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文档简介
20232024学年上学期期末模拟考试02高二数学(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.测试范围:空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,则下列结论正确的是(
)A.B.C.D.【答案】D【分析】根据空间向量的共线,垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法,模长定义即得.【详解】因,对于A选项,由可得:,易知的值不存在;对于B选项,由可知不成立;对于C选项,;对于D选项,故选:D.2.抛物线的焦点到点的距离为(
)A.2 B. C. D.4【答案】B【分析】首先求出焦点坐标,再利用距离公式计算可得.【详解】抛物线的焦点为,所以点到焦点的距离.故选:B3.2023年10月17~18日,第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行,有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年,中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为.现已知2013年进出口累计总额为万亿美元,则2022年进出口累计总额(保留1位小数)约为(
).参考数据:A.万亿 B.万亿 C.万亿 D.万亿【答案】B【分析】根据给定信息,构建等比数列,再求出其中的项即可.【详解】依题意,从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列,其中,公比,所以2022年进出口累计总额为(万亿).故选:B4.给出下列命题:①直线的倾斜角不存在;②若直线的方向向量,平面的法向量,则;③已知为空间直角坐标的原点,且,则点到直线的距离是;④如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么一定共线.其中真命题的个数是(
)A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【分析】对于①④,可举出反例;对于②,计算向量数量积得到,从而得到或;对于③,变形后得到直线所过定点.【详解】对于①,直线的倾斜角为,①错误;对于②,因为,故,则直线与垂直,则或,②错误;对于③,由题意可知是直线的方向向量,在直线上的投影向量的模长为,所以点到直线的距离是,③正确;对于④,如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底,则向量与与任何向量均共面,那么一定共线,④正确.故选:B5.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论:平面内与两点距离的比为常数()的点的轨迹是圆,后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点,动点满足,则点P的轨迹与圆的公切线的条数为(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】根据两点距离公式整理等式,可得动点的轨迹方程,明确两圆的圆心和半径,结合两圆的位置关系,可得答案.【详解】由题意知,化简得,其圆心为,半径,又圆C的圆心,半径,所以,且,所以两圆相交,故其公切线的条数为2条.故选:B.6.在正方体中,若棱长为,,分别为线段,上的动点,则下列结论错误的是(
)A.平面 B.直线与平面所成角的正弦值为定值C.平面平面 D.点到平面的距离为定值【答案】B【分析】以为坐标原点,建立空间直角坐标系,结合正方体的结构特征,利用空间向量逐个计算判断即可【详解】以为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,则,令,得,令,得,,对于A,,显然,即,,而,平面,因此平面,A正确;对于B,由平面,平面,得,因为,,平面,则平面,于是为平面的一个法向量,,设直线与平面所成角为,则不是定值,B错误;对于C,由选项A知平面,即为平面的一个法向量,而,则,即有,又,平面,因此平面,则平面平面,C正确;对于D,显然,因此点到平面的距离为,为定值,D正确.故选:B7.已知双曲线,过的右焦点作其渐近线的垂线,垂足为,若的面积为,则的离心率为(
)A. B. C.2 D.【答案】C【分析】先求出焦点到渐近线的距离为,由勾股定理求出的边长,再由面积得到的关系,从而求出离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为:过的右焦点作其渐近线的垂线,垂足为,则所以在中,,所以则,即所以,即,所以,故故选:C8.定义“等方差数列”:如果一个数列的各项都是实数,且从第二项起,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,那么这个数列就叫做等方差数列,这个常数叫做该数列的公方差.已知各项均为正数的数列是等方差数列,且公方差为,,则数列的前33项的和为(
)A.3 B.6 C.2 D.4【答案】A【分析】根据数列是等方差数列,且公方差为3,得到,再利用等差数列通项公式求得,从而得到求解.【详解】解:因为数列是等方差数列,且公方差为3,所以,又,所以,又数列的各项均为正数,所以,所以,,所以,,故选:A.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如图,在平行六面体中,以顶点为端点的三条棱长都是2,且它们彼此的夹角都是为与的交点,若,则下列正确的是(
)A. B.C. D.的长为【答案】AC【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用,以,,为基底表示,就可以得到结论;C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦,先用基底表示和,再求它们的数量积和模,利用可判断C是否正确;对D选项,先用基底表示,再结合可求的长.【详解】∵,故A正确.∵.故B错误.又∵,.,;,..∴.故C正确.∵,∴.故D错误.故选:AC.10.已知直线l:和圆O:,则(
)A.直线l恒过定点B.存在k使得直线l与直线:垂直C.直线l与圆O相交D.直线l被圆O截得的最短弦长为【答案】BC【分析】利用直线方程求定点可判断选项A;利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B;利用直线恒过定点在圆内可判断选项C;利用弦长公式可判断选项D.【详解】对A,由可得,,令,即,此时,所以直线l恒过定点,A错误;对B,因为直线:的斜率为,所以直线l的斜率为,即,此时直线l与直线垂直,满足题意,B正确;对C,因为定点到圆心的距离为,所以定点在圆内,所以直线l与圆O相交,C正确;对D,因为直线l恒过定点,圆心到直线l的最大距离为,此时直线l被圆O截得的弦长最短为,D错误;故选:BC.11.已知数列满足,设数列的前项和为,则下列结论正确的是(
)A.数列为等差数列 B.C.数列的前项和为 D.数列的前项和为【答案】ABC【分析】先构造数列,知其前项和求通项,进而再求出,选项A,由定义证明为等差数列;选项B,利用等差数列前项和公式求解即可;选项C,两项并一项,并项为常数列求和;选项D,分段讨论去绝对值后,分组求和,再利用等差数列求和公式即可求出.【详解】由,设,则,所以当时,,两式相减得,,当时,也适合上式.则,解得,,所以,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,故选项AB正确;选项C,数列的前项和,故C项正确;选项D,,则前项和为,故D项错误.故选:ABC.12.已知,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点(不在轴上),外接圆的圆心为,半径为,内切圆的圆心为,半径为,直线交轴于点,为坐标原点,则(
