高考数学二轮专题复习 周周练 第二周 三角与立体几何 理-人教版高三数学试题

星期一(三角与立体几何)2016年____月____日1.三角知识(命题意图：在三角形中，考查利用三角恒等变换求角，以及考查余弦定理，面积公式的综合应用，考查考生对三角公式的灵活运用．) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 且2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1. (1)求B的大小； (2)若a＋c＝eq\f(3\r(3),2)，b＝eq\r(3)，求△ABC的面积． 解(1)由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1， 得2cosAcosCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinAsinC,cosAcosC)－1))＝1， ∴2(sinAsinC－cosAcosC)＝1， ∴cos(A＋C)＝－eq\f(1,2)， ∴cosB＝eq\f(1,2)， 又0＜B＜π， ∴B＝eq\f(π,3). (2)由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)， ∴eq\f(（a＋c）2－2ac－b2,2ac)＝eq\f(1,2)， 又a＋c＝eq\f(3\r(3),2)，b＝eq\r(3)， ∴eq\f(27,4)－2ac－3＝ac，ac＝eq\f(5,4)， ∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),16).2．立体几何知识(命题意图：考查线面的位置关系，以及空间向量法求线面角、面面角等．) 如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP＝2，D是AP的中点，E、G分别为PC、CB的中点，F是PD上的点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD. (1)若F是PD的中点，求证：AP∥平面EFG； (2)当二面角G－EF－D的大小为eq\f(π,4)时，求FG与平面PBC所成角的余弦值． (1)证明F是PD的中点时， EF∥CD∥AB，EG∥PB， ∴AB∥平面EFG，PB∥平面EFG，AB∩PB＝B， ∴平面PAB∥平面EFG，AP⊂平面PAB， ∴AP∥平面EFG. (2)解建立如图所示的坐标系， 则有G(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)， 设F(0，0，a)，eq\o(GF,\s\up6(→))＝(－1，－2，a)，eq\o(GE,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)， 设平面EFG的法向量n1＝(x，y，1)， 则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－2y＋a＝0，,－x－y＋1＝0，)) 解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－a，,y＝a－1，)) ∴n1＝(2－a，a－1，1)． 取平面EFD的法向量n2＝(1，0，0)，依题意， cos〈n1，n2〉＝eq\f(2－a,\r(（2－a）2＋（a－1）2＋1))＝eq\f(\r(2),2)， ∴a＝1，于是eq\o(GF,\s\up6(→))＝(－1，－2，1)． 设平面PBC的法向量 n3＝(m，n，1)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0，2，－2)， eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，则有 eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－2＝0，,－2m＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝1.)) ∴n3＝(0，1，1)． 设FG与平面PBC所成角为θ， 则有sinθ＝|cos〈eq\o(GF,\s\up6(→))，n3〉|＝eq\f(1,\r(6