新高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课时作业64 古典概型（含解析）-人教版高三数学试题

课时作业64古典概型一、选择题1．某地铁站有A，B，C三个检票口，甲、乙两人一同进站，则他们选择同一检票口检票的概率为(C)A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：他们选择检票口的所有情况有n＝3×3＝9(种)，他们选择同一检票口检票的情况有m＝3(种)，∴他们选择同一检票口检票的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).故选C.2．已知x，y∈{1,2,3,4,5,6}，且x＋y＝7，则y≥eq\f(x,2)的概率为(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)解析：(x，y)的所有可能情况有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，满足y≥eq\f(x,2)的有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，故所求概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故选B.3．现有一个不透明的口袋中装有标号为1,2,2,3的四个小球，它们的大小、质地完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为(D)A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,8) D.eq\f(5,8)解析：随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球的试验结果共有4×4＝16(种)，号码相同的情况共有6种，则号码不同的概率P＝1－eq\f(6,16)＝eq\f(5,8)，故选D.4．在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两个顶点间的距离大于1的概率为(C)A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)解析：在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有10种不同的取法，又正五边形共有5条对角线，满足两个顶点间距离大于1，所以所求概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，故选C.5．某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有质地、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为(C)A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(3,5)解析：总的取法有Ceq\o\al(2,5)＝10(种)，两球颜色相同的取法有Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝4(种)，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故选C.6．某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是(D)A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(7,10)解析：从5名干部中随机选取2人有Ceq\o\al(2,5)＝10(种)选法，其中只选中A没选中B有Ceq\o\al(1,3)＝3(种)选法，只选中B没选中A有Ceq\o\al(1,3)＝3(种)选法，A和B均选中有1种选法，所以所求概率P＝eq\f(3＋3＋1,10)＝eq\f(7,10)，故选D.7．2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为(B)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,9)解析：基本事件总数为Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝9，他们选课相同的事件总数为Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,1)＝3，∴他们选课相同的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).故选B.8．(多选题)以下对各事件发生的概率判断正确的是(BCD)A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是eq\f(1,3)B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq\f(1,15)C．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是eq\f(5,36)D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是eq\f(1,2)解析：对于A，画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P(甲获胜)＝eq\f(1,3)，P(乙获胜)＝eq\f(1,3)，故玩一局甲不输的概率是eq\f(2,3)，故A错误；对于B，不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3,2与5,2与7,2与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7,5与11,5与13,7与11,7与13,11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq\f(1,15)，故B正确；对于C，基本事件总共有6×6＝36种情况，其中点数之和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5种情况，则所求概率是eq\f(5,36)，故C正确；对于D，记三件正品为A1，A2，A3，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为A1A2，A1A3，A1B，A2A3，A2B，A3B，共6种，其中两件都是正品的有A1A2，A1A3，A2A3，共3种，则所求概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故D正确．故选BCD.二、填空题9．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是eq\f(5,6).解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件eq\x\to(A)＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，eq\x\to(A)包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).10．从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为eq\f(2,5).解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).11．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的表征，从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各1对)的实验箱中每次拿出1只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为eq\f(2,3).解析：设四只小鼠分别为A1，A2，B1，B2，其中A1，A2为白色斑块小鼠，B1，B2为短鼻子小鼠，从四只小鼠中不放回地拿出2只，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)方法，其中不是同一表征的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，共4种，结合古典概型的概率计算公式可得，所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).12．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是eq\f(1,4).解析：由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111,222.若用两种颜色有122,212,221,211,121,112.所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为eq\f(1,4).三、解答题13．在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,40)，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是eq\f(1,40).(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(4,4),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,10)，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝eq\f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝eq\f(3,4).14．某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生各随机抽取100人的成绩进行统计分析，制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是eq\f(5,30＋45)＝eq\f(1,15)，所以样本中包含的男生人数为30×eq\f(1,15)＝2，女生人数为45×eq\f(1,15)＝3.则从5人中任意选取2人共有Ceq\o\al(2,5)＝10种，抽取的2人中没有一名男生有Ceq\o\al(2,3)＝3(种)，则至少有一名男生有Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(2,3)＝7(种)．故至少有一名男生的概率为P＝eq\f(7,10)，即选取的2人中至少有一名男生的概率为eq\f(7,10).15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为(D)A.eq\f(1,14) B.eq\f(1,7)C.eq\f(5,28) D.eq\f(5,14)解析：观察八卦图可知，含有3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有三根阳线和三根阴线的概率为eq\f(C\o\al(1,1)×C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,3)×C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14).故选D.16．某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1kg的包裹收费10元；质量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收5元．该公司对近60天每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围0～100101～200201～300301～400401～500包裹件数(近似处理)50150250350450天数6630126(1)某人打算将A(0.3kg)，B(1.8kg)，C(1.5kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，