高考数学一轮复习 练案（44）第七章 立体几何 第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（含解析）-人教版高三数学试题

[练案44]第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础巩固一、单选题1．在空间中，下列命题正确的是(D)A．经过三个点有且只有一个平面B．经过一个点和一条直线有且只有一个平面C．经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个D．经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(A)A．4 B．3C．2 D．1[解析]首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(C)A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c[解析]若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(C)A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC[解析]由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.5．(2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(A1B2＋BC\o\al(2,1)－A1C\o\al(2,1),2×A1B×BC1)＝eq\f(4,5)，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq\f(4,5).6．(2018·陕西榆林模拟)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则BM与ANA．eq\f(15,17) B．eq\f(16,17)C．eq\f(5,13) D．eq\f(12,13)[解析]如图，取B1C1的中点P，连接BP，MP.∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，∴AN∥BP，∴∠MBP是BM与AN所成的角(或所成角的补角)．BM＝BP＝eq\r(22＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(17),2)，MP＝eq\r(\f(1,2)2＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(2),2)，∴cos∠MBP＝eq\f(BM2＋BP2－MP2,2BM·BP)＝eq\f(\f(17,4)＋\f(17,4)－\f(2,4),2×\f(\r(17),2)×\f(\r(17),2))＝eq\f(16,17).∴BM与AN所成的角的余弦值为eq\f(16,17).故选B.7．(2019·江西高安期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E①CC1与B1E是异面直线；②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C③AC⊥平面ABB1A1④A1C1∥平面AB1EA．② B．①③C．①④ D．②④[解析]对于①，CC1，B1E都在平面BB1CC1内，故错误；可排除B、C，对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C8．(2019·福建长汀、连城一中等六校联考)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为2、侧棱长为2eq\r(3)，D、E分别是AB、SC的中点，则异面直线DE与BC所成的角的大小为(B)A．90° B．60°C．45° D．30°[解析]作SO⊥平面ABC于O，则C、O、D共线，由题意可知CO＝eq\f(2\r(3),3)，∴cos∠SCD＝eq\f(1,3)，取SB的中点H，连HE，HD，则HE∥BC，从而∠HED即为异面直线DE与BC所成的角，且HE＝1，DH＝eq\r(3)，又DE2＝DC2＋CE2－2DC·CE·cos∠DCS＝4，∴∠EHD＝90°，又EH＝eq\f(1,2)DE，∴∠HED＝60°，故选B.9．(2019·福建漳州二模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点，则异面直线AD1与OC1A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(2\r(5),5)[解析]由题意知O∈BD，连BC1，则BC1∥AD1，∴∠OC1B即为AD1与OC1所成的角，设正方体棱长为a，则BO＝eq\f(\r(2),2)a，BC1＝eq\r(2)a，又BC1＝DC1，∴C1O⊥BD，∴sin∠OC1B＝eq\f(1,2)，从而cos∠OC1B＝eq\f(\r(3),2)，故选C.10．(2019·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θA．(0，eq\f(π,2)) B．(0，eq\f(π,2)]C．[0，eq\f(π,3)] D．(0，eq\f(π,3)]二、多选题11．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的是(ABC)[解析]在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ//RS，∴P，Q，R，S共面；如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面，故选ABC.12.