应用时间序列分析（第5版）易丹辉-习题答案

第一章习题答案

略

第二章习题答案

2.1

SAS命令

dataa;

inputx@@;

t=_n_;

cards;

1234567891011121314151617181920

procarimadata=a;

identifyvar=xnlag=12;

run;

答案：

（1）不平稳，有典型线性趋势

（2）1-6阶自相关系数如下

自相关

0.8500.7020.5560.4150.2800.153

（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图

2.2

SAS命令

dataa;

inputco2@@;

time=intnx('month','01jan1975,d,_n_-l);

cards;

330.45330.97331.64332.87333.61333.55

331.90330.05328.58328.31329.41330.63

331.63332.46333.36334.45334.82334.32

333.05330.87329.24328.87330.18331.50

332.81333.23334.55335.82336.44335.99

334.65332.41331.32330.73332.05333.53

334.66335.07336.33337.39337.65337.57

336.25334.39332.44332.25333.59334.76

335.89336.44337.63338.54339.06338.95

337.41335.71333.68333.69335.05336.53

337.81338.16339.88340.57341.19340.87

339.25337.19335.49336.63337.74338.36

procarimadata=a;

identifyvar=co2nlag=24;

run;

答案：

(1)不平稳

观测

（2）延迟1-24阶自相关系数

白噪声的自相关检查

至滞后卡方自由度Pr＞亲方自相关

6139.506<.00010.9080.7220.5130.3500.2470.203

122423812<.00010.2100.2640.3640.4850.5850.602

18283.8518<.00010.5180.3690.2070.0810.001-0.032

（3）自相关图呈现典型的长期趋势与周期并存的特征

2.3

SAS命令

dataa;

inputrain@@;

time=intnx('month','01jan1945,d,_n_-l);

formattimeyymon7.;

cards;

69.380.040.974.9；84.6101.1225.095.3100.648.3144.528.3

38.452.368.637.1148.6218.7131.6112.881.831.047.570.1

96.861.555.6171.7220.5119.463.2181.673.964.8166.948.0

137.780.5105.289.9174.8124.086.4136.9131.535.3112.343.0

160.897.080.562.5158.27.6165.9106.792.263.226.277.0

52.3105.4144.349.5116.154.1148.6159.385.367.3112.859.4

procarimadata=a;

identifyvar=rainnlag=24stationarity=(adf);

run;

答案：

（l）1-24阶自相关系数

白噪声的自相关检查

至滞后卡方自由度Pr＞卡方自相关

68.5260.20230.0130.042-0.043-0.179-0.251-0.094

1223.36120.0248-0.068-0.0720.0140.1090.2170.316

1836.02180.0070-0.0250.075-0.141-0.204-0.2450.066

2444.77240.0062-0.139-0.0340.206-0.0100.0800.118

（2）平稳序列

增广Dickey-Fuller单位根检验

类型滞后RhoPr<RhoTauPr<TauFPr>F

零均值0-14.94360.0056-2.880.0046

1-5.52020.1023-1.640.0959

2-3.03620.2284-1.160.2208

单均值0-70.09190.0007-8.190.000133.510.0010

1-63.73380.0007-5.530.000115.270.0010

2-73.38350.0007-4.810.000211.580.0010

趋势0-70.08050.0002-8.12<000133.030.0010

1-63.69020.0002-5.480.000115.050.0010

2-73.06200.0002-4.770.001311.470.0010

（3）非白噪声序列

白噪声的自相关检查

至滞后卡方自由度Pr＞卡方自相关

68.5260.20230.0130.042-0.043-0.179-0.251-0.094

1223.36120.0248-0.068-0.0720.0140.1090.2170.316

1836.02180.0070-0.0250.075-0.141-0.204-0.2450.066

2444.77240.0062-0.139-0.0340.206-0.0100.0800.118

2.4

计算该序列各阶延迟的Q统计量及相应P值。由于延迟1-12阶Q统计量的P值均显著大于

0.05,所以该序列为纯随机序列。

QP

10.040.8414806

20.290.8650223

31.290.7315090

41.330.8562654

51.580.9036573

61.590.9532936

73.030.8822132

83.390.9075571

94.030.9094269

104.280.9338329

114.320.9596046

124.570.9708238

2.5

SAS命令

dataa;

inputx@@;

cards;

