有限元非线性

第八章非线性问题8.1两类非线性问题材料非线性：材料本构关系非线性引起。可分为两类：（1）非线性弹性问题（橡皮、塑料、土壤等），过程可逆；（2）非线性弹塑性问题：材料屈服以后表现，过程不可逆。二者加载同，卸载不同。几何非线性：大位移、大转动引起。（板壳结构大挠度问题，锻压成型）大位移小应变问题材料线性；大位移大应变问题材料非线性，双重非线性。

18.2非线性问题基本解决思路材料非线性：方程形式不变，将材料本构关系线性化，分段求解，将线性问题的方程推广用于非线性问题。几何非线性：通常采用增量分析法，建立变化位的平衡方程。有两种表达格式：（1）在整个分析过程中参考位保持不变，始终取初始位，称为完全Lagrange格式；（2）在整个分析过程中参考位不断被更新，参考前面每一步荷载步开始的位形，称为修正Lagrange格式。求解方法：直接迭代法(割线刚度法)、N-R法或mN-R法(切线刚度法)、初应力法、初应变法和增量法（切线、初应力、初应变增量，主要用于弹塑性分析）。28.3非线性方程求解方法结构整体平衡方程：（1）假定初始近似解：（2）由本构关系求出（3）由平衡方程求得下一步近似解：（4）重复（2）和（3），直到两次结果非常接近。1、直接迭代法（割线刚度）初始线弹性解3RP-δ凸时收敛，凹时可能发散。42、N-R法（切线刚度）任何具有一阶导数的连续函数Ψ(x)，在xn点的一阶Taylor展开：非线性方程Ψ(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程Newton-Raphson迭代公式5针对结构平衡方程：Ψ(δ)=[K]{δ}-{R}={F(δ)}-{R}=0利用N-R公式，有：每次迭代需要修改K。67迭代过程8修正N-R方法(等刚度法)，每次迭代不改变它的刚度值始终取初始刚度，计算量小，但收敛慢些。9N-R法的另一种改进荷载增量法：把荷载分成很多小的荷载步，在每一个荷载步上使用一次或都多次N-R方法。实质上是分段线性化。1011123、初应力法如果材料的应力-应变关系可以表示成即由应变确定应力，设想用具有初应力的线弹性物理方程代替上式：调整初应力值，可以做到上述两式得到的应力相同。13式中：[KT]0为结构的起始切线刚度矩阵，{F}为与初应力等价的节点荷载改写平衡方程14迭代过程弹性解15168.4材料非线性本构关系

8.4.1材料弹塑性行为弹塑性：卸载后存在不可恢复的残余变形。它与非线性弹性材料有显著区别：加载同，卸载不同。17硬化：屈服后应力随应变继续增加；卸载后再加载屈服应力提高，一般等于卸载时的应力。18各种硬化塑性特征各项同性硬化：反向加载的屈服应力与正向卸载点应力数字上相等。随动硬化：卸载点应力与反向加载的屈服应力绝对值之和等于2倍初始屈服应力。混合硬化：介于上二者。19循环塑性特征循环硬松弛循环塑性一般表现20循环硬化循环蠕变218.4.2塑性力学的基本法则

1、米赛斯（VonMises）屈服准则材料在复杂应力状态下的等效应力达到单向拉伸的屈服极限时，材料开始屈服。于是，米赛斯屈服条件可写成：式中等效应力为几何上以σ1=σ2=σ3为轴线的圆柱面。22或用一般应力表示等效应力还可用应力偏量表示为式中232、应变强化假定材料进入屈服后，总应变增量可分成弹性的和塑性两部分对应于等效应力，定义等效应变为242、硬化法则各项同性硬化运动硬化Prager，Zeigler修正25对应于塑性应增量的等效应变称为塑性等效应增量，因为塑性变形不产生体积变化，泊松比为0.5，故有材料进入屈服以后，进行卸载或部分卸载后在加载，新的屈服应力仅与卸载前的等效塑性应变总量有关。新的屈服只有当等效应力适合才发生。上式为等向硬化材料的米赛斯准则，反映等向强化材料屈服和强化之间的关系。H’为强化阶段的曲线斜率。26273、普朗特-路斯（Prandtl-Reuss）塑性流动理论

如果将等向强化米赛斯准则式写成则F可以看成n维应力空间的一个曲面，称为屈服面。对于金属一类材料，塑性应变增量和屈服面之间存在如下关系28上式可以解释为塑性应变增量“向量”垂直于n维应力空间的屈服面。称为普朗特-路斯流动法则293、应力-应变关系当应力产生一微小增量时，总应变增量可分解成弹性的和塑性的两部分30根据强化材料米赛斯准则和普朗特-路斯流动法则上式可化为31等效塑性应变增量和总应变增量的关系式[D]P32记增量形式的弹性应力-应变关系[D]ep

通常称为弹性矩阵338.5弹塑性问题的求解方法

采用增量法。假设可以按比例地施加载荷，将结构的弹性极限载荷作为第一个增量，其余的载荷再分成若干等分；如果实际载荷不是按比例施加的，可根据实际情况确定载荷增量。当材料进入塑性后，只要载荷增量适当小，应力增量和应变增量的关系可视为线性，近似地表示成常用的方法有增量切线刚度法、增量初应力法等。341、增量切