中考数学真题及答案

中考数学真题及答案

一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）

1.-2的绝对值是（）

5

A.-5B.工C.5D,4

5

2.下列图形中是轴对称图形的是（）

3.预计到2025年，中国561用户将超过460000000,将460000000用科学记数法表示为（

A.4.6X109B.46X107C.4.6X108D.0.46X109

5.这组数据20,21,22,23,23的中位数和众数分别是（）

A.20,23B.21,23C.21,22D.22,23

6.下列运算正确的是（）

A.才+才=4B.Cr.(/a3)\1—_a12I),(ad)~—alf

D.Z1=Z3

8.如图，已知AB=5,BC=3,以46两点为圆心，大于的长为半径画圆弧,两弧相交于点

2

M,N,连接处'与〃1相交于点〃，则△加C的周长为（）

A.8B.10C.11D.13

9.已知尸（aWO）的图象如图，贝!］尸。户8和y=£■的图象为（）

A.矩形对角线互相垂直B.方程f=14x的解为x=14

C.六边形内角和为540°D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

11.定义一种新运算\an'/'dx=d'-乩例如心2%办=炉-冷若「m--2dx=-2,

JbJnJ5mx

A.-2B.-ZC.2D.2

55

12.已知菱形/腼，E、厂是动点，边长为4,BE=AF,ZBAD=120°,则下列结论正确的有几个（）

①△跖屋②尸为等边三角形；③NAGE=NAFC；④若〃'=1,则如=工.

二、填空题（每小题3分，共4小题，满分12分）

13.分解因式：ae-a=.

14.现有8张同样的卡片，分别标有数字：1,1,2,2,2,3,4,5,将这些卡片放在一个不透明的盒子

里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是.

15.如图，在正方形/时中，BE=1,将比1沿龙翻折，使8点对应点刚好落在对角线47上，将澳沿"'

翻折，使〃点对应点刚好落在对角线4c上，求加.

16.如图，在RtZk4?C中，NABC=90°,C（0,-3）,334〃点力在反比例函数尸K图象上，且y轴

X

平分N力6S,求★=.

三、解答题（第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第

23题9分，满分52分）

17.（5分）计算：2cos60°+（工）-1+（n-3.14）0

8

18.（6分）先化简（1-旦）4-—^：—,再将x=-l代入求值.

x+2X2+4X+4

19.（7分）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学

生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.

A

U古筝二胡竹笛扬琴其他‘乐器类型

（1）这次共抽取名学生进行调查，扇形统计图中的才=:

（2）请补全统计图；

（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是度；

（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有名.

20.（8分）如图所示，某施工队要测量隧道长度844〃=600米，ADLBC,施工队站在点〃处看向8,测

得仰角为45°,再由〃走到£处测量，DE//AC,劭=500米，测得仰角为53°,求隧道比1长.（sin53°

^―,cos53°«»—,tan53°=»且）.

553

/发电厂比6发电厂多发40度电，4焚烧20吨垃圾比

6焚烧30吨垃圾少1800度电.

(1)求焚烧1吨垃圾，/和6各发电多少度？

(2)4、6两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，4焚烧的垃圾不多于8焚烧的垃圾两倍，求4厂和8厂总发

电量的最大值.

22.(9分)如图抛物线经尸ay+bt+c过点/(-1,0),点。(0,3),豆OB=OC.

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点〃、£在直线x=l上的两个动点，且朦=1,点〃在点£的上方，求四边形4仪艺的周长的最小

值.

(3)点。为抛物线上一点，连接，直线"把四边形函的面积分为3：5两部分，求点P的坐标.

23.(9分)已知在平面直角坐标系中，点4(3,0),6(-3,0),(7(-3,8),以线段比'为直径作圆,

圆心为E,直线“'交。£于点D,连接OD.

(1)求证：直线如是。£的切线；

(2)点尸为x轴上任意一动点，连接行'交。£于点G,连接班;

①当tan/4gL时，求所有尸点的坐标(直接写出);

7

②求此的最大值.

2019年广东省深圳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）

1.-2的绝对值是（）

5

A.-5B.工C.5D.-工

55

【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；•个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得

55

故选：B.

【点评】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是掌握绝对值的性质.