153187234212300221201175123

1048578

134175243227298256237165124

1068774

145203189214295220231174119

856775

117178149178248202162135120

969063

procarimadata=a;

identifyvar=x;

run;

答案

(1)绘制时序图与自相关图

0510

滞后

(2)序列时序图显示出典型的周期特征，该序列非平稳

(3)该序列为非白噪声序列

白噪声的自相关检查

至滞后卡方自由度Pr＞卡方自相关

695.846<.00010.7390.4570.081-0.320-0.619-0.721

12190.4012<.0001-0.629-03400.0110.3340.5800.731

2.6

SAS命令

dataa;

inputx@@;

cards;

1015101012107710148

17

1418391110612141025

29

33331219161919123415

3629

2621171913202412614

612

911171281414125810

3

16887126108105

procarimadata=a;

identifyvar=xstationarity=(adf);

identifyvar=x(l)stationarity=(adf);

run;

(i)如果是进行平稳性图识别，该序列自相关图呈现一定的趋势序列特征，可以视为非平

稳非白噪声序列。

如果通过adf检验进行序列平稳性识别，该序列带漂移项的0阶滞后P值小于0.05,可

以视为平稳非白噪声序列

白唳声的自相关检查

至滞后卡方自由度Pr＞卡方自相关

664.026<00010.5060.5390.3740.2910.2580148

1288.9812<00010.2700.1860.1780.2580.2070.226

增广Dickey-Fuller单位板检甄

类型滞后RhoPr<RhoTauPr<TauFPr>F

零均值0-7.69750.0516-2.030.0418

1-2.72140.2545-1.210.2039

2-2.16720.3093-1.060.2586

单均值0-33.37560.0007-4.570.000410.450.0010

1-14.21010.0387-2.540.11063.250.2541

2-13.37050.0487-2320.16772.7103882

趋势0-34.33290.0010-4.660.001810.960.0010

1-14.96550.1542-2.630.26973.540.4774

2-14.28040.1777-2.430.35913.110.5616

(2)差分后序列为平稳非白噪声序列

白喉声的自相关检查

至滞后卡方自由度Pr＞卡方自相关

629.466<0001-0.5290.195-0.080-0.0590.092-0.256

1235.94120.00030.216-0.075-0.0700.101-0.0480.104

增广Dickey-Fuller单位根检验

类型滞后RhoPr<RhoTauPr<TauFPr>F

潺均值0-104.23100001-14.83<0001

1-129.9620.0001-7.93<0001

2-149.5600.0001-5.78<0001

单均值0-104.2310.0001-14.720.0001108.350.0010

1-130.0310.0001-7.870.000130.990.0010

2-149.7250.0001-5.740.000116.470.0010

趋势0-104.3100.0001-14.63<0001107.030.0010

1-130.9240.0001-7.84<000130.780.0010

2-153.6030.0001-5.74<000116.500.0010

2.7

SAS命令

dataa;

inputyearmortality;

cards;

19150.5215052

19160.4248284

(数据行略)

procarimadata=a;

identifyvar=mortalitystationarity=(adf);

identifyvar=mortality(1)stationarity=(adf);

run;

答案

(1)时序图和自相关图显示该序列有趋势特征，所以图识别为非平稳序列。

o.s-

6

Co.

