数学（全国乙卷理）2023年高考第三次模拟考试卷（全解全析）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学.全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合M={x|x>l},N={x|log2x>l},则()

A.McN={x|x>l}B.MDN={X|X>1}

C.^(N={x|l<x<2}D.M=N

【答案】B

【解析】由log2X>l=log2X>log22=x>2,所以N={x|x>2},因知={中>1},对于

选项A：McN={x|x>2},A不正确；对于选项B：MuN={x|x>l},B正确；对于选项C：

gN={x[l<x<2},C不正确；对于选项D：NM,D不正确，故选B

2

2.复数z满足二-=z(2—i),i为虚数单位，则|z|=()

1+z

A.1B.1或3&C.275D.0或26

【答案】D

【分析】

设2=o+初，得到三产=2a+8+(28—a)i,列出方程组，求得的值，结合复数模的计算

公式，即可求解.

【详解】

2

Z

设2=々+初，则,z(2-i)=2a+b+(2b-d)i,

2

2,2

所以°+"=2a+Z?+(2b—a)i,

a2+b2

=2Q+Z?a=0Q=4

即|2,解得《或＜

b=0b=2

2b-a=0

即z=0或z=4+2i,所以|z|=0或|z|=2j，

故选：D.

3.已知向量。=(4,2),向量力二(x,T),若a1/b，则|匕|二()

A.J5B.5C.亚D.-

24

【答案】A

【分析】

根据向量共线的坐标表示，求出x的值，从而得到b的坐标，然后由向量模长的坐标公式求出|加.

【详解】

向量”=(4,2),向量b=(x,-l),且a"b，

所以4X(-1)-2X=0,解得X=-2,

所以8=(—2,-1),所以S|=J(_2)2+(-l)2=君.

故选：A.

4.已知数列｛斯｝满足…;)(：；/("；)=。5GN*),则()

A.32021>aiB.32021<ai

C.数列｛an｝是等差数列D.数列｛an｝是等比数列

【答案】C

【分析】

根据题意，可得。e-q=0,逐一分析选项，即可得答案.

【详解】

因为本Hr°，

所以可“-%=0,即4+1

所以。2021=。1'故A、B借误；

因为。向-。”=°，所以数列｛an｝为等差数列，且公差为0,故C正确；

若。“=0,则数列｛an｝不是等比数列，故D错误.

故选：C

5.抛物线丁=2川(0>0)的焦点至IJ直线y=x+l的总巨离为④，则。=()

A.1B.2C.272D.4

【答案】B

【分析】

首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得P的值.

【详解】

抛物线的焦点坐标为(5，0)，

K-0+1

其到直线x-y+l=0的距离：d=2______=近,

VF+T'

解得：P=2(p=-6舍去).

故选：B.

6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是

g3

0=1i5=2|

A.56B.54C.36D.64

【答案】B

【解析】模拟程序框图的运行过程，如下:

a=l,b=l,S=2,c=l+l=2,S=2+2=4；

c<20,a=l,b=2,c=1+2=3,S=4+3=7；

c<20,a=2,b=3,c=2+3=5,S=7+5=12；

c<20,a=3,b=5,c=3+5=8,S=12+8=20;

c<20,a=5,b=8,c=5+8=13,S=20+13=33;

c<20,a=8,b=13,c=8+13=2l,S=33+21=54.

c>20,此时结束循环，S=54.

故答案为B.

