小学六年级上册数学奥数知识点讲解第11课《棋盘中的数学2》试题附答案

小学六年级上册数学奥数知识点讲解第11课《棋盘中的数学2》试题附答案

第十一讲棋盘中的数学（二）

一—棋盘覆盖的问题

有这样一道竞赛题：

例1一种骨牌是由形如R的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋

盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？

（A）3X4（B）3X5（C）4X4

（D）4X5（E）6X3

物的I例…幽，,例

例2下图中的8X8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31

个2X1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？

m

2X1

例3在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中:

可以用若干块匚匚□和土拼成的图形是第几号图形?

例42Xn的方格棋盘能用日二I形骨牌覆盖的充分且必要的条件是3

In.

证明：①充分性：即已知3In,求证2Xn棋盘可被日二|骨牌覆盖.

日日日二II

n个

例5一种游戏机的“方块”游戏中共有如下瓦图所示的七种图形，每种图

形都由4个面积为1的小方格组成.现用7个这样的图形拼成一个7X4的长方形

（可以重复使用某些图形）.那么，最多可以用上面七种图形中的几种？

田rfcLLHfci

RE:rrm

例6由1X1、2X2、3X3的小正方形拼成一个23X23的大正方形，在所

有可能的拼法中，利用1X1的正方形最少个数是多少？试证明你的结论.

例78X8的柜盘能否用15个土形骨牌和1个“田”形骨牌覆差?

答案

第十一讲棋盘中的数学（二）

——棋盘覆盖的问题

有这样一道竞赛题：

例1一种骨牌是由形如■=）的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋

盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？

（A）3X4（B）3X5（C）4X4

（D）4X5（E）6X3

解：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）.

这类问题，容易更加一般化，即用2X1的方格骨牌去覆盖一个mXn的方格

棋盘的问题.

定理LmXn棋盘能被2X1骨牌覆盖的充分且必要的条件是皿n中至少有

一个是偶数.

证明：①充分性：即已知m,n中至少有一个偶数，求证：mXn棋盘可被2

XI骨牌覆盖.不失一般性，设m=2k,则mXn=2kXn=kX

（2n）=2n+2n+2n+.........+2n

«.______________________________________________>

k个

易知日IHmIIII可被n个2X1骨牌覆盖，所以mXn

X_________V___/

n个格

棋盘可被kn个2X1骨牌覆盖.

②必要性：即己知mXn棋盘可以被2X1骨牌覆盖.求证：m,n中至少有一

个偶数.若mXn棋盘可被2XI骨牌覆盖，则必覆盖偶数个方格，即mn是个偶

数，因此mn中至少有一个是偶数.

例2下图中的8X8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31

个2X1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？

分析刚一想，31个2XI骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62

个格，好像很有可能盖住.但只要简单一试，便发现不可能.仔细分析，发现

如果把棋盘格黑、白相间染色后，2X1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白

格.只要发现这个基本事实立即可以找到解答.

解：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格32个，

白格30个.另外，如果用2X1骨牌31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，

每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白

格.这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾.所以，无论如何用这31张2

X1的骨牌盖不住这个残角棋盘.

例3在下图Q）、（2）、（3）、（4）四个图形中:

可以用若干块匚E和士拼成的图形是第几号图形？

解：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这

两种图形拼成.

图形（3）的右上角只能用日二I来拼.剩下的图形显然不能用这两种图

形来拼.

只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下

图仅举出一种为例.

说明：排除图（1）与（2）的方法是很重要的.因为一个图形可以用

若干块匚口口和土盖住，这个图形的小方格数一定是3的倍数.因此，

小方格数不是3的倍数的图形一定不能用H口与日二］形的“骨牌”盖住，

这是“必要条件排除法”.但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，也不

能保证一定能用工□与日二）苦住.这表明这个条件并不充分.图形（3）

表明的就是这种情况.

例42Xn的方格祺盘能用日二］形骨牌覆盖的充分且必要的条件是3

In.

证明：①充分性：即已知3In,求证2Xn棋盘可被士骨牌覆盖.

・..

•••

n个

当3In时,设n=3k,

则2Xn=2X3k=k（2X3）

由于两个日二］可拼成一个2X3小棋盘，这时2Xn恰为k个2X3

组成，所以，当3|n时2Xn根盘可以被若干个日二）形盖住.

