新教材适用2023-2024学年高中数学第6章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第3课时余弦定理正弦定理应用举例学案新人教A版必修第二册

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例课标要求1．能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题．2．巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法．素养要求通过分析问题，利用余弦、正弦定理解决实际问题，体会数学建模及数学运算素养.知识点1基线的概念与选择原则(1)基线的定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．(2)选择基线的原则在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线_越长__，测量的精确度越高．知识点2相关术语(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_上方__时叫仰角，目标视线在水平视线_下方__时叫俯角，如图所示．(2)方位角指从_正北方向__顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示)．(3)方位角的其他表示——方向角①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向．②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示)．练一练：若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(C)A．东偏北45°10′方向上B．东偏北44°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南44°50′方向上[解析]如图所示．题型探究题型一测量距离问题典例1为测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距eq\r(3)km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B之间的距离为eq\r(5)km.[解析]在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)·eq\f(\r(6)＋\r(2),2)·cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5)(km)．故A、B之间的距离为eq\r(5)km.[归纳提升]测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB对点练习❶(1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(D)A．10eq\r(3)海里 B．eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里(2)已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C北偏西65°且到C的距离为eq\r(3)km，则A，B两船的距离为(D)A．2eq\r(3)km B．3eq\r(2)kmC．eq\r(15)km D．eq\r(13)km[解析](1)根据题意，可得如图所示．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，所以C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，所以BC＝5eq\r(6)(海里)．(2)如图可知∠ACB＝85°＋65°＝150°，AC＝2km，BC＝eq\r(3)km，所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，所以AB＝eq\r(13)km.题型二测量高度问题典例2如图，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在点A测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中点D是点C到水平面的垂足，求山高CD．[解析]由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD．因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山的高度为800(eq\r(3)＋1)m.[归纳提升]测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．对点练习❷如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一．小强同学学以致用，欲测量大运塔AB的高度．他选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝120°，CD＝112m，在C，D两观测点处测得大运塔顶部A的仰角分别为45°，30°，则大运塔AB的高为(B)A．56eq\r(2)m B．112mC．112eq\r(2)m D．112eq\r(3)m[解析]由题意得，在直角△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB，在直角△ABD，∠ADB＝30°，所以eq\f(AB,BD)＝tan30°，即BD＝eq\r(3)AB，在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝112，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，即3AB2＝AB2＋1122－2×112·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·AB，因为AB>0，所以解得AB＝112.即大运塔AB的高为112m.故选B．题型三测量角度问题典例3某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10eq\r(3)海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．[解析]设所需时间为t小时，则AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以护航舰需要1小时靠近货船．此时AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2)，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.[归纳提升]解决角度问题时的方法：1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上时，用正、余弦定理皆可．对点练习❸甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq\r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？[解析]如图所示．设经过t小时两船在C处相遇，则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝eq\r(3)at(海里)，B＝90°＋30°＝120°，由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at×sin120°,\r(3)at)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．易错警示利用余弦定理产生增根致误典例4某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31km，正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时CD间的距离为21km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？[错解]本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A城，即求AD的长，在△ACD中，已知CD＝21km，∠CAD＝60°，只需再求出一个量即可．如图，设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理，得cosβ＝eq\f(BD2＋CD2－CB2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7)，∴sinβ＝eq\f(4\r(3),7).∴在△ACD中，eq\f(AC,sin180°－β)＝eq\f(21,sin60°)＝eq\f(21,\f(\r(3),2))＝14eq\r(3)，∴AC＝14eq\r(3)sin(180°－β)＝14eq\r(3)sinβ＝24，∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos60°，即212＝242＋AD2－2×24×eq\f(1,2)·AD，整理，得AD2－24AD＋135＝0，解得AD＝15或AD＝9，故这个人再走15km或9km就可到达A城．[错因分析]本题在解△ACD时，由于先求AC的长，再用余弦定理求AD，产生了增解．[正解]如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝eq\f(BD2＋CD2－CB2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7)，∴sinβ＝eq\f(4\r(3),7).又sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°·cosβ＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,7)＝eq\f(5\r(3),14)，在△ACD中，eq\f(21,sin60°)＝eq\f(AD,sinα)，∴AD＝eq\f(21×sinα,sin60°)＝15(km)．故这个人再走15km就可以到达A城．对点练习❹(多选题)如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北60°方向，C在B的东偏北30°方向，B在A的正东方向，已知A，B相距(eq\r(3)－1)akm，B，C相距eq\r(3)akm，则(BC)A．D在C的北偏西60°方向B．D在C的北偏西30°方向C．D，C相距akmD．D，C相距eq\r(2)akm[解析]如图所示，∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠DBC＝∠CBE＝30°，∠ADB＝15°，又sin15°＝sin(45°－30°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，所以在△ABD中，eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(BD,sin∠DAB)，解得BD＝2a，在△BDC中，DC2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝a2，所以DC2＋BC2＝BD2，则∠C＝90°，所以D在C的北偏西30°方向，且D，C相距akm.故选BC．1．如图，为了测量障碍物两侧A、B之间的距离，给定下列四组数据，测量时应该用的数据为(C)A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，b[解析]由余弦定理，得|AB|＝eq\r(a2＋b2－2abcosC).故选C．2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(B)A．α>β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°[解析]根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如图．知α＝β，故选B．3．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的(B)A．北偏东10° B．北偏西10