高考数学一轮复习课件第19讲：定积分及其应用举例

高考数学(理科)一轮复习课件第19讲定积分及其应用举例定积分的概念与性质定积分的计算方法定积分的应用举例定积分与其他知识点的综合应用高考真题解析与练习contents目录01定积分的概念与性质黎曼和在区间[a,b]上，将[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$Deltax$，取小区间的一个代表点$x_i$，然后求所有小区间上函数值的和，即$f(x_i)Deltax$的和。定积分定义定积分是积分的一种，是函数在闭区间上黎曼和的极限。极限思想当n趋向于无穷大时，小区间的长度趋向于0，即$Deltaxto0$，此时黎曼和的极限就是定积分。定积分的定义$int(k_1f(x)+k_2g(x))dx=k_1intf(x)dx+k_2intg(x)dx$，其中k1和k2是常数。线性性质区间可加性下限性质$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$。$int_a^bf(x)dx=-int_b^af(x)dx$。030201定积分的性质对于函数$f(x)$在区间[a,b]上的定积分，其几何意义就是求由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。面积定积分在物理中有广泛的应用，例如求变力沿直线所做的功、液体的压力等。物理意义定积分的几何意义02定积分的计算方法微积分基本定理是计算定积分的核心，它建立了积分与微分之间的联系。总结词微积分基本定理，也称为牛顿-莱布尼茨公式，它表示一个连续函数在一个区间上的定积分等于该函数在区间两个端点处的值之差与该区间长度的乘积的一半。这个定理是计算定积分的基石，因为它将复杂的积分问题转化为简单的求和问题。详细描述微积分基本定理总结词定积分的计算公式是直接应用微积分基本定理得到的。详细描述定积分的计算公式是∫baf(x)dx=f(ξ)Δx，其中a和b是积分的上下限，f(x)是待积分的函数，ξ是[a,b]内的一个点，Δx是小区间的长度。这个公式表示将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上用矩形近似替代被积函数，最后求和得到定积分的值。定积分的计算公式定积分的换元法是一种通过变量替换简化积分计算的方法。总结词定积分的换元法是通过引入新的变量替换原来的变量，从而将复杂的积分转化为简单的积分。这种方法的关键在于找到合适的变量替换，使得积分过程变得简单。常见的换元法有三角换元法和根式换元法等。详细描述定积分的换元法03定积分的应用举例平面图形的面积计算定积分在平面图形面积计算中有着广泛的应用，通过计算曲线下方的面积，可以解决一系列实际问题。总结词定积分的基本思想是“分割、近似、求和、取极限”，在平面图形面积计算中，可以将图形分割成若干小矩形或梯形，然后求和得到面积的近似值，最后取极限得到精确值。例如，计算由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲线下方的面积。详细描述定积分在计算变速直线运动的路程中起到关键作用，通过将速度函数与时间轴围成的面积计算，可以得到物体在任意时间内的位移。对于变速直线运动，其速度v是时间t的函数v=v(t)，物体的位移s等于速度函数与时间轴围成的面积，即s=∫v(t)dt。通过定积分可以求出任意时间内的位移，进而得到物体的路程。变速直线运动的路程计算详细描述总结词总结词定积分在计算函数的平均值中具有重要意义，通过计算函数在一个区间上的定积分，可以得到该函数的平均值。详细描述函数的平均值是指在一定区间上函数的平均表现，可以通过计算函数在该区间上的定积分并除以区间的长度得到。例如，对于函数f(x)，其平均值可以表示为[∫f(x)dx/b-∫f(x)dx/a]/(b-a)，其中a和b分别为区间的下限和上限。函数的平均值04定积分与其他知识点的综合应用结合定积分和微分方程，可以解决一些涉及速度、加速度、位移等物理量的问题，例如物体运动轨迹、振动问题等。解决这类问题时，需要先建立微分方程，然后通过定积分求解。微分方程是描述变量随时间变化的数学模型，而定积分可以用来计算某一时间段内变量的累积效应。定积分与微分方程的结合不等式是描述变量之间大小关系的数学工具，而定积分可以用来计算不同变量之间的差异。结合定积分和不等式，可以解决一些涉及优化、最值、比较大小等问题，例如最大利润、最小成本等。解决这类问题时，需要先建立不等式，然后通过定积分求解。定积分与不等式的结合解析几何是研究图形与坐标轴之间关系的数学分支，而定积分可以用来计算图形的面积、体积等。结合定积分和解析几何，可以解决一些涉及几何图形的问题，例如求圆的面积、球的体积等。解决这类问题时，需要先利用解析几何的知识确定被积函数和积分的上下限，然后通过定积分求解。定积分与解析几何的结合05高考真题解析与练习

近年高考真题解析2022年全国卷Ⅰ考察定积分的概念与性质，涉及积分区间可加性、比较大小等问题。2021年全国卷Ⅱ考察定积分在几何学中的应用，如求曲边梯形的面积、平面图形的面积等。2020年全国卷Ⅲ考察定积分在物理学中的应用，如求变速直线运动的路程、变力做功等问题。求函数y=sinx在区间[0,π]上的定积分。练习1求由曲线y=x^2和直线y=1围成的平面图形的面积。练习2求质点在变力f(x)=x^2+1的作用下，从x=0移动到x=2时的变力做功。练习3模拟题练习练习1答案：0练习1解析：由于被积函数y=sinx在区间[0,π]上为负值，所以其定积分结果为0。练习2答案：3/4练习2解析：先求出曲线y=x^2和直线y