)A.最大时, B.的最小值为C. D.的取值范围为【答案】BCD【分析】根据焦点三角形的面积,可知其最大值,再根据内切圆半径公式可判断A选项,根据外心的概念及向量的线性运算可判断B选项,根据内切圆的性质可得,即可判断C选项,再根据外接圆半径与内切圆半径的求法可判断D选项.【详解】由,得,,,A选项:设,则,,,所以当点在短轴端点时,面积最大值为,此时由内切圆性质可知,则,A选项错误;设,,则,B选项:如图所示,设中点为,则,所以,又,同理,所以,当且仅当时,等号成立,B选项正确;C选项:设与交于点,由角分线定理可知,即,即,所以,所以,C选项正确;D选项:设,由正弦定理得,即,由余弦定理得,则,且,即,当且仅当时取等号,所以,,所以,则,D选项正确;故选:BCD.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,则向量在上的投影向量的坐标是.【答案】【分析】由已知得出的坐标,然后求出投影向量即可得出答案.【详解】因为,,所以,向量在上的投影向量是,其坐标为.故答案为:.14.已知正项数列的前项和为,且满足,若,,则【答案】【解析】【详解】因为,所以数列为等比数列,设公比为,则,得,解得(舍去),所以.15.已知两点,,若直线上存在四个点,使得是直角三角形,则实数的取值范围是【答案】【分析】根据△MNP是直角三角形,转化为以MN为直径的圆和直线y=k(x3)相交,且k≠0,然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可.【详解】当P1M⊥x,P4M⊥x时,此时存在两个直角三角形,当MN为直角三角形的斜边时,△MNP是直角三角形,要使直线y=k(x3)上存在四个点P(i=1,2,3,4),使得△MNP是直角三角形,等价为以MN为直径的圆和直线y=k(x3)相交,且k≠0,圆心O到直线kxy3k=0的距离,平方得9k2<4(1+k2)=4+4k2,即5k2<4,即k2<,得.又k≠0,∴实数k的取值范围是16.从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点;从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆C与双曲线S构成,现一光线从左焦点发出,依次经S与C反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的S去掉,如图②,此光线从点发出,经C两次反射后又回到了点,历时秒.若C与S的离心率之比为,则.【答案】6【分析】在图①和图②中,利用椭圆和双曲线的定义,分别求得和的周长,再根据光速相同,时间比等于路程比,再结合C与S的离心率之比为,即可求解.【详解】在图①中,由椭圆的定义得:,由双曲线的定义得,两式相减得,所以的周长为,在图②中,的周长为,因为光速相同,因为C与S的离心率之比为,即,所以.故答案为:6.四、解答题:本题共6小题,共70分.第17题10分,其他每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线和圆.(1)求与直线垂直且经过圆心的直线的方程;(2)求与直线平行且与圆相切的直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】(1)先根据垂直关系设直线,再结合直线过圆心求参即可;(2)先根据平行设直线方程,再根据圆心到直线距离为半径求参得出直线方程.【详解】(1)设与直线垂直的直线的方程为.圆可化为,圆心为,因为直线经过圆心,所以,即,故所求直线的方程为.(2)设与直线平行的直线的方程为.因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,所以或10,故所求直线的方程为或.18.(12分)为数列{}的前项和.已知>0,=.(Ⅰ)求{}的通项公式;(Ⅱ)设,求数列{}的前项和.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【分析】(I)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式:(Ⅱ)求出bn,利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和.【详解】解:(I)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2(an+1﹣an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+12﹣an2=(an+1+an)(an+1﹣an),∵an>0,∴an+1﹣an=2,∵a12+2a1=4a1+3,∴a1=﹣1(舍)或a1=3,则{an}是首项为3,公差d=2的等差数列,∴{an}的通项公式an=3+2(n﹣1)=2n+1:(Ⅱ)∵an=2n+1,∴bn(),∴数列{bn}的前n项和Tn()().19.(12分)已知抛物线经过点,直线与抛物线相交于不同的、两点.(1)求抛物线的方程;(2)如果,直线是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点,试说明理由.【答案】(1)(2)过定点【分析】(1)将点代入抛物线方程,可得,从而可得答案;(2)设出直线方程,与抛物线方程联立,由数量积公式结合韦达定理可得,进而可得答案.【详解】(1)由题意可知,将点代入抛物线方程,可得,解得,则抛物线方程为.(2)因为,直线与抛物线相交于不同的、两点,所以直线不与x轴平行,可设,与联立,得,设,,∴,.由,解得,∴过定点.20.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD的中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.(2)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角QACD的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)存在,【详解】试题分析:由PA=PD,O为AD中点,侧面PAD⊥底面ABCD,可得PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得,所以可以O为坐标原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系,然后利用空间向量求解.试题解析:(1)在中,,为AD的中点,所以,侧面PAD底面ABCD,则PO面ABCD.又在直角梯形ABCD中,连接,则,以O为坐标原点,直线OC为x轴,直线OD为y轴,直线为z轴建立空间直角坐标系.,,,所以,直线PB与平面所成角的余弦值为.(2)假设存在,则设=λ因为=(0,1,﹣1),所以Q(0,λ,1﹣λ).设平面CAQ的法向量为=(a,b,c),则,所以取=(1﹣λ,λ﹣1,λ+1),平面CAD的法向量=(0,0,1),因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为,所以=,所以3λ2﹣10λ+
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