无锡市天一中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题（解析版）

江苏省天一中学2021-2022学年第二学期高二期中考试高二数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设全集，集合，则集合（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用补集、交集的定义求解作答.【详解】解不等式得：，即，则，解不等式得：，则，因此，，所以.故选：C2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用对数不等式的解法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】由，得，即，于是有，解得，因为“”不能推出“”，故充分性不成立；因为“”能推出“”，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.若的展开式中的系数为20，则实数（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】将展开，求出给定式子展开式中项，再列式计算作答.【详解】因，则的展开式中项为：，依题意，，解得，所以实数.故选：B4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. B.C.在区间内有3个极值点 D.的图象在点处的切线的斜率小于0【答案】B【解析】【分析】根据导函数的正负可得单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C错误；由可知D错误.【详解】由图象可知：当和时，；当时，；在，上单调递增；在上单调递减；对于A，，，A错误；对于B，，，B正确；对于C，由极值点定义可知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C错误；对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D错误.故选：B.5.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（）色差x21232527色度y15181920A. B. C.0.8 D.0.96【答案】C【解析】【分析】根据表中的数据求出，，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出，从而得到回归直线方程，再将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差.【详解】由题意可知，，，将代入，即，解得，所以，当时，，所以该数据的残差为.故选：C.6.天一中学高二7班计划在今年五一国际劳动节当日安排6位同学到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（）A.35 B.40 C.50 D.70【答案】C【解析】【分析】根据不平均分组和平均分组及分配问题，结合排列数和组合数即可求解.【详解】由题意可知，6位同学分成两组，每组不少于2人的分组，可以是一组2人另一组4人或每组3人，所以不同的分配方案数为.故选：C.7.已知随机变量，且，则（）A. B.9 C.21 D.36【答案】D【解析】【分析】结合结合二项分布期望公式列方程求，再由二项分布方差公式和方差性质即可求．【详解】由题意，随机变量，可得，又由，解得，即随机变量，可得，所以，故选：D．8.已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件，等价变形不等式，构造函数，利用其单调性在时建立恒成立的不等式，再分析的情况作答.【详解】依题意，，，令，求导得：，时，，即上单调递增，当时，，，若，有，于是得，，令，求导得，则在上单调递增，，，因此，，当时，，，符合题意，则，所以a的取值范围是.故选：A【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.下列命题正确的是（）A.命题“”的否定是“”B.的充要条件是C.D.是的充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据含量词的命题的否定方法判断A，根据充分条件和必要条件的定义判断B，D，根据全称量词命题的真假的判断方法判断C.【详解】命题“”的否定是“”，A对，当时，但不存在，所以不是的充分条件，B错，当时，，C错，由可得，所以是的充分条件，D对，故选：AD.10.给定函数．下列说法正确的有（）A.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增B.函数的图象与x轴有两个交点C.当时，方程有两个不同的的解D.若方程只有一个解，则【答案】AC【解析】【分析】根据题意，利用导数研究函数的单调性与极值，进而得函数图像，再数形结合,依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：，所以，时，，递减，时，，递增，故A正确；所以，，，时，，因此只在上有一个零点，它与只有一个交点，B错；由上面讨论知时，递减，，时，递增，，作出图象和直线，如图，知当时，方程有两个不同的的解，C正确；由图可知若方程只有一个解，则或，D错误．故选：AC．11.2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的是（）A.小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条B.小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条C.小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为D.小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则【答案】BC【解析】【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，A：小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；B：小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；C：小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；D：由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，所以，错误.故选：BC12.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则B.是正整数C.是的小数部分D.设，则【答案】ACD【解析】【分析】利用的展开式求出计算判断A；取特值计算判断B；化简计算，分析结果判断C；分奇偶讨论计算、即可推理作答.【详解】对于A，，即，，，A正确；对于B，因不是正整数，B不正确；对于C，，展开式的通项，展开式的通项，当且为偶数时，，当且为奇数时，，此时偶数，是正整数，为正整数，为正整数，又，，所以是的小数部分，C正确；对于D，当为正偶数时，，，，则，，有，因此，，当为正奇数时，，，，则，，有，因此，，综上得，，，D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：涉及二项式定理的问题，二项式定理的核心是通项公式，求出给定二项式的通项公式是解决问题的关键.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知随机变量，则______．【答案】0.3【解析】【分析】正态曲线关于直线，即对称，根据其对称性，即可求出答案.【详解】因为，，又所以，根据正态曲线的对称性，可知.故答案为：0.314.已知，则____________．【答案】【解析】【分析】利用赋值法分别将与带入原式求解即可.【详解】解：令，则①，令，则②，则①－②可得：，故答案为：15.某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过______．附：0.050.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828【答案】0.025【解析】【分析】根据列联表计算，再根据临界值参考数据比较大小即可得出结论．【详解】集中培训分散培训合计一次考过453075一次未考过102030合计5550105，故答案为：0.025．16.已知，若是函数的零点，且，则的最小值是____________．【答案】-4【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性，结合条件确定的正负，再求出的解析式，再利用导数求其最值.【详解】因为，所以，若时，，函数在上单调递增，所以函数至多只有一个零点，与条件矛盾，若时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为函数有三个零点，且，所以，，且，所以，又，由零点存在性定理可得，所以，所以，与已知矛盾，若时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为函数有三个零点，且，所以，，且，所以，因为所以，且所以故解得故令，故在上单调递减，在上单调递增，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故答案为：【点睛】本题解决的关键在于利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性确定的正负，并由此求出目标函数的解析式.四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在定义域内极值．【答案】（1）（2）函数的极大值为；极小值为；【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解;（2）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.【小问1详解】由，得，所以，即切点为，所以函数在点处的切线的斜率为，所以切线方程为，即.【小问2详解】由题意可知，的定义域为.因为，所以，令即，解得或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；18.已知集合，集合．现有三个条件：条件①；条件②；条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：（1）若，求；（2）若______，求m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．【答案】（1）；（2）条件选择见解析，.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合A，把代入，再利用补集、交集的定义求解作答.（2）选条件①，条件②，条件③可得，再利用集合的包含关系求解作答.【小问1详解】解不等式得：，则有，当时，，或，所以.【小问2详解】选条件①，，由（1）知，，而，于是得，解得，所以m的取值范围是.选条件②，，由（1）知，，而，于是得，解得，所以m的取值范围是.选条件③：，由（1）知，，而，于是得，解得，所以m的取值范围是.19.已知二项式，（且）．若、、成等差数列．（1）求展开式的中间项；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）7．【解析】【分析】（1）根据二项式定理写出并化简，写出，由这三项成等差中项列出等式解出n，进而写出最中间项即可；（2）设最大，则，展开解出即可【详解】（1），则，，，由题意知，则，即，因为，所以.展开式的中间项是（2）设最大，则有，即，解得,又，∴或6所以的最大值为.20.某昆虫的产卵数y和温度x有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：温度x/20253035产卵数y/个520100325（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（数字保留2位小数）参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为参考数据：，y5201003251.6134.615.78【答案】（1）模型更适宜（2）【解析】【分析】（1）由于散点图类似指数函数的图像，由此选择.（2）对；两边取以为底的对数，将非线性回归的问题转化为线性回归的问题，利用回归直线方程的计算公式计算出回归直线方程，进而化简为回归曲线方程.【小问1详解】依散点图可知，随着温度的增大，昆虫的产卵数y的增长速度越来越快，故模型更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型．【小问2详解】因为，令，所以与可看成线性回归，，所以，所以，即，21.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．【答案】（1）分布列见解析，；（2）【解析】【分析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得