4

0.2

-1.0

02040608005101520

观测滞后

(2)单位根检验显示带漂移项0阶延迟的P值小于0.05,所以基于adf检验可以认为该序

列平稳

增广Dickey-Fuller单位根检验

类型滞后RhoPr<RhoTauPr<TauFPr>F

零均值0-3.74080.1813-1.470.1309

1-1.75530.3589-1.040.2681

2-1.23650.4320-0.900.3258

单均值0-36.35020.0009-4.540.000410.350.0010

1-20.46650.0072-2.880.05204.210.0796

2-15.05180.0324-2.250.18912.620.4121

趋势0-36.40300.0008-4.530.002410.330.0010

1-20.36100.0495-2.860.17944380.3136

2-14.68080.1709-2.220.47372.900.6027

(3)如果使用adf检验结果，认为该序列平稳，则白噪声检验显示该序列为非白噪声序列

白唳声的自相关检查

至滞后卡方自由度Pr＞卡方自相关

692.786<00010.5610.4620.3760.4Q00.3240.210

12108.8912<00010.2550.1870.2100.0540.088-0.065

18123.4818<.0001-0.095-0.153-0.170-0.119-0.140-0.188

如果使用图识别认为该序列非平稳，那么阶差分后序列为平稳非白噪声序列

白晦声的自相关检查

至滞后卡方自由度Pr＞卡方自相关

6219960.0012-0.406-0.011-01250.1220.052-0.194

1240.0712<00010.158-0.0800.170-0.2340.229-0096

1843.21180.00070.014-0.055-0.0810.1230.0220.056

增广Dickey-Fuller单位报检验

类型滞后RhoPr<RhoTauPr<TauFPr>F

零均值0-123.6250.0001-14.37<.0001

1-187.6640.0001-9.59<.0001

2-1589.0200001-8.65<0001

单均值0-123.7050.0001-14.30<.0001102310.0010

1-188.3250.0001-9.55<000145.600.0010

2-1693.600.0001-8.62<000137.180.0010

趋势0-123.9430.0001-14.28<0001101980.0010

1-1912850.0001-9.58<000145.930.0010

2-2388780.0001-8.70<000137880.0010

2.8

SAS命令

dataa;

inputyearwl;

cards;

186083.3

186183.5

(数据行略)

procarimadata=a;

identifyvar=wlstationarity=(adf);

identifyvar=wl(1)stationarity=(adf);

run;

答案

(1)时序图和自相关图都显示典型的趋势序列特征

（2）单位根检验显示该序列可以认为是平稳序列（带漂移项一阶滞后P值小于0.05）

增「Dickey-Fuller单位根检验

类型滞后RhoPr<RhoTauPr<TauFPr>F

零均值0-0.02590.6749-0.310.5707

1-0.03000.6740-0.320.5675

2-0.02220.6757-0.310.5723

单均值0-14.17290.0418-2.880.05154.190.0806

1-21.12540.0061-3.390.01385.780.0205

2-14.66820.0365-2.730.07293.770.1233

趋势0-20.39880.0502-3.220.08705.400.1138

1-35.90090.0010-4.030.01088.350.0080

2-26.48720.0116-3.100.11175.130.1666

（3）一阶差分后序列平稳

增广Dickey-Fuller单位板检垃

类型滞后RhoPr<RhoTauPrvTauFPr>F

等均值0-83.3073<.0001-8.60<.0001

1-140.2300.0001-8.27<.0001

2-261.3440.0001-7.22<0001

单均值0-83.37190.0009-8.56<000136.670.0010

1-140.4530.0001-824<000133.91o.oow

2-262.1390.0001-7.18<000125.800.0010

趋势0-83.80570.0003-8.56<.000136.610.0010

1-142.9910.0001-8.25<.000134.040.0010

2-282.4360.0001-7.21<.000126.030.0010

第三章习题答案

3.1

(1)E(x,)=-^-=—=0

'1-G1-0.7

11

(2)Var(x,)=1.96

1—61-0.72

(3)0=#=0.72=0.49

1P\

2

Pi0.49-0.7

(4)=Pi=0

2

1P\1-0.7

P\1

3.2

/R⑵模型有:

L,i

P^T^T0.5=-^-A15,内=不

\-<p=><1-02=><

21

0.3=0.5次+。202

+015

3.3

(1)(1—0.55)(1-0.35)xf=£(<=>xt—0.8xz_1—0.15x^_2+

E(x)=——=0

1-Of

1一。2

(2)=

(1+4)(1-”“2)(1+4-4)

1+0.15

(1-0.15)(1-0.8+0.15)(1+0.8+0.15)