(原创)三个平面可将空间分成()部分(ACD)A．4 B．5C．7 D．8[解析]三个平面可将空间分成4或6或7或8部分．13．(2020·湖北名师联盟模拟改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1DA．直线EF，AO是异面直线B．直线EF，BB1是相交直线C．直线EF与BC1所成角为30°D．直线EF与BB1所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3)[解析]OF綊AE，EF、AO是相交直线，A错；EF、BB1是异面直线，B错；如图，OF綊BE，∴EF∥BO，∴∠C1BO为EF与BC1所成的角，设正方体棱长为2，则BC1＝2eq\r(2)，OC1＝eq\r(2)，BO＝eq\r(6)，∴BCeq\o\al(2,1)＝OCeq\o\al(2,1)＋BOeq\o\al(2,1)，即BO⊥OC1，∴∠OBC1＝30°，C对；EF与BB1所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)，D错；故选ABD.三、填空题14．(2020·郑州质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为eq\f(2,5).[解析]如图所示，取AB的中点E，连接B1E，则AM∥B1E，取EB的中点F，连接FN，则B1E∥FN，因此AM∥FN，则直线FN与CN所夹的锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角，设AB＝1，连接CF，在△CFN中，CN＝eq\f(\r(5),2)，FN＝eq\f(\r(5),4)，CF＝eq\f(\r(17),4).由余弦定理，得cos∠CNF＝eq\f(CN2＋FN2－CF2,2CN·FN)＝eq\f(2,5).15．(2019·云南模拟)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，则异面直线AB1与C1B所成的角是__90°__.[解析]将正三棱柱补成四棱柱，如图，设BB1＝eq\r(2)，则AB＝2，连接AD1，BD1，则BC1∥AD1，∴∠D1AB1即为异面直线AB1与BC1所成的角，又由题意易知AB1＝AD1＝eq\r(6)，B1D1＝2eq\r(3)，∴B1Deq\o\al(2,1)＝ABeq\o\al(2,1)＋ADeq\o\al(2,1)，∴∠B1AD1＝90°.另解1：本题若取A1B1的中点D，连DC1，易证AB1⊥平面BDC1，从而AB1⊥BC1.另解2：可建立空间直角坐标系，用向量法求解．B组能力提升1．(2020·甘肃诊断)直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BB′＝eq\r(5)，则异面直线AC′与B′C所成角的余弦值为eq\f(1,15).[解析]连接BC′，交CB′于E，则E为BC′为中点，取AB中点F，连接EF，故EF∥AC′，则∠FEC或其补角为所求，又EF＝eq\f(1,2)AC′＝eq\f(5,2)，FC＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，CE＝eq\f(1,2)B′C＝eq\f(3,2)，在三角形EFB中，cos∠FEC＝eq\f(1,15)，故答案为eq\f(1,15).2.(2020·河北衡水中学调研)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧eq\x\to(BC)的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(D)A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(30),6) D．eq\f(\r(6),6)[解析]由题意可知AD∥BC，∴∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角，设圆柱上、下底面圆心为O，O1，连OE、OA、ED，不妨设正方形ABCD的边长为2，则AO＝eq\r(5)，从而AE＝ED＝eq\r(6)，则cos∠EAD＝eq\f(1,\r(6))＝eq\f(\r(6),6)，即AE与BC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),6)，故选D.3．(多选题)如图是侧棱长和底面边长都相等的正四棱锥的平面展开图，M，N，P，Q分别是边BF，AB，CD，DH的中点，则在这个正四棱锥，下列四个结论正确的为(BD)A．MN和CD平行B．CE和PQ平行C．MN和PE所成的角为60°D．EP和AB垂直[解析]正棱锥直观图如图，显然MN与CD异面，A错；B对；连AP，由MN∥AE知，∠AEP为异面直线MN与PE所成的角，设四棱锥的棱长为2a，则AP＝eq\r(5)a，PE＝eq\r(3)a，∴cos∠AEP＝eq\f(2a2＋\r(3)a2－\r(5)a2,2×2a×\r(3)a)＝eq\f(\r(3),6)，C错；∵PE⊥CD，CD∥AB，∴PE⊥AB，D对．故选B、D.4．(2019·西安模拟)如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为__60°__.[解析]将图形补成正方体，如图，连BH，HD，则∠HBD即为异面直线AP与BD所成的角，又BH＝BD＝HD，∴∠HBD＝60°.5.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥A－EBC的体积．[解析](1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，∴AE与PB是异面直线．(2)取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异