高中数学课本中的定理公式结论的证明

/数学课本中的定理、公式、结论的证明数学必修一第一章集合（无）第二章函数（无）第三章指数函数和对数函数1．对数的运算性质：如果a>0，a1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质证明：（性质1）设，，由对数的定义可得，，∴，∴，即证得．证明：（性质2）设，，由对数的定义可得，，∴，∴，即证得．证明（性质3）设，由对数的定义可得，∴，∴，即证得．第四章函数应用（无）数学必修二第一章立体几何初步直线及平面、平面及平面平行、垂直的判定定理及性质定理的证明．1、直线及平面平行的判定定理若平面外一条直线及此平面内一条直线平行,则该直线及此平面平行．2、平面及平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3、直线及平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线及此平面垂直．4、平面及平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．证明：设直线的方向向量为a,平面的法向量分别为u，r（建立立体几何问题及向量之间的联系），因为，所以a||r，即a=r()（把立体几何问题转化为空间向量问题）,又所以auau=0（把立体几何问题转化为空间向量问题），所以ur=0ur（把空间向量的结果转化为几何结论），所以平面及平面互相垂直，5、直线及平面平行的性质定理如果一条直线及一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面及已知平面的交线及该直线平行．6、平面及平面平行的性质定理如果两个平行平面同时及第三个平面相交，那么它们的交线平行．7、直线及平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．另法8、平面及平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面，

9三垂线定理及逆定理另法证明：已知：如图，直线及平面相交及点A，在上的射影OA垂直于求证：⊥证明：过P作PO垂直于∵PO⊥α∴PO⊥又⊥OA，PO∩OA=O∴⊥平面POA∴⊥（三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在该平面内的投影第二章解析几何初步（无）数学必修三数学必修四第一章三角函数

诱导公式公式：如图：设的终边及单位圆（半径为单位长度1的圆）交于点P(x，y)，则角-的终边及单位圆的交点必为P´(x，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(-)=-y,cos(-)=x,所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cosα由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式，公式：它刻画了角+及角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）及角的正弦值（或余弦值）关系，设角终边圆交于点P(x，y)，则角终边的反向延长线，即+角的终边及单位圆的交点必为P´(-x，-y)（如图4-5-1）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x,sin(+)=-y, cos(+)=-x,所以:sin(+)=-sin，cos(+)=-cos．由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相关诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinαk∈zcos（2kπ+α）=cosαk∈ztan（2kπ+α）=tanαk∈z公式二：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanα公式三：sin（－α）=－sinα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α及α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α及α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanα公式六：π/2±α及α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotα第二章平面向量1、共线向量定理（p82例3）内容：如图A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有证明：由题意，及共线，化简为：2、平面向量基本定理(p83)内容：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量，存在唯一一对实数，使得证明：如图过平面内一点O，作，过点C分别作直线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使得即3、平行向量定理（p88）内容：若两个向量（及坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行，证明：设是非零向量，且若，则存在实数使，且由平面向量基本定理可知①，②①②得：若（即向量不及坐标轴平行）则4、余弦定理证明(p93)内容：在中，分别为角的对边，则证明：如图在中，设则同理可证：所以5、点到直线距离公式证明（p99）向量法定义法证：如图,根据定义，点M到直线的距离是点M到直线的垂线段的长，如图1，设点M到直线的垂线为，垂足为Q，由可知的斜率为的方程：及联立方程组解得交点第三章

三角恒等变形1、两角差的余弦公式证明cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ

证明

：如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α，β，且α＞β．若α，β均为锐角时，

设它们的终边分别交单位圆于点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），即有两单位向量，它们的所成角是α﹣β，

根据向量数量积的性质得：

①

又根据向量数量积的坐标运算得：

=cosαcosβ+sinαsinβ

②

由①②得cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ③由诱导公式可证明当α，β均为任意角时③式仍成立，2、两角和的余弦公式证明=（略）3、两角和（差）的正弦公式证明内容：证明：4、两角和（差）的正切公式证明内容：，证明：考题（2010四川理19）eq\o\ac(○,1)证明两角和的余弦公式；eq\o\ac(○,2)由推导两角和的正弦公式.

