中考数学全程演练第33课时 相似形的应用

第33课时相似形的应用(60分)一、选择题(每题6分，共24分)1．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图33－1所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B间距离的有(C)图33－1A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【解析】此题比较综合，要多方面考虑．①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③因为△ABD∽△FED，可利用eq\f(FE,AB)＝eq\f(DE,DB)求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组数据可以求出A，B间距离．图33－22．如图33－2是小明设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝12m，那么该古城墙的高度是 (B)图33－2A．6m B．8m C．18m D．24m【解析】由平面镜的入射角等于反射角，易得∠APB＝∠CPD.又∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴eq\f(PB,PD)＝eq\f(AB,CD)，即eq\f(1.8,12)＝eq\f(1.2,CD)，解得CD＝8m.3．[2014·达州]如图33－3，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C，D.图33－3①△OB1C∽△OA1D；②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.上述4个结论中，正确结论有 (D)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个图33－44．[2015·聊城模拟]如图33－4，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是(C)图33－4A．3.25m B．4.25mC．4.45m D．4.75m【解析】设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得eq\f(CB,BD)＝eq\f(1,0.8)，而CB＝1.2，∴BD＝0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得eq\f(x,3.56)＝eq\f(1,0.8).解得x＝4.45.∴树高为4.45m.二、填空题(每题6分，共24分)5．[2015·新疆]如图33－5，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球拍击球的高度h为__1.4__m.图33－5【解析】由题意得，DE∥BC，∴△ABC∽△AED，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AB)，即eq\f(0.8,h)＝eq\f(4,4＋3)，解得h＝1.4m．∴击球高度为1.4m.图33－66．如图33－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为__18__cm.图33－6【解析】根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比进行解答．7．[2014·遵义]“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图33－7，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝__eq\f(21,20)__里．图33－7图33－88．[2015·达州]如图33－8，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M.若AB＝6，BC＝9，则AM的长为__eq\f(9,4)__.图33－8【解析】∵C′是AB的中点，AB＝6，∴AC′＝BC′＝3，∵四边形DCFE沿EF翻折至D′C′FE，∴CF＝C′F，∠C＝∠MC′F，∴BC＝BF＋FC＝BF＋FC′＝9，∴FC′＝9－BF，在Rt△BC′F中，根据勾股定理，得BF2＋BC′2＝FC′2，即32＋BF2＝(9－BF)2，解得BF＝4，∴FC′＝5，又∵∠BFC′＋∠BC′F＝90°，∠AC′M＋∠BC′F＝90°，∴∠BFC′＝∠AC′M，∵∠A＝∠B＝90°，∴△FC′B∽△C′MA，∴eq\f(BF,AC′)＝eq\f(BC′,AM)，即eq\f(4,3)＝eq\f(3,AM)，∴AM＝eq\f(9,4).三、解答题(共20分)图33－99．(10分)[2014·岳阳]如图33－9，矩形ABCD为台球桌面．AD＝260cm，AB＝130cm.球目前在E点位置，AE＝60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点的位置．图33－9(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．解：(1)由题意，得∠EFG＝∠DFG，∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，∴∠BFE＝∠CFD，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDF；(2)∵△BEF∽△CDF，∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(BF,CF)，∴eq\f(70,130)＝eq\f(260－CF,CF)，∴CF＝169. 图33－1010．(10分)[2015·菏泽]如图33－10，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1km，AN＝1.8km，AB＝54m，BC＝45m，AC＝30m，求M，N两点之间的直线距离． 图33－10第10题答图解：连结MN，第10题答图∵eq\f(AC,AM)＝eq\f(30,1000)＝eq\f(3,100)，eq\f(AB,AN)＝eq\f(54,1800)＝eq\f(3,100)，∴eq\f(AC,AM)＝eq\f(AB,AN)，∵∠BAC＝∠NAM，∴△BAC∽△NAM，∴eq\f(BC,MN)＝eq\f(3,100)，∴eq\f(45,MN)＝eq\f(3,100)，∴MN＝1500.答：M，N两点之间的直线距离为1500m.(20分)11．(10分)[2015·邵阳]如图33－11，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5m，EF＝0.25m，目测点D到地面的距离DG＝1.5m，到旗杆的水平距离DC＝20m，求旗杆的高度．图33－11【解析】根据题意可得△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．解：由题意可得△DEF∽△DCA，则eq\f(DE,DC)＝eq\f(EF,CA)，∵DE＝0.5m，EF＝0.25m，DG＝1.5m，DC＝20m，∴eq\f(0.5,20)＝eq\f(0.25,AC)，解得AC＝10，故AB＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5(m)，答：旗杆的高度为11.5m.图33－1212．(10分)如图33－12，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．图33－12(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)求证：CE∥AD；(3)若AD＝4，AB＝6，求eq\f(AC,AF)的值．解：(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，∴AC2＝AB·AD；(2)证明：∵在Rt△ACB中，E为AB的中点，∴CE＝eq\f(1,2)AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA.又∵∠CAD＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；(3)∵CE∥AD.∴∠DAF＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF，∴△AFD∽△CFE，∴eq\f(AD,CE)＝eq\f(AF,CF).∵CE＝eq\f(1,2)AB，AB＝6，∴CE＝eq\f(1,2)×6＝3.又∵AD＝4，由eq\f(AD,CE)＝eq\f(AF,CF)得eq\f(4,3)＝eq\f(AF,CF)，∴eq\f(AF,AC)＝eq\f(4,7)，∴eq\f(AC,AF)＝eq\f(7,4).(12分)13．(12分)[2015·德州](1)问题如图33－13①，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°.求证：AD·BC＝AP·BP；(2)探究如图②，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由；(3)应用请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图③，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC＝∠A.设点P的运动时间为t(s)，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．图33－13解：(1)证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∠BPC＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠BPC.∴△ADP∽△BPC.∴eq\f(AD,BP)＝eq\f(AP,BC).∴AD·BC＝AP·BP；(2)结论AD·BC＝AP·BP仍成立．理由：∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，又∵∠BPD＝∠A＋∠ADP，∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP.∵∠DPC＝∠A＝θ，∴∠BPC＝∠ADP，又∵∠A＝∠B＝θ，∴△ADP∽△BPC，∴eq\f(AD,BP)＝eq\