1.98

0.8

⑶p\=0.70

1一圾1+0.15

p?二@\p\+由=0.8x0.7—0.15=0.41

p3=族夕2+圾夕]=0.8x0.41—0.15x0.7=0.22

（4）如=Pi=0.7

—（/>■）=—0.15

九=0

3.4

（1）ZR（2）模型的平稳条件是

|c|<1[-1<c<1

c±l<l[c<0

.1

⑶A-■，

l-c

员=Pi+c0"2,左22

3.5

证明：

该序列的特征方程为：A3-A2-cA+c=0,解该特征方程得三个特征根：

4=1,4=Vc,Zj=—y[c

无论。取什么值，该方程都有一个特征根在单位圆上，所以该序列一定是非平稳序列。证毕。

3.6

2

(1)错，九=二^

⑵错,0即]-〃)]=%=族或

抱歉(3)(4)(5)是第四章预测部分的知识，习题安排超前了

(3)对

(4)错，e(/)=27+/+Ggr+卜]+,,,+G“£T+]

2

(5)错，limVar[xT+l-xT(l)]=~-/

3.7

p、=^v=0.4n0.4a2+8+0.4=0=4=_2或者6=_1

1i+e；11112

所以该模型有两种可能的表达式：X,=£,+；£1］和X,=与+2有_1。

3.8

将x,=10+0.5xz_1+St—0.8弓_2+C£7等价表达为

23

,八l-0.85+C5八”…2、

为-1°=1-4=(l+aB+bB~)£,

1—U.JD

则

1-0.882+次=(1+帕+防2)。-0.55)

=1+("0.5)5+(b-0.5a)B2-0.5际

根据待定系数法:

—0.8=a—0.5a——0.3

0=—0.5b=b=0

C=b—0.5(7=>C=0.15

3.9

(1)E(xz)=0

(2)"(x,)=I+O.72+O.42=1.65

—0.7—0.7x0.40.4

Pi-------------------=—0.59⑶=而0.24pk=0,k>3

(3)1.65

3.10

(1)证明：因为对任意常数c,有

Var{x)=lim(l+kC2=00

t攵一＞8

所以该序列为非平稳序列。

(2)%=%一%-|=弓+(。-1)£1,则序列{丁)满足如下条件：

均值、方差为常数，

£(%)=(),而(乂)=[1+。-1)2卜；

自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关

C-1

P\—~^Pk=0,kN2

'1+(C-1)2

所以该差分序列为平稳序列。

(1)非平稳，(2)平稳，(3)可逆，(4)不可逆，(5)平稳可逆，(6)不平稳不可

逆

3.12

该模型的Green函数为:

G0=1

G]=—q=0.6—0.3=0.3

Gk=</)&_[=靖g=0.3x0.6"T,左>2

所以该模型可以等价表示为：x,=£,+£O.3XO.6"£TT

k=0

3.13

0(8)=(1-0.58)2=>M=0.5,由=一0.25

E®)=4—=4

1—41—0.5+0.25

3.14

证明：

已知a=；,4=(,根据ARMA(1,1)模型Green函数的递推公式得：

G()=1,G]=℃o—4=0.5—0.25=°：,=℃£_]=0；"G]=22

Po=1

4+£代小代-f~—

7=0

P\二一7=1\―以_。:-4+因__2_=027

1—26

ZG；I+4

1一4

EGjGjQ±GjG…

--------=212---------------=0---------

CO00T\CO

J=0J=Oj=0

证毕。

3.15

（1）成立（2）成立（3）成立（4）不成立

3.16

该习题数据文件与2.7相同。该题问题设置有问题：是要问如果判断该序列或差分序列是平

稳序列，那该平稳序列具有ARMA族中哪个模型的特征。

（1）根据adf检验结果可以认为该序列平稳。根据序列的自相关图可以认为是自相关系数

拖尾。根据偏自相关图，可以认为是偏自相关2阶截尾，所以该序列具有AR（2）模型的特

征。

65

」

u。0

<

45

0

-1.