2.下列图形中是轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：尔是轴对称图形，故本选项正确；

6、不是轴对称图形，故本选项错误；

G不是轴对称图形，故本选项错误；

以不是轴对称图形，故本选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

3.预计到2025年，中国5G用户将超过460000000,将460000000用科学记数法表示为（）

A.4.6X109B.46X107C.4.6X108D.0.46X109

【分析】科学记数法的表示形式为aX10”的形式，其.中lW|a|<10,〃为整数.确定〃的值时，要看

把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，〃

是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数

【解答】解：将460000000用科学记数法表示为4.6XIO".

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,

〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

4.下列哪个图形是正方体的展开图（）

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.

【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项4、C、〃不是正方体展开图；选项8是正方体展开图..

故选：B.

【点评】此题主要考查了正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1

-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行

放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展

开图：第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形.

5.这组数据20,21,22,23,23的中位数和众数分别是（）

A.20,23B.21,23C.21,22D.22,23

【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位

置的数就是这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.

【解答】解：这组数据排序后为20,21,22,23,23,

中位数和众数分别是22,23,

故选：D.

【点评】本题主要考查了中位数以及众数，中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数

没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现.

6.下列运算正确的是（）

A.^+eC—aB.a*a—a'C.（a‘）'—a1D.（ah'）2—al）

【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幕的乘法、幕的乘方以及积的乘方化简即可判断.

222

【解答】解：A.a+a=2a,故选项4不合题意；

B.a*a=a,故选项6不合题意；

C.（成）4=a'\故选项。符合题意；

D.（aZ＞）'—故选项〃不合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了塞的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键.

7.如图，已知L//AB,4c为角平分线，下列说法错误的是（）

A.Z1=Z4B.Z1=Z5C.Z2=Z3D.Z1=Z3

【分析】利用平行线的性质得到N2=N4,Z3=Z2,N5=N1+N2,再根据角平分线的定义得到N1

=N2=/4=N3,Z5=2Z1,从而可对各选项进行判断.

【解答】解：•••、〃/川

.*.Z2=Z4,Z3=Z2,Z5=Z1+Z2,

为角平分线，

.•.Z1=Z2=Z4=Z3,Z5=2Z1.

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等：两直线平行，同旁内角互补；两直线平

行，内错角相等.

8.如图，已知AB=5,BC=3,以46两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点

2

M,N,连接腑与然相交于点〃，则△胸的周长为（）

【分析】利用基本作图得到肠V垂直平分48,利用线段垂直平分线的定义得到的=如，然后利用等线段

代换得到△班C的周长=/0及7.

【解答】解：由作法得加，垂直平分/反

：.DA=DB,

；.△比右的周长=Dt*DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.

故选：A.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已

知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直

平分线的性质.

9.己知尸(aWO)的图象如图，则.『a肝&和y=£•的图象为()

【分析】根据二次函数尸ax°+以+c(aWO)的图象可以得到a<0,b>0,c<0,由此可以判定y=ajr+6

经过一、二、四象限，双曲线y=£在二、四象限.

【解答】解：根据二次函数y=a*+6x+c(a#0)的图象，

可得a<0,b>Q,c<0,

过一、二、四象限,

双曲线y=£在二、四象限，

x

是正确的.

故选：C.

【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系.

10.下面命题正确的是()

A.矩形对角线互相垂直

B.方程x?=14x的解为x=14

C.六边形内角和为540°

D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；

由方程f=14x的解为x=14或x=0得出选项6不正确；

由六边形内角和为(6-2)X1800=720°得出选项C不正确；

由直角三角形全等的判定方法得出选项〃正确：即可得出结论.

【解答】解：A.矩形对角线互相垂直，不正确；

B.方程x?=14x的解为x=14,不正确；

C.六边形内角和为540°,不正确；

D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；

故选：D.

【点评】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等

的判定；要熟练掌握.

11.定义一种新运算RanW'dx-',例如「k2x办=炉-冷若「m-2dx=-2,则必=()

JbJnJ5nlx

A.-2B.-ZC.2D.2

55

【分析】根据新运算列等式为"尸-(5加一1=-2,解出即可.

【解答】解：由题意得：0(5加T=-2,

l-J_=-2,

in5m

5-1=-10/zz,

故选：B.

【点评】本题考查了负整数指数幕和新定义，理解新定义，并根据新定义进行计算是本题的关键.