7.四面体ABC。中，AB=CD=3,其余棱长均为4,E，尸分别为A3，8上的点（不含端

点），则（）

A.不存在E，使得

B.存在E，使得DELCD

C.存在E，使得DEL平面ABC

D.存在E,F,使得平面CDEL平面ABE

【答案】D

【解析】

作出示意图如下图所示：E,户分别是AB,CD的中点，面ABD于H,£>G_L面ABC于

G,

对于A选项，取E,F分别在AB,CD的中点炉,尸时，因为A3=CD=3,其余棱长均为4,所

以VABCMVAB。，

所以CE'=OE'，所以ER」。，即EF1CD,故A错误：

对于D选项，取E,F分别在AB,CD的中点E,尸时，由A选项的解析得EF±CD，AF±CD，

EFAF=F,

所以CD_L面ABF'，又COu面ECD，所以平面COE'_L平面即平面CQE_L平面

ABF,故D正确；

对于B选项，作CH_L面ABDTH,因为△ABD中，AT>=BD=4，所以H定在AB的中线DE

上,

所以NCOE'就是CD与面A3D所成的角，

当E在AB上移动时，ZCDE的最小值为直线8与平面所成的角，即ZCDE.而ZCDE

是锐角，

7T

NCDE的最大值为ZCDB=ZCDA<-,

2

故当E在AB上移动时，不存在E,使得DELCD.故B错误.

对于C选项，作。G_L面ABC于G,因为人ABC中，AC=BC=4,

所以G定在AB的中线上，且不重合于点左，即点G不落在AB上，

又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E,使得DE_L平面ABC,

故C选项不正确，

故选：D.

I

8.设数列｛an｝的前n项和为Sn,若4=方_广，则S99=（）

Vrt+1

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

采用裂项相消法求数列的和

【详解】

因为％=I—7==•Jri+l-yfn,

VH+1+7n

所以S99=（四―1）+（6―0）++（炳_演）+（阿-■炳）

=Two-1

=10-1

=9

故选C.

9.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。,。'，过直线。。'的平面截该圆柱所得的面是面积为8的

正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.\2屈兀B.12万C.8©rD.10万

【答案】B

【解析】

根据圆柱的轴截面面积求出圆柱的底面半径和母线长，利用圆柱的表面积公式，即可求解.

【详解】

设圆柱的轴截面的边长为X,

因为过直线0(7的平面截该圆柱所得的面是面积为8的正方形，所以d=8,解得x=2应，

即圆柱的底面半件为「=应，母线长/=2上，

所以圆柱的表面积为S=2S底+5阿=2万/+2万”=2万*(夜)2+2万乂五*20=127.

故选：B.

10.某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术

部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；

②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首

先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门己知在每场比赛中，

麒麟部胜龙吟部的概率为g,麒麟部胜鹰隼部的概率为|,龙吟部胜鹰隼部的概率为当麒麟部

与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门''的概率是()

42413

A.—B.—C.—D.—

4591545

【答案】D

【分析】

由题设，麒麟部与龙吟部进行首场比赛且麒麟部获得“优胜部门”的情况有：

1、首场麒麟部胜，第二场麒麟部胜；

2、首场麒麟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场龙吟部胜，第四场翻麟部胜；

3、首场龙吟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场麒麟部胜，第四场麒麟部胜；

再由独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可.

【详解】

设事件A：翻麟部与龙吟部先比赛鹿儿麟部获胜；

由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为：，麒麟部胜鹰隼部的概率为：，龙吟部胜鹰隼部的

概率为g，

131311113113

・・・颤麟部获胜的概率分别是：P(A)=^x^+-x(l-^)x-x-+(l---)x(l--)x-x-=-^,

故选：D.

11.已知耳是双曲线二—二=1（。>0,6>0）的左焦点，点尸在双曲线上，直线尸片与x轴垂直,

a~b~

且|P"|=a,那么双曲线的离心率是（）

A.y/2B.>/3C.2D.3

【答案】A

【分析】

易得匕的坐标为（一,C0）,设P点坐标为（-C,%）,求得为=幺，由归用="可得°=小

a

然后由a,b,c的关系求得C2=2Y,最后求得离心率即可.

【详解】

£的坐标为（-。,0）,设P点坐标为（一%）,

易得上T-4=1，解得y=Q,

aba

因为直线";与x轴垂直，且|尸用=。，

所以可得9=。，则/=〃，即。=力，

所以=J+庐=2cJ，离心率为e=0\

故选:A.

x%>0

12.已知函数/（x）=J3*<0*（幻=一/+2%（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程

g（/（x））-加=。恰有三个不等实根玉，龙2，工3,且玉<%，则々-2%-2七的最小值为（）

3

A.ln3-3B.一一In2C.ln2-3D.-1

2

【答案】A

【分析】

设/（、）=，，则根据题意得8«）=-『+2/—机=0必有两个不相等的实根小t2,不妨设％<与，

故乙+灰=2,弓=2一%再结合/"）的图象可得％=e2为=々，刍=2-4，0<r,<1,进而

%—2%—2/=3。-In4-4,再构造函数/?（/）=3r—Inf—4,（0<rV1）,研究函数的最值即可得

答案.