②必要性：即已知2Xn棋盘可被日二］骨牌覆盖，求证：3|n.

设2Xn棋盘被x个土形覆住，则

2Xn=3Xx

则3I2n,但（2,3）=1,

/.3In.

说明：例4的结论为我们制定mXn棋盘能否被B□形覆盖提供了一种

思考方法.比如，若31n且21m时，皿又近其盘可分成若干个？*/^

盘，而每个棋盘都能被土形盖住，因此，mXn棋盘可被土形盖住.

例5一种游戏机的“方块”游戏中共有如下瓦图所示的七种图形，每种图

形都由4个面积为1的小方格组成.现用7个这样的图形拼成一个7X4的长方形

（可以重复使用某些图形）.那么，最多可以用上面七种图形中的几种？

田eft:Ei:

rrm

分析用七个图形，共4X7=28个方格，要是能拼成4X7的棋盘，

小格数一样，这表明存在可能性.显见由III这型七个,可以拼成4

X7的桓盘；由4个田型及3个匚匚匚□也可以拼成4X7的根盘，

这时采用了小“方块”中的两种.这样试下去，我们会发现，由七种方块中的

6种可阳成4X7棋盘格，如下图所示.但要将七种“方块”每个都只用一

次，要拼成4X7棋盘，试几次会发现拼不出来.因此我们会想到，是不是不可

能呢？下面我们证明这一点.

证明：用6种“方块”构成4X7棋盘已如上图所示.

下面我们证明不能用七种“方块”各一块构成4X7的长方形棋盘.

将长方形的28个小方格如右图黑、白相间进行染色，则黑、白格各为

14个.若能用7种“方块”拼成，则日二）必占据了3个黑格一个白格或3个

白格1个黑格，而其余六种方块图形皆占据黑格、白格各2个.因此，7种方块

图形占据的黑白格数必都是奇数，不会等于14.

%2

勿

综上所述，要拼成4X7的方格，最多能用上七种“方块”中的6种图形.

例6由1X1、2X2、3X3的小正方形拼成一个23X23的大正方形，在所

有可能的拼法中，利用1X1的正方形最少个数是多少？试证明你的结论.

解：用1X1的正方形至少一个.

第一步：中心放一个1X1的正方形,剩下的4个11X12的矩形，是可以用6

个2x2正方形和12个3x3正方形拼成的,如下图所示.

第二步：不用1X1而只用2X2与3X3的正方形是拼不成的.将23X23的大

正方形的1,4,7,10,13,16,19,22各行染红色，其余各行染蓝色如下

图.任意2X2或3X3正方形都将包含偶数个蓝色小格，但蓝格总数是23X15,

是个奇数，矛盾.所以不用1X1的小正方形是拼不成23X23棋盘的.

综上所述，要拼成23X23棋盘，至少要用一个1X1的小正方形.

例78X8的棋盘能否用15个士形骨牌和1个“田”形骨牌覆盖?

解：如右图用黑白二色相间涂染8X8棋盘，总计有32个黑格及32个白

格.

物

%%

%为

%

物物%

砌%

%%

l//l

当我们把“田”放入棋盘时，一定盖住两个小黑格及两个小白格.

当我们把“日~1”形骨牌任意盖在8X8棋盘上时，要么它盖住三黑一

白（称为第I类），要么它盖住三白一黑（称为第H类），总之一个“日二T盖

住奇数个（3个，或］.个）白格.

假设用15个“日二形骨牌和1个“田”形骨牌可以覆盖这个8X8

棋盘，则15个“士”形骨牌将盖住奇数+奇数+…+奇数=奇数个白格，

15^'

1个“田”字格盖住2个白格.所以15个“士T形骨牌和1个“田”形骨

牌共盖住：奇数+2=奇数个白格.这与8X8棋盘上共有32个白格的总数相矛

盾.

所以8义8的棋盘不能用15个日二I形骨牌和1个“田”形骨牌所覆盖！

关于棋盘的覆盖问题我们简单介绍到这里，并且只是个别的例题，作为入

门的先导罢了！

习题十一

1.在4X4的正方形中，至少要放多少个“土”形块，使得在不重

叠的情形下无法苒在正方形中多放一个“日二|”形块？

2