12.已知菱形力"9,E、尸是动点，边长为4,BE=AF,ZBAD=120°,则下列结论正确的有几个()

①△龙屋△加&②为等边三角形；③NAGE=NAFC：④若4尸=1,则更=工

【分析】①△松屋△/尾(必S),正确；②由△班修△加S得CE=CF,ZBCE=4ACF,由

£。=/6。=60°,得/4衿/£。=60,所以△庇尸是等边三角形，正确：③因为/4?£'=/。丹/力尸G

=60°+ZAFG,ZAFC=ZCFG^AAFG=60°+NMG,所以//侬=N/AG故③正确；④过点£作£"灰

交下点〃点，易证是等边三角形，则£；4/£=3,由"1〃£%则迎=坦=工.故④正确,

EGEM3

【解答】解：①△鹿四(SAS),正确：

②•：△BEC^XAFC,

:.CE=CF,4BCE=NACF,

,:NBCA/ECA=/BCA=6Q°,

：.ZAC/^-ZECA=60,

...△a%是等边三角形，

故②正确；

③AAGE=ZCAF+ZAFG=60°+NAFG；

■/仍=60°+ZAFG,

：.ZAGE=/AFC,

故③正确正确；

④过点£作EM〃BC交然下点"点,

易证△4£犷是等边三角形，则EM=AE=3,

,:AF〃EM,

.,.则竺=更=工

EGEM3

故④正确，

故①②③④都正确.

故选：D.

【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质以及全等三角形的判定与性质

是解题的关键.

二、填空题(每小题3分，共4小题，满分12分)

13.分解因式：-a=a(出1)(方-1).

【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=a(b-1)=a(Z^l)(6-1),

故答案为：a(6-1)

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

14.现有8张同样的卡片，分别标有数字：1,1,2,2,2,3,4,5,将这些卡片放在一个不透明的盒子

里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是_a_.

【分析】直接利用概率公式计算进而得出答案.

【解答】解：•••现有8张同样的卡片，分别标有数字：1,1,2,2,2,3,4,5,

将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是：

_3

8"

故答案为：1.

8

【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握计算公式是解题关键.

15.如图，在正方形/%中，BE=\,将比1沿龙翻折，使6点对应点刚好落在对角线〃'上，将川9沿井

翻折，使〃点对应点刚好落在对角线4c上，求如=_近_.

Bl-----------771C

【分析】作£归_/6于点机根据折叠的性质与等脾直角三角形的性质得出EX=EB=4X=1,NEXC=2B

=90°,AkDF=YF=l,由勾股定理得到力£=五居*=&.那么正方形的边长力4£「我+1,

£I/=V2-1,然后利用勾股定理即可求出EF.

【解答】解：如图，作用吐45于点也

:四边形/腼是正方形，

：./胡。=/。片45°.

•.•将BC沿龙翻折，夕点对应点刚好落在对角线W上的点X

：.EX=EB=AX=\,NEXC=NB=9Q°,

•F£=YAX2+EX2=&.

•••将/〃沿加7翻折，使〃点对应点刚好落在对角线4C上的点Y,

:.AM=DF=YF=1,__

，正方形的边长AB=同右业+],-],

£7?=VEP+FM2=J(&-1)2+(&+1)2=注,

故答案为，

B

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不

变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了正方形的性质以及勾股定理.求出与用/是解题的关

键.

16.如图，在RtA46C中，乙奶。=90°,C(0,-3),334〃点力在反比例函数y=k图象上，且y轴

%分乙ACB,求衣=研

【分析】要求〃得值，通常可求/的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用5=34〃和C(0,

-3)可以求出4的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求

出待定未知数，从而确定点力的坐标，进而确定在的值.

【解答】解：过4作轴，垂足为缶

'：C(0,-3),

：.OC=i,

可证△力应

•..—AE一-.D.E.AD—'1f

C0-0D-CD-3

：.AE=1；

又•・»轴平分N4微COLBD

：.BO=OD

♦：NABC=90°

△ABE〜COD

・AEJE

**0D^0C

设DE=n,贝ijBO=OD=in9BE=ln,

,.•—1=_—7n，

：.OE=4n=处

7

：.A（9近,1）

7

：.k=&i至.

77

故答案为：

7

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求

4的坐标，依据/在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出％的值.综合性较强，注意转化思想方法

的应用.

三、解答题（第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第

23题9分，满分52分）

17.（5分）计算：V9-2cos60°+(工)-1+(it-3.14)0

8

【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数基的性质、负指数基的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=3-2XL+8+1

2

=3-1+8+1

=11.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.（6分）先化简（1-工）土—,再将x=-1代入求值.

x+2x2+4x+4

［分析】直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案.