【详解】

由题意设f(x)=f,根据方程g(/(x))=0恰有三个不等实根，

即g(t)=—产+2/—加=0必有两个不相等的实根4,t2,不妨设t}<t2

=2,则t2=2T],

作出了。)的图象，函数y与/(%)三个不等实根%,々，工3，且西<工2〈43,

那么马=02为=4，可得当=2-4，0<rt<1,

所以々一2^1—2%3=3Z1—InZ|-4,

构造新函数恤)=3t—ln，—4(0<?<1),〃'⑺=3」

t

当"⑺<0时，re(0,在(0,；)单调递减；

当"⑺>0时，在单调递增;

.•.当时，/?(t)取得最小值为山3—3,即%-2%—2七的最小值为ln3-3；

故选：A

【点睛】

本题考查复合函数与分段函数的应用，同时考查导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思

想及转化构造的方法，是难题.本题解题的关键在于设f(》)=/,进而4+/2=2,/2=2-：，再结

合/(X)的图像可得无2=/*=*/=2-4，o<?)<1,将问题转化为求函数

h(t)=3/-In1-4,(0<fW1)的最值问题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8,且甲、乙两人投篮的结果互不影

响.若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为.

【答案】0.9

【分析】

根据对立事件的概率公式即可求出.

【详解】

设人=”甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中“，

则P（A）=1-P⑸=l-0.5x0.2=0.9.

故答案为：0.9.

14.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆丁+根）尸-6"tr-7=0的圆心重合,长轴长等于圆的直

径，那么短轴长等于.

【答案】2a

【分析】

由于r+机产-6妙_7=0是圆，可得旭=1,通过圆心和半径计算"c,即得解

【详解】

由于/+研/—6mr—7=0是圆，m=1

即：圆x2+/-6x-7=0

其中圆心为（3,0）,半径为4

那么椭圆的长轴长为8,即c=3,a=4,b=J7T7=J7，

那么短轴长为2"

故答案为：2币

15.已知函数/（x）=sin］（yx+?）（xeR,。>0）的最小正周期为万，将y=/（力的图象向左平

移9（9>0）个单位长度，所得函数y=g（x）为偶函数时，则夕的最小值是.

【答案】V

O

【分析】

由题意利用正弦函数的周期性求得再利用函数y=Asin(s+s)的图象变换规律求得g(x)的解

析式，再利用三角函数的奇偶性，求得8的最小值.

【详解】

:函数/(x)=sin(s+?)(xeR,。＞0)的最小正周期为§=%，

；.(y=2,/(x)=sin^2jc+-J.

将y=f(x)的图象向左平移8(夕＞。)个单位长度，所得函数y=g(x)=sin(2x+20+?)的图象,

由于得到的函数为偶函数，

,2*+2=女乃+】，keZ,则9的最小值是£,

428

TT

故答案为：—.

O

zyv*J

16.函数/(x)=/一51nx—5(aeR)在—,1内不存在极值点，则a的取值范围是

【答案】I-00,-^T1[3,+00).

I16」

【分析】

将函数在上」内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数r(x)..o或r(x),,o恒成

16

立即可求解.

【详解】

解：•.•函数/(幻=/-31nx-2(aeR)在上,1内不存在极值点,

22口6_

.••函数/(X)在3，1内单调递增或单调递减，

.../'（x）..O或/'。）,,0在内恒成立,

16

4x*I2-x-a

r（x）=2x--—

22x

1

令g（工）=4?0一工一。，二次函数的对称轴为x二—

8

gdx=4xl2-^-l=3-4Z,

当时，需满足-----a.O,即④----,

1616

当/'（戏,0时,需满足3—④0,即63,

综上所述，a的取值范围为（—8,」3,+8）.