10150S1015

滞后滞后

（2）根据图识别也可以认为该序列不平稳，对该序列进行一阶差分。一阶差分后序列可以

视为平稳序列，根据差分后序列的自相关图可以认为是自相关系数1阶截尾，具有MA（1）

模型的特征。根据偏自相关图，可以认为是偏自相关3阶截尾，具有AR（3）模型的特征。

具体哪个模型最适合拟合该序列，下一章介绍。

“mortality。)”的趋势和相关分析

051005101520

滞后滞后

3.17

该习题数据文件与2.8相同。该题问题设置有问题：是要问如果判断该序列或差分序列是平

稳序列，那该平稳序列具有ARMA族中哪个模型的特征.

(1)根据adf检验，该序列可以视为平稳序列。自相关图呈现拖尾属性，偏自相关图呈现

1阶截尾特征，所以该序列呈现出AR(1)模型特征。

•wr的趋势和相关分析

<u」

5101520250510152025

滞后滞后

(3)如果根据图识别，可以认为序列蕴含趋势，可以视为非平稳序列。一阶差分后序列平

稳。一阶差分后序列呈现自相关系数2阶截尾，偏自相关系数2阶截尾的特征，可以视为一

阶差分后序列具有MA(2)模型特征，或AR(2)模型特征。具体哪个模型最适合拟合该序歹U,

下一章介绍。

"wKD"的趋势和相关分析

第四章习题答案

4.1

本题SAS代码

dataa;

inputx@@;

t=_n_;

cards;

-2.000-0.703-2.232-2.535-1.662-0.1522.1552.2980.8861.8711.933

2.2210.328-0.1030.3371.3340.8640.2050.5550.8831.7340.824

-1.0541.0151.4791.1581.002-0.415-0.193-0.502-0.316-0.421-0.448

-2.1150.271-0.558-0.045-0.221-0.875-0.0141.7461.4810.9501.714

0.220-1.924-1.217-1.9070.200-0.237

procarimadata=a;

identifyvar=xstationarity=(adf);

estimatep=lnoint;

forecastid=tlead=60;

run;

(i)绘制时序图（略）

(2)该序列为平稳非白噪声

(3)自相关图拖尾，偏自相关图一阶截尾

(4)拟合AR（1）模型

(5)五年预测值见sas输出（略）

4.2

本题SAS代码

dataa;

inputx@@;

cards;

4.1013.2973.5335.6876.7784.8733.5923.9732.7313.5572.8634.1704.2252.5811.965

4.2574.3733.5733.3202.2573.1104.5745.3282.6452.8593.7213.8362.4173.0743.483

3.8473.2503.7354.8423.5643.1092.4631.7781.4501.9562.1964.5843.7151.8532.543

2.1232.7563.690

5

procarimadata=a;

identifyvar=xstationarity=(adf)；

estimateq=l;

forecastid=tlead=60;

run;

答案

(1)绘制时序图(略)

(2)该序列为平稳非白噪声序列

(3)自相关图一阶截尾，偏自相关图拖尾

(4)拟合MA⑴模型

(5)五年预测值见sas输出(略)

4.3

本题SAS代码

dataa

inputx@@;

t=_n_;

cards;

12.37312.87111.7998.8508.0707.8866.9207.5937.5748.230

10.3479.5497.4618.1599.2439.16010.68310.5169.0778.104

7.7008.6408.7369.0279.3809.7839.6488.1358.2229.155

8.9419.68210.33110.60110.6938.311

procarimadata=a;

identifyvar=xstationarity=(adf);

estimateq=l;

estimatep=2;

forecastid=tlead=12;

run;

答案

(1)绘制时序图(略)