2

【解答】解：原式=@X（x+2）

x+2x-1

=户2,

将x=-1代入得：

原式=户2=1.

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键.

19.（7分）某校为了J'解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学

生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.

扇形统计图中的*=15%

(3)在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是36度;

(4)若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有900名.

【分析】（1）依据喜爱古筝的人数数据，即可得到调查的学生人数，根据喜欢竹笛的学生数占总人数的

百分比即可得到结论；

（2）求二胡的学生数，即可将条形统计图补充完整；

（3）依据“扬琴”的百分比，即可得到“扬琴”所占圆心角的度数；

（4）依据喜爱“二胡”的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱“二胡”的学生数量.

【解答】解：（1）80・40%=200,x=」&X100%=15%,

200

故答案为：200；15%；

（2）喜欢二胡的学生数为200-80-30-20-10=60,

补全统计图如图所示，（3）扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是：360°X也=36°,

200

故答案为：36；

(4)3000X_§L=900,

20.（8分）如图所示，某施工队要测量隧道长度6G49=600米，ADVBC,施工队站在点〃处看向8,测

得仰角为45°,再由〃走到《处测量，DE//AC,切=500米，测得仰角为53°,求隧道8c长.（sin53°

^―,cos53°^―,tan53°

【分析】作"匕4c于M,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：在中，四=4?=600,

作而然于也

则AM-应'=500,

.•.胤/=100,

在Rt△酸V中，tan53°=里=。1=2,

EM6003

."1/=800,

：.BC-GI/=800-100=700（米），

答：隧道a1长为700米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键.

21.（8分）有/、8两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，/发电厂比8发电厂多发40度电，/焚烧20吨垃圾比

8焚烧30吨垃圾少1800度电.

（1）求焚烧1吨垃圾，｛和8各发电多少度？

（2）/、占两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，力焚烧的垃圾不多于8焚烧的垃圾两倍，求/厂和8厂总发

电量的最大值.

【分析】(1)设焚烧1吨垃圾，力发电厂发电X度，6发电厂发电y度，根据“每焚烧一吨垃圾，力发电

厂比8发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比6焚烧30吨垃圾少1800度电”列方程组解答即可；

(2)设{发电厂焚烧x吨垃圾，则〃发电厂焚烧(90-x)吨垃圾，总发电量为y度，得出y与x之间

的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可.

【解答】解：(1)设焚烧1吨垃圾，4发电厂发电x度，8发电厂发电y度，根据题意得：

(a-b=40,解得［a=300,

l30b-20a=1800|b=260

答：焚烧1吨垃圾，4发电厂发电300度，6发电厂发电260度；

(2)设4发电厂焚烧x吨垃圾，则6发电厂焚烧(90-x)吨垃圾，总发电量为y度，则

y=300户260(90-x)=40A+23400,

：xW2(90-x),

；.xW60,

随x的增大而增大，

...当x=60时，y有最大值为：40X60+23400=25800(元).

答：/厂和8厂总发电量的最大是25800度.

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，理清数量关系列出方程组是解答

本题的关键.

22.(9分)如图抛物线经尸af+6x+c过点1(-1,0),点C(0,3),&OB=OC.

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点、D、£在直线x=l上的两个动点，且龙=1,点〃在点后的上方，求四边形/侬的周长的最小

值.

(3)点0为抛物线上一点，连接CP,直线h把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点户的坐标.

【分析】(1)OB—OC,则点B(3,0),则抛物线的表达式为：y—a(产1)(x-3)—a(7-2x-3)=

ax-lax-3a,即可求解；

(2)CDyAE=A'D^DC,则当4'、D、C三点共线时，CD^AE=A'ADC最小，周长也最小，即可求

解；

(3)S4K产LEBX{yc-//>)：—AE>i％)—BE：AE,即可求解.

