考点49-利用导数求切线方程(讲解)(解析版)

考点49：利用导数求切线方程【思维导图】【常见考法】考点一：求切线的斜率或倾斜角1．曲线在点（1,1）处切线的斜率等于.【答案】2【解析】由，得，故，故切线的斜率为.2．点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围为.【答案】【解析】根据题意可知：则令所以可知曲线在点P处的切线的斜率范围为，所以故3．已知函数若直线l与曲线，都相切，则直线l的斜率为.【答案】【解析】设直线l的斜率为k，则，解得，切点为；且，解得，切点为；因为l与曲线，都相切，所以，解得．考法二：在某点处求切线方程1．设曲线在点处的切线方程_________________.【答案】【解析】由题意，函数的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，即切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即为，即．故答案为：．2．函数的图象在处的切线方程为______________________.【答案】【解析】由题,又,故在处的斜率为,故在处的切线方程为故答案为：3．已知函数，则在处的切线方程为.【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以切点为，所以曲线在处的切线方程为.4．已知，则曲线在点处的切线方程为.【答案】【解析】由题：，所以，，所以，所以，，，所以切线方程为.5．设a为实数，函数的导函数是，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为.【答案】【解析】由所以，又是偶函数，所以，即所以则，所以曲线在原点处的切线方程为考法三：过某点求切线方程1．曲线过点的切线方程为_________．【答案】【解析】由题,,设切点为,则在切点处的切线斜率为,又切线过点,故.故切点为.故切线方程为.故答案为：2．求函数的图象经过原点的切线方程为.【答案】【解析】由函数，则，所以，所以函数的图象经过原点的切线方程为，即.3．若过原点的直线与曲线相切，则切点的横坐标为.【答案】【解析】设切点坐标为，由，切线方程为，原点坐标代入切线方程，得，解得.4．已知函数，则曲线过点的切线条数为.【答案】2【解析】设切点坐标,由，得，切线斜率，所以过的切线方程为，即，切线过点，故，令,则，由，解得或，当时，，当时，，所以的极大值极小值分别为，，故其图像与x轴交点2个，也就是切线条数为2.考法四：已知切线求参数1．已知函数的图象在和处的切线相互垂直，则.【答案】-1【解析】因为，所以，由题意有，所以.2．已知在曲线在点处切线的斜率为1，则实数的值为.【答案】【解析】当时，，，即，得..3．已知函数，过点可作两条直线与的图象相切，则的取值范围是。【答案】【解析】由题意得，，设切点为，切线斜率为，切线方程为：，因为切线过点，所以，即.由于过点可作两条直线与的图象相切，所以方程有两个不相等的正根，令，，所以在上单减，上单增，且，因为时，，时，，结合的图象，可知时满足题意.4．已知函数的图象在点处的切线为直线，若直线与函数，的图象相切，则必满足条件。【答案】【解析】函数的图像在点处的切线的斜率，所以切线方程：即；，设切点为，切线的斜率；所以切线方程：，即，若直线与函数，的图像相切，则方程组有解，所以有解，构造函数，，显然在上单调递增，且；；所以.5．若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围为。【答案】【解析】过点作曲线的切线则设切点坐标为则则过切点的直线方程的斜率为过切点和的斜率为则化简可得令,则令解得或当时,,所以单调递增当时,,