2020秋：一元二次方程根的判别式课件

2.3一元二次方程根的判别式数学湘教版九年级上用配方法解一元二次方程1.定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：3.解法：ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0（p2-4q≥0）（x+m）2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）（x+m）

（x+n）＝0用公式法求出下列方程的解：(1)2x2+x-6＝0； (2)3x2-12x+12＝0； (3)2x2-6x+5＝0．

解：b2-4ac=-4，∵b2-4ac=-4<0∴原方程无实数解.我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，只有b2-4ac≥0原方程才有解.

由于a≠0，所以4a²＞0，因此我们不难发现：

b²-4ac的正负决定了方程的个数.

一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况可由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=b2-4ac.一元二次方程根的判别式根的判别式作用：①判断方程根的情况；②由根的情况确定方程中系数的取值范围.一元二次方程根的判别式

【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x-3=0；

（2）4x2=12x-9；

分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确定它的符号即可．解：∵△=b2-4ac=42-4×3×（-3）=16+36=52＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根.解：将原方程化为一般形式，得4x2-12x+9=0.∵△=（-12）2-4×4×9=144-144=0，∴原方程有两个相等的实数根.

要先将方程化为一般形式，才能确定a，b，c的值.【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：

（3）7y=5（y2+1）．解：将原方程化为一般形式，得5y2-7y+5=0.∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0，∴原方程没有实数根.【例2】当k取什么值时，关于x的方程

2x2-（4k+1）x+2k2=1，（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个相等实数根；

（3）方程没有实数根．分析：先将原方程化为一般形式，再计算判别式的值，后根据根的情况确定△的符号.

【例2】当k取什么值时，关于x的方程

2x2-（4k+1）x+2k2=1，（2）有两个相等实数根；

（3）方程没有实数根．

1．一元二次方程根的判别式与根的情况的关系为：（1）△＞0有两个不相等的实数根；（2）△＝0有两个相等的实数根；（3）△＜0没有实数根．2．先把已知一元二次方程化为一般形式，为应用判别式创造条件．一元二次方程的根与判别式 【例3】设关于x的方程：x²-2mx-2m-4=0，证明:不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.解：∵△=4m²-4（-2m-4）=4m²+8m+16=4（m²+2m+1）+12=4（m+1）²+12>0∴不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根

2.下列一元一次方程中，有实数根的是( )A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0 D.x2+4=01.一元二次方程x2+4x+12=0的根的情况是( )A.有一个实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根DC3.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是（

）A.k≤1B.k≥1C.k<1D.k>1A

4、对关于x的方程x2+6x+m=0回答下列问题．（1）m取什么值时，使方程有两个相等的实数根？（2）m取什么值时，方程有两个不等的实数根？（3）m取什么值时，方程有无实数根？解：这里a=1，b=6，c=m，∴△=b2-4ac=62-4×1×m=36-m，（1）方程有两个相等的实根，即△=36-m=0，即m=36；（2）方程有两个不相等的实根，即△=36-m>0，即m<36；（3）方程无实根，即△=36-m<0，即m>36； 5.已知：a、b、c是△ABC的三边的长，且关于x的方程（a+c）x2+2bx+a-c=0有两个相等的实数根.求证：△ABC是直角三角形.分析：先计算方程判别式的值，再根据△=0确定a、b、c的关系.证：△=（2b）2-4（a+c）（a-c）=4b2-4a2+4c2.∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，∴4b2-4a2+4c2=0，∴b2+c2=a2，∴△ABC是直角三角形. 6