22

［解答］解：(1);OB=OC,：.点、BQ3,0),

则抛物线的表达式为：尸a(户1)(x-3)—aO2-2x-3)=ax-2ax-3a,

故-3a=3,解得：a=-1»

故抛物线的表达式为：尸-/+2*+3…①；_

(2)4aB的周长=4%的办4反其中47=仍5、应’=1是常数，

故办力£最小时，周长最小，

取点。关于函数对称点C(2,3),则必=C'D,

取点H(-1,1),则卬D^AE,

故：CD^AE=A'次DC,则当/'、D、C三点共线时，CD^AE=A'次DC'最小，周长也最小,

四边形定的周长的最小值=力0庞+切伍+1+4及DC=伍+1+/C=710+1+713；

直线b把四边形加1的面积分为3：5两部分，

又；见科：S&PC产LEBX（.ye-%■）：^AEX（y「yp）=BE：AE,

22

则应'：AE,=3：5或5：3,

则力6=5或3,

22

即：点〃的坐标为（？，0）或（!，0）,

22

将点反C的坐标代入一次函数表达式：7=^+3,

解得：4=-6或-2,

故直线）的表达式为：y=-2A3或y=-6k3…②

联立①②并解得：x=4或8（不合题意值己舍去），

故点。的坐标为（4,-5）或（8,-45）.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1）,

通过确定点/点来求最小值，是本题的难点.

23.（9分）已知在平面直角坐标系中，点4（3,0）,6（-3,0）,（7（-3,8）,以线段比'为直径作圆，

圆心为反直线〃'交。£■于点〃，连接切.

（1）求证：直线如是。£的切线；

（2）点尸为x轴上任意一动点，连接行1交。后于点G,连接以；；

①当tanN〃7%时，求所有尸点的坐标1等，。），用（5,0）（直接写出）;

②求此的最大值.

【分析】（1）连接£9,证明/瓦切=90°即可，可通过半径相等得到/敛?=/巡，根据直角三角形斜

边上中线等于斜边一半得加=成t/0,AODB=AOBD,得证；

(2)①分两种情况：a)厂位于线段4?上，6)?位于班的延长线上；过尸作4。的垂线，构造相似三角

形，应用相似三角形性质可求得点尸坐标；

②应用相似三角形性质和三角函数值表示出空■=、CG2(64YG2),号尸CG(64-cC)=-(C62-

CF64

32)2+32'2,应用二次函数最值可得到结论.

【解答】解：(1)证明：如图1,连接・・,加为圆的直径，

:•/BDC=9S,

・・・N薇4=90°

U：OA=OB

：.OD=OB=OA

：./OBD=/ODB

'：EB=ED

：.AEBD=AEDB

:.EB屏4OBD=/EDBQODB

即：/EBO=/EDO

,・,血才轴

:"EBO=9C

：.ZEDO=90°

・・•点〃在。£上

工直线。〃为。夕的切线.

(2)①如图2,当/位于/步上时，过尸作£八5”于M

^RNA,AC

:•/ANR=4ABC=9V

：./\ANF^/\ABC

•AN二叫二A』i

..屈"二BCIT

•:AB=6,BC=R,____

AAC=^2g2=10,B|JAB：BC：47=6：8：10=3：4：5

^AB2+BC2=6+

・・・设4g=3h则筋;=4hAE=5k

：.CN=CA-AN=\Q-i,k

u*KT

.'.tanZ/CT7=—i—=———,解得：A=H

CN10-3k731

AFi=5k="1^

OX

即£(91,0)

31

如图3,当尸位于劭的延长线上时，过用作用也L。于M

■:/\AMFy/\ABC

.•.设4Q3%,则啰=4%AR=5k

.•.6¥=。+4仁10+3A

/.tan/4g4k

CM-10+3k7

解得：仁|

；.45=5A=2

研=3+2=5

即&(5,0)

故答案为：E(93,0),A(5,0).

31

②如图4,：龙为直径

：.2CGB=/CBF=9Q°

:.△CBGsRFB

-BG_BC_CG

"BF=CF=BC

:.Bd=CG、CF

g.DC：

CG

•"彳+初=初,

:.B6=BC-C(f

...BG2=BC2-CG2=(64-CG2)・CG2

CF2Ki642

CG2

.BG^7CG2(64-CG2)

'#CF64-

号尸CG(64-C0)=-%+64密=-[(偌-32)2-322]=-(Z-32)z+322

•••当”=32时,y最大值=32?

此时CG=4近

喘）最大值32=1

64~2

【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的

性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相

似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键.

