(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习3.6《利用导数证明不等式》(原卷版)

第第页§3.6利用导数证明不等式题型一将不等式转化为函数的最值问题例1已知函数g(x)＝x3＋ax2.(1)若函数g(x)在[1,3]上为单调函数，求a的取值范围；(2)已知a>﹣1，x>0，求证：g(x)>x2lnx.教师备选已知函数f(x)＝1﹣eq\f(lnx,x)，g(x)＝eq\f(ae,ex)＋eq\f(1,x)﹣bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥eq\f(2,x).思维升华待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．跟踪训练1已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明：f(x)≥eq\f(2a－1,a).题型二将不等式转化为两个函数的最值进行比较例2已知函数f(x)＝alnx＋x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，证明：xf(x)<ex.教师备选已知函数f(x)＝ex2﹣xlnx．求证：当x>0时，f(x)<xex＋eq\f(1,e).思维升华若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含lnx与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．跟踪训练2已知函数f(x)＝elnx﹣ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)﹣ex＋2ex≤0.题型三适当放缩证明不等式例3已知函数f(x)＝ex.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当x>﹣2时，求证：f(x)>ln(x＋2)．教师备选已知函数f(x)＝eq\f(xlnx,x＋m)，g(x)＝eq\f(x,ex)，且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为x﹣2y＋n＝0.(1)求m，n的值；(2)证明：f(x)>2g(x)﹣1.思维升华导数方法证明不等式中，最常见的是ex和lnx与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号．(2)lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取等号．跟踪训练3已知函数f(x)＝aex﹣1﹣lnx﹣1.(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.课时精练1．已知函数f(x)＝eq\f(lnx,x＋a)(a∈R)，曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝eq\f(1,e).(1)求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)求证：当x>0时，f(x)≤x﹣1.2．已知f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>eq\f(1,ex)﹣eq\f(2,ex)成立．3．已知函数f(x)＝lnx﹣ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)