解：①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β及-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．则P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））

由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2

展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由①易得cos（π-α）=sinα，sin（π2-α）=cosα

sin（α+β）=cos[-（α+β）]=cos[（-α）+（-β）]=cos（-α）cos（-β）-sin（-α）sin（-β）=sinαcosβ+cosαsinβ；数学必修五数列等差数列通项公式已知等差数列{}的首项为，公差为d，证明数列{}的通项公式为证明：由等差数列的定义可知:说明：用“叠加法”证明等差数列的通项公式，需要验证对同样成立等差数列前项和内容：是等差数列，公差为，首项为，为其前n项和，则证明：由题意，①反过来可写为：②①+②得：2所以，③，把代入③中，得3、等比数列通项公式已知等比数列{}的首项为，公比为q，证明数列{}的通项公式为类比等差数列通项公式的证明，用“叠乘法”证明等比数列前n项和内容：是等比数列，公比为，首项为，为其前项和，则=证明：①②①—②得：，当时，③把代入③中，得当时，很明显所以，=考题（2013陕西文）17.设Sn表示数列的前n项和. (Ⅰ)若为等差数列,推导Sn的计算公式; (Ⅱ)若,且对所有正整数n,有.判断是否为等比数列.解：(Ⅰ)设公差为d,则.（北师大版数学必修五课本证明方法）(Ⅱ)，.所以,是首项,公比的等比数列，2、（2013陕西理）17.设是公比为q的等比数列. (Ⅰ)推导的前n项和公式;(Ⅱ)设q≠1,证明数列不是等比数列.解：(Ⅰ)分两种情况讨论，①②.上面两式错位相减:，③综上，（北师大版数学必修五课本证明方法）(Ⅱ)使用反证法，设是公比q≠1的等比数列,假设数列是等比数列.则①当=0成立，则不是等比数列，②当成立，则，这及题目条件q≠1矛盾，③综上两种情况，假设数列是等比数列均不成立，所以当q≠1时,数列不是等比数列，abDABabDABC内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即已知：在中，分别为角的对边，求证：证明：方法1利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有，由此，得，同理可得，故有.ABCDABCDba（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有，，由此，得，同理可得故有.（3）在中，，由(1)(2)（3）可知，在ABC中，成立.方法2.外接圆证明正弦定理在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=.∴.同理,可得.∴.这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式.方法3.向量法证明正弦定理方法4.等面积法（略）2、余弦定理证明（p49）内容：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边及他们夹角的余弦之积的两倍，即证明：方法1向量法证明方法2三角形证明（过程如下考题）考题（陕西2011年文、理18）叙述并证明余弦定理，解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边及他们夹角的余弦之积的两倍，或：在ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有证法一如图即同理可证证法二已知ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则,

同理可证第三章不等式（无）数学选修2-1第一章常用逻辑用语（无）第二章空间向量及立体几何1、空间向量基本定理：2、线面垂直判定定理（p40例1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线及此平面垂直．3、面面平行判定定理（p40例2）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．4、三垂线定理（p41例3）考题（2012陕西理18题）（1）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）【解析】（Ⅰ）证法一如图，过直线上一点作平面的垂线，设直线，，，的方向向量分别是，，，，则，，共面.根据平面向量基本定理，存在实数，使得，则，因为，所以，又因为，，所以，故，从而.证法二如图，记,为直线上异于点的任意一点，过作,垂足为,则.，直线，又，平面,,平面，又平面，.（Ⅱ）逆命题为：是平面内的一条直线，是平面外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则.逆命题为真命题第三章圆锥曲线及方程1、椭圆标准方程（）的推导解、以和所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系；（建系）设是椭圆上任意一点，设，则，；（设点）由得；（列式、代换）移项平方后得，

整理得，，

两边平方后整理得，（化简）由椭圆的定义知，，即，∴，令，其中，代入上式，得，两边除以，得：（）2、抛物线标准方程y2=2px（p>0）的推导解：如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=（>0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为