线性代数主题学习课件VIP

线性代数昆明理工大学数学系2009.122第四节

行列式按行（列）展开余子式和代数余子式行列式按行（列）展开在计算行列式中的运用一、余子式和代数余子式定义：在n阶行列式中，划去元素所在的第i行和第j列，剩下的n-1阶行列式记作子式，的代数余子式。称为元素，称为元素的余而例如，三阶行列式各元素的余子式和代数余子式分别为：由定义可知，当元素所在的（行数+列数）为偶数时，代数余子式和余子式相等，为奇数时，代数余子式和余子式相差一个符号。引理：在n阶行列式D的第i行所有元素中，除元素其余元素都为零，则外，证明：例如，对于如下行列式按行列式的定义，第二行只有第一个元素不为0，且二、行列式按行（列）展开定理：设n阶行列式则有按第i行展开式：（i=1，2，…，n）按第j列展开式：（j=1，2，…，n）证明：例如，下述行列式按第2行、第3列分别展开为：按第2行展开：按第3列展开：推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

证明：也可以这样理解上述推论：也就是说，左边的行列式按第2行展开，就得到（1）式。反之，（1）式可以还原到左边的行列式。若取则（1）式还原为：等价例如容易看到，如果取则（1）式还原为：

这个行列式有两行相等，因此它的值等于0。推论中的两个式子等于0，就是因为它们还原之后，有两行（列）相等。利用行列式的展开式，可以将计算n阶行列式化为计算n－1阶行列式。对于数字元素的行列式，经常将某行（列）的元素除一个元素外都化为零，再按该行（列）展开，达到降阶的目的。三、在计算行列式中的运用例1、计算行列式解：例2、设求：1、D中第三行元素代数余子式的和2、D中第四行元素余子式的和：解：例3.证明n阶（n>1）范德蒙行列式前项下标大于后项下标证明：n阶范德蒙行列式等于个形如的因子的乘积。例如是项的乘积当，，…，中有两个数相等时，范德蒙行列式等于0，所有数互不相等时，其值才不等于0。例4.计算n阶行列式，i=1，2，…，n)解：利用加边法计算，添加一行一列，即添加第一行和第一列后，行列式阶数变成n+1本节完证明：先证i=j=1的情形，设根据行列式定义，有除外，第一行全为0。再证一般情形，设将D中第i行依次与第i-1行，i-2行，…，1行相交换，再再将得到的行列式的第j列依次与第j-1列，j-2列，…，1列相交换，设得到的行列式为。则中1行1列的元素为

。中1行1列元素的余子式等于D中i行j列元素的余子式，由前面证过的结论，有因为是由D经过（i-1）+（j-1）次行、列的交换得到的，所以有证毕。证明：根据第三节行列式性质5，D等于n个行列式之和，即根据引理，就得到第i行展开式按列的展开式同理可证，证毕。证明：根据定理，将D按j行展开，有

第i行第j行在等式两边，将

,,…,依次换做,,…,,,,…,（不含第j行元素）得第i行第j行证明：对阶数n用数学归纳法，当时，有所以结论成立。设结论对n-1阶范德蒙行列式成立，即设对n阶范德蒙行列式，从第n行开始，后行减去前行的倍，得按第一列展开，再提取各列的公因式，得：右端的行列为n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设，得即结论对n阶范德蒙行列式也成立。由归纳法，该等式对