝(3,2)，b＝(－1,3)，∴λa－2b＝(3λ＋2,2λ－6)，a＋b＝(2,5)，又λa－2b与a＋b平行，所以5(3λ＋2)＝2(2λ－6)整理得11λ＝－22，即λ＝－2.12．(2020·江西南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2eq\r(5)，a＝λb(λ<0)，则m－n＝__－6__.[解析]∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2eq\r(5)，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20①，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，n>0，,－2m－n＝0))②，联立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.四、解答题13．已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？[解析](1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－eq\f(1,3).此时ka－b＝(k－2，－1)＝(－eq\f(7,3)，－1)，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．14．(2020·河北六校第三次联考)已知向量a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3,1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R.(1)若x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，且a∥(b＋c)，求x的值；(2)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)b＋c＝(sinx－1，－1)，因为a∥(b＋c)，所以－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－eq\f(1,2).又x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，所以x＝－eq\f(π,6).(2)a＋d＝(3＋sinx,1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，所以k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5，由sinx∈[－1,1]，可得k∈[－5，－1]，所以存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．B组能力提升1．(2020·河北石家庄二中模拟)已知a＝(3，t)，b＝(－1,2)，若存在非零实数λ，使得a＝λ(a＋b)，则t＝(B)A．6 B．－6C．－eq\f(3,2) D．eq\f(2,3)[解析]因为a＋b＝(2，t＋2)，a＝λ(a＋b)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,t＝λt＋2，))解得t＝－6.2．(2020·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝(B)A．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b[解析]如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF.∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).则eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,6)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.故选B.3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(A)[解析]由题意知eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.4．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则eq\f(m,n)＝__3__.[解析]如图所示，因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OB,\s\up6(→))⊥eq\o(OA,\s\up6(→)).不妨设|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，则四边形ODCE是矩形.eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)).因为|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，∠COD＝30°，所以|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(3).又因为|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，故eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→)).所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))，此时m＝e