中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）（2022•青岛）我国古代数学家祖冲之推算出n的近似值为里它与IT的误差小于0.0000003.将

113

0.0000003用科学记数法可以表示为（）

A.3X10-7B.0.3X10-6C.3X10'6D.3X107

2.（3分）（2022•青岛）北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506件，其中很多

设计方案体现了对称之美.以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.（3分）（2022•青岛）计算（V27-A/12）X患的结果是（）

A.叵B.1C.V5D.3

4.（3分）（2022•青岛）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的儿何体，它在我国古代数学名著《九

章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是（）

（图①）

5.（3分）（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于。。,点M在杷上，则ZCME的度数为（）

36C.45°D.60

6.（3分）（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位,再绕原点O旋转180°,得到△AB'C,则

点A的对应点4的坐标是（）

A.(2,0)B.(-2,-3)C.(-1,-3)D.(-3,-1)

7.（3分）（2022•青岛）如图，。为正方形A8CQ对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB=2,则

A.近B.V6C.2V2D.273

2

8.（3分）（2022•青岛）已知二次函数y=o?+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=-1,且经过点（-

3,0）,则下列结论正确的是（）

A.h>0B.c<0C.a+h+c>0D.3〃+c=0

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）（2022•青岛）-1的绝对值是

2

10.（3分）（2022•青岛）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效

果三项分别是9分、8分、8分.若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛

成绩为分.

11.（3分）（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为

主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前

提高了25%,少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程

为.

12.（3分）（2022•青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效

果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④

着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中/ABC的度数是°.

图①图②图③图④

13.（3分）（2022•青岛）如图，AB是。。的切线，B为切点，0A与。。交于点C,以点A为圆心、以OC

的长为半径作而，分别交A8,AC于点E,F.若OC=2,AB=4,则图中阴影部分的面积为.

14.（3分）（2022•青岛）如图，已知△ABC,AB=AC,BC=16,AD±BC,NA8C的平分线交AD于点E,

且。£=4.将NC沿GM折叠使点C与点E恰好重合.下列结论正确的有：.（填写序号）

①BO=8

②点E到AC的距离为3

③

3

@EM//AC

三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保保留作图痕迹。

15.（4分）（2022•青岛）己知：RtAABC,ZB=90°.

求作：点尸，使点P在AABC内部.且PB=PC,ZPBC=45°.

四、解答题（本大题共10小题，共74分）

16.（8分）（2022•青岛）（1）计算：一-4-（1+^^）；

a2-4a+4a-2

’2x》3（x-1）,

（2）解不等式组：x『

2号＜L

17.（6分）（2022•青岛）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光

富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情.小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了

一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得.小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，

谁获胜谁分享.游戏规则如下：

甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1,2,3,4,5的五个球，两口袋中的球除编号外

都相同.小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇

数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜.

请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

18.（6分）（2022•青岛）己知二次函数y=W+znx+/-3（m为常数，机＞0）的图象经过点P（2,4）.

（1）求团的值；

（2）判断二次函数尸/+〃a+苏-3的图象与x轴交点的个数，并说明理由.

19.（6分）（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大边，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”

健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道

的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行

至点。处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到。处的距离.

（参考数据：sin40°七0.64,cos40°g0.77,tan40°七0.84,sin68°比0.93,cos68°七0.37,tan68°七

2.48）

20.（6分）（2022•青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师.阅读、

书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙.某校为了解学生兴趣

爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容

是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表:

学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表

组别时长t（单人数累计人数

位：h）

第一组1WY2正正正正正正30

第二组2WY3正正正正正正正正正正正正60

第三组3Wf<4正正正正正正正正正正正正正70

正

第四组4Wf<5正正正正正正正正40

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第组；

（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为,对

应的扇形圆心角的度数为°;

（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2/?,请你估计，该校学生中有多少人需要增加

自主发展兴趣爱好时间？

学生每周自主发展兴趣爱好时长频数白方图

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在AABC和△A8C中，AD,WD'分别是BC和8C边上的高线，且AO=4。,、MAABC

和△48。是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用SAABC,SMB。分别表示△ABC和AA'B'C的面积,

贝S^BC^^-BC*AD,SM'B'C=^B'C'・A'D',

22

\"AD=A'D'

SMBC：SAA,BC=BC：BC.

【性质应用】

(1)如图②，。是aABC的边BC上的一点.若BD=3,DC=4,则SAABD：SAADC=；

(2)如图③，在aABC中，D,E分别是BC和A8边上的点.若BE：A8=l：2,CD：BC=1：3,SA

ABC—1,贝！1S&BEC=,S&CDE=；

(3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和A8边上的点.若BE：AB=\：m,CD：BC=\：n,S

△ABC=d则S&CDE=

22.(8分)(2022•青岛)如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C,与反比例函数y=-2

x

的图象在第二象限相交于点A