I16.

-00-

故答案为：|577[3,4-OO）.

k16」

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

sinBcosC

17.（12分）已知ZSABC的内角A,B,C的对边分别为a,"c,

2b

、sinC+2cosc

(1)求t-------------的值;

2sinC-cosC

（2）若。=2正，AA5C的面积为5,求/XABC的周长.

【答案】（1）y；（2）5+3番.

psin8cosC

【解析】（I）由正弦定理——=---及--——=-----

sinBsinC2h

sin5cosC口口「八

得------=------，即tanC=2,

2sinBsinC

.sinC+2cosC_tanC+2_4

2sinC-cosC2tanC-l3

cjn「jr

(2)由(1)知^——=2,故CE(0,—),

cosC2

又因为sin?。+cos?。=1，解得sinC=2叵，cosC=-

55

111S&ABC———sinC——ab•—————5'cih=5^5,

由余弦定理c?=a1+b2-2aZ?cosC&c=2A/5，得/=30，

A(a+h)2=a2+b2+2ab=30+\0j5,a+b=5+6，

，AABC的周长为a+〃+c=5+36.

18.(12分)如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，8的点，平面B4C_L平面ABC,△B4C

中，QA=PC=AC=2,BC=4,E，/分别是PC,PB的中点.

(1)求证：平面PAC；

(2)记平面A£尸与平面ABC的交线为直线/,点。为直线/上动点.求直线PQ与平面A所所

成的角的取值范围.

【答案】⑴证明见解析；(2)(0,看,

【解析】(1)证明：因为C是以48为直径的圆。上异于A，8的点，

所以8C_LAC,

因为平面尸4c〕平面ABC=AC，平面P4C_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以平面PAC.

(2)由己知，BCHEF)又E/u平面£E4，BCa平面££4,二BC〃平面£E4,

又BCu平面ABC,平面EE4'平面ABC=/,二BC〃/,

以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为8轴，了轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴,

建立空间直角坐标系，

则A（2,0,0）,8（0,4,0）,尸（1,0,⑹，二电,。岑J,Fg,2,4

（3

.,.AE=-"-,0,--,EF-（0,2,0）,

・.・8C〃/,・••可设Q（2,y,0）,平面他厂的一个法向量为m=（%y,z）,

3x\[3z_

则产''"=一三+h=°,取z=G得，〃=（i,o,@,

EFm=2y=0

19.（12分）在2020年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局.某企

业统计了2020年前5个月份企业的利润，如下表所示：

月份12345

企业的利润（万元）9095105100110

（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润y（万元）关于月份X的回归直线方程£=+

并预测2020年12月份该企业所获得的利润；

（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品

必须要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互

独立的，前三个环节中生产的产品合格的概率为工，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为

2

100元，第四个环节中产品合格的概率为巳3，不合格产品需要的修复费用为50元，设每件产品修复

4

的费用为J元，写出J的分布列，并求出每件产品需要修复的平均费用.

^x^-rixy

参考公式:回归直线方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为族=21_______________

豆X；一戒2

i=l

a=y-bx,x,y为样本数据的平均值.

【答案】（1）y=-9x+—173,140.5万元；（2）分布列见解析，修复的平均费用为32二5元.

222

_9095105.00110

【解析】（1）由表格数据知x=------:-------=3,=++++=100?

2斗丫T孙_0x90+2x95+3x105+4x100+5x110)-5x3x100

222222

A5=(1+2+3+4+5)-5X3

/=!

竺9

--

2-

10

a173

由回归直线经过样本点的中心（无,方可知：100=1x3+4,

则回归直线方程为$=：9x+1;7-3，

9173

预测2020年12月份该企业所获得的利润为一xl2+」=140.5（万元）.