(2)该序列为平稳非白噪声序列

(3)根据该序列自相关图，可以视为：自相关图一阶截尾，或偏自相关2阶截尾

(4)分别拟合MA(1)模型和AR(2)模型，两个模型均参数显著非零，残差为检验为白噪声序

列，AIC和SBC的结果几乎相等，最后考虑白噪声检验的P值，AR(2)模型的白噪声检验P值

更大，说明该模型对序列的相关信息提取更为充分，所以选择AR(2)模型作为最优模型。

(5)基于AR⑵模型未来一年预测值为

以下变呈的预测:X

观测»»标准误差95%置信限

3776946G99995.73489.6543

38823841.37075.551810.9249

39903861430262354118418

40953281.43146727312.3384

419.61941.45266.772312.4665

42946781466965927123429

4392849146896406012.1638

44918481.469163054120641

459.17701.47036295312.0588

469.21691.47096.334012.0999

47925801.47106.374912.1411

48927771.47106394612.1608

4.4

本题SAS代码

dataa;

inputx@@;

t=_n_;

cards;

3.6654.2474.6743.6694.7524.7855.9294.4685.1024.8316.8995.337

5.0865.6034.1534.9455.7264.9651.8203.7235.6634.7394.8454.535

4.7745.9626.6145.2555.3556.1445.5904.3883.4474.6156.0325.740

4.3913.1283.4364.9646.3327.6655.2774.9044.830

f

procarimadata=a;

identifyvar=xstationarity=(adf);

estimatep=lq=l;

estimatep=2;

estimateq=l;

forecastid=tlead=5;

run;

答案

(1)绘制时序图(略)

(2)该序列为平稳非白噪声序列

(3)根据该序列自相关图，可以视为：自相关图一阶截尾，或偏自相关2阶截尾，或自相

关和偏自相关均拖尾

(4)分别拟合MA⑴模型，AR(2)模型和ARMA(1,1,)。ARMA(1,1)模型参数不能拒绝参数为

零的原假设，所以淘汰。MA(1)模型，AR(2)模型均参数显著非零，残差为检验为白噪声序列，

MA(1)模型SBC更小一点，所以选择MA(1)模型作为最优模型。

(5)基于MA(1)模型未来五年预测值为

以下变量的强U：x

现浦预测标准误差95%置信限

464.83480.96522.94306.7265

47493701.05992859770143

48493701.05992859770143

49493701.05992.859770143

504.93701.05992.85977.0143

4.5

(1)

°。=MlWx(l_0.3)=7

X+i=7+0.3x9.6=9.88

xz+2=7+0.3x9.88=9.964

x/+3=7+0.3x9.964=9.9892

24

Var(xl+i)=(Go+G：+G；)b；=(1+0.3+0.3)x9=9.8829

所以£+3的95%的置信区间等于9.9892±1.96屈两，即6.83,16.15)

(2)更新数据后

x/+2=7+0.3x10.5=10.15

X+3=7+0.3x10.15=10.045

@"X+3)=(G：+G：)CF；=(1+0.32)X9=9.81

所以吊+3的95%的置信区间等于10.045±1.96标T?,即G.91,16.18)

4.6

SAS指令

dataa;

inputx@@;

t=_n_;

cards;

126.482.478.151.190.976.2104.587.4

110.52569.353.539.863.646.772.9

79.683.680.760.37974.449.654.7

71.849.1103.951.682.483.677.879.3

89.685.558120.7110.565.439.940.1

88.771.48355.989.984.8105.2113.7

124.7114.5115.6102.4101.489.871.570.9

98.355.566.178.4120.597110

procarimadata=a;

identifyvar=xstationarity=(adf);

estimatep=l;

forecastid=tlead=5;

run;

答案

(1)平稳非白噪声序列

(2)自相关系数拖尾，偏自相关系数1阶截尾，拟合AR(1)模型

(t)o=80.9941(1-0.31587)=55.41

%=55.41+0.31587为_]+弓

(3)未来5年的降雪量

以下变量的预测:X

膜测预测标准误差95%置信限

6490.156322.72944560751347050

658388822383633716981306065

6681908323.94403497891288376

6781.282923.954734.3325128.2332

6881.085323.955834.1329128.0377

4.7

SAS指令

dataa;

inputx@@;

t=_n_;

cards;

0.970.451.611.261.371.431.321.230.840.891.181.331.210.980.91

0.611.230.971.100.740.800.810.800.600.590.630.870.360.810.91

0.770.960.930.950.650.980.700.861.320.880.680.781.250.791.19

0.690.920.