22

（2）根据题意知J所有可能取值为0,50,100，150,200,250，300,350,

^=50)=gJxl=±

2

139产(>150)=4井衿」

p(g=100)=C；X—X—

-

2432

-139P(―50)=C；(品汨*

P(J=200)=C；X—X—

24~32

P(100)=出石4P《=350)=1J11

x-=——

\人)432

.•4的分布列为:

050100150200250300350

31939331

rD

3232323232323232

3193933

,­.E(^)=Ox—+50x—+100x—+150x—+200x—+250x—+300x—+350

v732323232323232

325

T

325

即每件产品需要修复的平均费用为——元

2

20.（12分）己知等轴双曲线的顶点耳（一2,0）,6（2,0）分别是椭圆。的左、右焦点，且％=半

是椭圆与双曲线某个交点的横坐标.

（1）求椭圆。的方程；

（2）设直线/与椭圆C相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过椭圆的上顶点M，求证：直

线/恒过定点.

22

【答案】（D二+2-=1：（2）证明见解析.

84

【解析】（1）由己知可得双曲线方程为三-二=1.

44

22（A/TnA、

设椭圆C的方程为+与=1,代入T-,土，得加=4,

Z?2+4b2I33）

22

...椭圆C的方程为工+二=1.

84

(2)证明：显然直线/与x轴不垂直.

22

设直线=(机关2)与椭圆C：土+匕=1相交于A(%,yJ,8(毛,必)，

84

y=kx+m

由炉V得(2公+1卜2+4幼比+2/2-8=(),

---1--=1

184

.-4km2m2-8

..玉+*2=—~-，x,x.=——；——.

一2公+11-2V+1

ZAMB=90°,；.(x,,y,-2)•(x2,-2)=0.

即不毛+(%—2)(%一2)=0,玉^+乂、2一2(%+%)+4=0,

玉£+(g+tn)^kx2+加)-2(依+m+kx2+/«)+4=0,

2

整理得(％+1)X|X2+Z(m-2)(X]+/)+(加一2)一=0,

即俨+德『(—)瑞+(2)』.

・・・加02,2(22+1)(m+2)—4Z2m+(222+1)(加一2)=0,

2

整理得3相+2=0,・,・加二一一

3

・♦・直线/恒过定点(0,一：

21.(12分)已知函数/C(冗)=21/7一依.

(1)若g(x)=/(x)-x+Qlnx,讨论g(x)的单调性；

(2)已知〃(x)=2/(x)-xlnx—4。+2,若方程力。)=0在；,+oo)有且只有两个解，求实数。

的取值范围.

【答案】⑴答案见解析；⑵惇卷+牛•

【解析】(1)依题可得g(x)=]x2-(a+l)x+alnx,

函数g(x)的定义域为(0,+8),

所以g'(x)=x—(a+l)+q=.""Dx+g=(匕1)(二)

XXX

当aWO时,由g'(x)<0,得X<1,则g(x)的减区间为(()」)；

由g'(x)〉O,得X>1,则g(x)的增区间为(L+oo).

当0<a<l时,由g'(x)<0,得a<x<l,则g(x)的减区间为(。,1)；

由g'(x)>0,得x<a或%>1,则g(x)的增区间为(0,a)和(1,+oo).

当a=1时，g'(x)>0,则g(x)的增区间为(0,+8).

当a>l时，由g'(x)<0,得则g(x)的减区间为(La)；

由g'(x)>0,得》<1或%>。，则8(%)的增区间为(0,1)和(。,+00).

(2)/?(x)=2/(x)-xlnx—4a+2=x2—2ax—xlnx—4a+2.

]Ar2_ylnr-i-?1

力(x)在-,+oo上有两个零点，即关于X方程2a=已_在-,+<»上有两个不相等的

L27X+2!_2；

实数根.

人,、x1-x\nx+21x2+3x-21nx-4

令f(x)=--------——xe—,+oo,则“X)

x+2(x+2)?

令p(x)=x?+3x-21nx-4,xe—|,则p'(x)=^^~1)("+2)

_2)x

1A1A

显然p'(无)20在-,+oo上恒成立，故p(x)在-,+oo上单调递增.

_27|_2/

因为p(l)=O,所以当xe时，有p(x)<o,即/'(x)<0,所以，(无)单